А-диффеоморфизм диффеоморфизм Аносова

Еслн для диффеоморфизма f . М -М все многообразие М является гиперболическим множеством, то I называется У-диффеоморфизмом (илн диффеоморфизмом Аносова). Аналогично определяются У-потоки. Применив теорему об устойчивости гиперболического множества из предыдущего пункта к случаю А = М, получаем следующую теорему Д. В. Аносова [Ан] о структурной устойчивости, или грубости, У-диффеоморфизмов. [c.214]

До сих пор единственными примерами диффеоморфизмов Аносова (определение 6.4.2), с которыми мы встречались, были гиперболические автоморфизмы п-мерного тора ( 1.8) и их возмущения, которые в силу теоремы 2.6.3 и упражнения 2.6.1 топологически сопряжены с линейными моделями. Как уже упоминалось в п. 6.4 а, диффеоморфизмы Аносова являются достаточно специальными объектами. Например, в предложениях [c.542]

Тогда для каждого г е 1,2 с)ш ествует единственный такой автоморфизм С—> С, что DP = f . Поскольку Л, и Лг—единицы поля К, т. е. целые числа, обратные к которым тоже являются целыми, и о (А,) = Х , мы также получаем, что ] (Г) = Г, г = 1,2. Таким образом, автоморфизмы Р проектируются в диффеоморфизмы Аносова фактора Г С. [c.545]

Замечания. 1.Так как надстройка диффеоморфизма Аносова — поток Аносова, а надстройка никогда не является топологическим перемешиванием, следствие 18.3.5 не имеет места для потоков. [c.577]

В предыдущем параграфе мы исследовали инвариантные меры разделяющих гомеоморфизмов со свойством спецификации. Теперь рассмотрим специальный класс таких отображений, а именно транзитивные диффеоморфизмы Аносова. Одна из причин того внимания, которое мы уделили теории равновесных состояний, состоит в том, что эта теория позволяет получить интересные результаты для данного случая. При рассмотрении диффеоморфизмов гладких многообразий естественно интересоваться инвариантными гладкими мерами, как это было сделано, например, в гл. 5. [c.638]

Теорема 20.4.1. Пусть М —компактное связное гладкое риманово многообразие и f М М — диффеоморфизм Аносова. Тогда f обладает не более чем одной инвариантной гладкой мерой. Если. / обладает инвариантной гладкой мерой А, то f — топологическое перемешивание и мера А равна равновесному состоянию для функции ip = log J / (/( )), где / ))—якобиан в неустойчивом направлении, определенный в следствии. 19.1.13, и, следовательно, f — перемешивающее преобразование по отношению к мере А. Кроме того, KU) = -Wd [>]. [c.638]

Лемма 20.4.2. Пусть / М М — диффеоморфизм Аносова и А — гладкая положительная мера на М, не обязательно инвариантная. Тогда для каждого е > О существуют такие ,D > О, что для всех п N выполнены неравенства [c.638]

Возмутите линейный диффеоморфизм Аносова таким образом, чтобы неустойчивое слоение не изменилось, а собственное значение в некоторой периодической точке изменилось. [c.751]

Это ослабление более известного понятия слоения, для которого X = М и гомеоморфизм А должен быть гладким. В частности, слоение является разбиением М на гладкие инъективно погруженные подмногообразия. Здесь мы получаем такие подмногообразия лишь для точек некоторого подмножества X. Иногда совокупность устойчивых и неустойчивых слоев диффеоморфизма или потока Аносова также называют слоением, хотя гомеоморфизм А в этом случае обычно не является гладким. [c.705]

В этой статье марковские разбиения используются для изучения минимальных множеств диффеоморфизмов, принадлежащих к некоторому классу, введенному Смейлом [9]. В [I] (или [15, ЗС]. — Ре5.) мы построили марковские разбиения базисных множеств 2 диффеоморфизмов f, удовлетворяющих аксиоме А (см. [9]), обобщив метод, примененный Синаем к диффеоморфизмам Аносова ([7], [8], [П]). При помощи этих разбиений удается представить f = f QsKaк факторсистему неприводимой топологической марковской цепи с конечным числом состояний [1, 4] (нли [15, теорема 3.18]. — Ред.) при этом отображение факторизации л эквивариантиым образом сопоставляет точкам некоторые последователь- ности символов. [c.92]

Распространение понятия гиперболического множества на необратимые системы представляет любопытную проблему. В то время как сжимающаяся часть Е гиперболического разложения определяется поведением вдоль положительной полуорбиты точки х и в этом случае легко может быть определена, определение растягивающейся части Е требует рассмотрения отрицательной полуорбиты х, которая определена неоднозначно для необратимых отображений. Это делает общее понятие гиперболичности менее удобным, и потому мы не будем его вводить. Однако существует специальный случай, когда неоднозначность в выборе растягивающейся части отсутствует, а именно когда сжимающаяся часть отсутствует вовсе и, следовательно, растягивающаяся часть представляет собой все касательное пространство. Мы уже рассматривали растягивающие отображения в п. 2.4 а (см. определение 2.4.1). Такие отобрасжения встречаются довольно редко, как и диффеоморфизмы Аносова, представляющие собой их обратимый аналог. Более общее понятие, подобное гиперболическим множествам для обратимых отображений, описывается в следующем определении. [c.269]

Имеется ряд результатов о типичности для С -топологии. Наиболее важный из них состоит в том, что периодические точки в типичном случае плотны в множестве неблуждающих точек [262], [263]. Для гамильтоновых систем аналогичный результат получен в [264]. Этн результаты основаны на С -лемме о замыкании, доказанной Пью [262], [263], которая утверждает, что иеблуждающая точка может быть сделана периодической посредством малого с -возмущения, сконцентрированного в окрестности этой точки. В такой форме лемма о замыкании не верна в С -топологни, см. [108]. До сих пор неизвестно, верны лн нелокальные С -или С°°-варнанты леммы о замыкании. Среди других интересных С -результатов о типичности имеется результат о том, что в типичном случае все гиперболические периодические точки симплектического отображения имеют гомоклинические точки, которые являются плотными н в устойчивом, н в неустойчивом многообразиях [317], а также результат о типичной плотности гиперболических точек для двумерных отображений, сохраняюшда меру [317]. Для двумерных отображений, которые не являются диффеоморфизмами Аносова и сохраняют меру, плотность эллиптических точек также С -типична, см. [229]. [c.728]

Определение 2.1. Динамическая система называется системой Аносова (ссютветственно говорят о диффеоморфизмах Аносова и потоках Аносова), если каждая ее траектория является равномерно полно гиперболической, а постоянные С и Л можно выбрать одинаковыми для всех точек . [c.129]

По-видимому, самый простой пример РЧГ-систем строится следующим образом. Пусть Т — диффеоморфизм Аносова гладкого многообразия М и N — гладкое многообразие. Тогда диффеоморфизм 5 МхЛ ->МхЛ/ вида 8 х, у) = (х), у), хбМ, у М, является РЧГ-дкффеоморфизмом. Его нейтральное распределение интегрируемо, а соответствующие слои компактны (и гомеоморфны М). Если я МхМ М — проекция, то (в очевидных обозначениях) я(1 (г)) = 1 (я(г)), я( " (г)) = -Щ (я(г)). [c.137]

Предложени51 3.6 — 3.8, а также свойство спецификации (см, стр. 231) На базисном множестве Й , на котором Л-диффеоморфизм I является перемешивающим, вытекают из теоремы Аносова о семействах е траек-торий (см. [20] и [211). [c.75]

Недавно Боуэн [48] распространил этот результат на произвольное базисное множество диффеоморфизма S, удовлетворяющего аксиоме А Смейла (см. [42]). Mojkho надеяться, что этот результат распространяется на произвольное инвариантное гиперболическое множество, обладающее дополнительным свойством локальной максимальности (важная роль этого свойства доказана Д. В. Аносовым [49]). Пока же автором получен более слабый результат [50] (отображение ip существенно неоднозначно). [c.150]

Из теоремы 2.11 вытекает, что системы Аносова и РЧГ-си-стемы образуют открытое множество соответственно в пространствах Diif (Л1) (в случае диффеоморфизмов) и Г (J AI) (в случае потоков), г>1. Про системы Аносова можно доказать и более сильное утверждение, состоящее в том, что они структурно устойчивы (см. [4]). Если Л—ЛМГМ системы 5 класса С ", то можно доказать (см. [22]), что любая система 5 класса С , достаточно близкая к 5 в -топологии, обладает ЛМГЛ Л, гомеоморфном А посредством гомеоморфизма А Л- Лг близкого к тождественному в Со-топологии (в частности, Л лежит в малой окрестности Л), причем h°S Л = 5 °Л Л. [c.140]

Исходя из потока Аносова класса С , можно построить НПГ-поток класса без неподвижных точек (см. [32]). На любом двумерном многообразии существует НПГ-диффеомор-физм класса С , а на любом п-мерном многообразии с п>2 можно построить диффеоморфизм класса С , у которого все показатели Ляпунова, кроме одного, отличны от нуля (см. [55], [71]). В этих примерах мера Лебега инвариантна, и по отношению к ней диффеоморфизм метрически изоморфен автоморфизму Бернулли. [c.142]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...