А-диффеоморфизм гиперболическое множество

Риманова метрика иа М используется для того, чтобы сформулировать условие (Ь) из определения гиперболического множества. Справедливость этого условия не зависит от используемой метрики, хотя константы с и X от нее зависит. Метрика называется ляпуновской (по отношению к А-диффеоморфизму /), если 0 /) —гиперболическое относительно / множество и с = 1- [c.59]

В этой статье результаты, касающиеся равновесных состояний 6, 7, 24] и аттракторов [24], полученные ранее для диффеоморфизмов, переносятся иа случай потоков. Для У-потоков (Л = М) мера изучалась в работах (9, 16, 17, 20, 25, 26], а теория гиббсовских состояний (формально несколько отличающаяся от теории равновесных состояний, но приводящая к тем же самым мерам лля базисных гиперболических множеств) была развита в работе [26]. Некоторые результаты, полученные здесь для Потоков, являются новыми [c.145]

Эта простая теорема является прообразом нетривиальных теорем о спектральном разложении локально максимального гиперболического множества и о спектральном разложении А-диффеоморфизма (теорема 3.5 из [Б1]). [c.206]

Теорема 5.2 (об устойчивости гиперболического множества).- Пусть А — гиперболическое множество диффеоморфизма Ai->Ai. Для любой окрестности множества А [c.211]

Еслн для диффеоморфизма f . М -М все многообразие М является гиперболическим множеством, то I называется У-диффеоморфизмом (илн диффеоморфизмом Аносова). Аналогично определяются У-потоки. Применив теорему об устойчивости гиперболического множества из предыдущего пункта к случаю А = М, получаем следующую теорему Д. В. Аносова [Ан] о структурной устойчивости, или грубости, У-диффеоморфизмов. [c.214]

Пусть (JW, ш) — симплектическое многообразие (см. определение 5.5.7), множество и сМ открыто и / и — М — симплектический диффеоморфизм. Пусть Л С С/ является гиперболическим множеством диффеоморфизма f. Докажите, что dim Е = dim Е для всех точек хеА, —лагранжевы подпространства Т М, а W x) и 1У (ж) являются лагранжевыми подмногообразиями М. [c.278]

Интересно отметить, что подобный факт имеет место и для ( диффеоморфизмов двумерных многообразий а именно, по следствию Д.5.10 любой такой диффеоморфизм обладает инвариантным гиперболическим множеством типа подковы, энтропия которого аппроксимирует топологическую энтропию сколь угодно хорошо, в отличие от одномерного случая это не топологический факт. Например, Мэри Рис привела пример минимального гомеоморфизма двумерного тора с положительной топологической энтропией [ ]. Та роль, которую играла теорема о промежуточном значении, в двумерном сл) ае принадлежит гиперболичности. Гиперболичность устанавливается с помощью неравенства Рюэля (теорема Д.2.13), которое утверждает, что из положительности топологической энтропии следует наличие некоторого экспоненциального разбегания орбит в линеаризованной системе. Подобный факт также имеет место для голоморфных отображений сферы Римана и для голоморфных диффеоморфизмов комплексных двумерных поверхностей. В обоих случаях гиперболичность используется. В первом случае мы можем воспользоваться гиперболичностью благодаря конформности самого [c.500]

Теорема 18.2.1 (сильная структурная устойчивость гиперболических множеств). Пусть АсМ — гиперболическое множество диффеоморфизма / и М. Тогда для любой открытой окрестности V с С и множества А и любого 5 >0 существует такое е >О, что если / и М и (/ у,/ ) < е, то найдется гиперболическое множество А = / (Л) с V диффеоморфизма / и такой гомеоморфизм Н Л — А, до(1(1, й) - - 0о(1(1, /г ) < 5, что к о/ д =/ л о к. Такой гомеоморфизм к единствен, если 5 достаточно мало. [c.572]

Следствие 18.3.3. Диффеоморфизм f, суженный на компактное локально максимальное гиперболическое множество, топологически транзитивен тогда и только тогда, когда перестановка а из теоремы 18.3.1 является циклической. [c.576]

Теорема 18.3.12. Пусть А — топологически транзитивное компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма /. Тогда существует такое N eN, что для любого е >0 и каждой конечной совокупности С отрезков орбит / существует М-разделенная спецификация S, параметризующая С, разделение которой зависит только от е и которая е-приближается точкой из А и е-приближается орбитами периода qN для всех g (М L(S))/N. [c.581]

Теорема 18.5.6. Пусть А — компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма /, все топологически транзитивные компоненты которого являются топологически перемешивающими. Тогда существуют такие числа с,, j > О, что соотношение (18.5.1) имеет место для всех п 6 N. Если А —компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма /, то существует такое число iV 6 N, что соотнош,ение (18.5.1) выполнено для всех п = AiV е N. [c.587]

Доказательство. Если утверждение неверно, то у диффеоморфизма / есть топологически транзитивная компонента, отличная от множества Л, из спектрального разложения, полученного в лемме 18.6.4. Таким образом, для некоторого I существует точка д е 1х Р ) к 1х(/ / )), для которой I является минимальным положительным периодом. Здесь такое же, как выше. Нетрудно видеть, что Л =Лп ( д ) — локально максимальное гиперболическое множество, потому что любая орбита из достаточно малой окрестности отображается под действием к в малую окрестность орбиты д и, следовательно, в силу разделения, в орбиту д. Так как по следствию 3.3.5 неблуждающее множество / д непусто и по следствию 6.4.19 периодические точки плотны в нем, существует периодическая точка рЕК. По условию I не является периодом р, так что р / р) ф р, в то время как к(р ) = д. Выберем А N так, что / (р) =р. Введем проекцию тг К"—>Т". Если 7г(а)=р, к Ь) — р и 7г(с) = д, то отображения [c.590]

Предложение 18.7.8. Пусть А — вполне несвязное компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма / и М. Тогда / д топологически сопряжено топологической цепи Маркова. [c.597]

Обозначим через у(ф) векторное поле, порождающее поток, являющийся надстройкой над диффеоморфизмом ф. Обозначим через R множество дуг фе в пространстве диффеоморфизмов, таких что у(фь)6б1, у(фе) трансверсально пересекает B в точке (фб) г (фь) удовлетворяет условиям типичности, главное из которых состоит в следующем. Неблуждающее множество у(фг,) состоит из конечного множества циклов, причем если один из них ме гиперболический, то его устойчивые и неустойчивые множества и многообразия трансверсально пересекаются между собой и с многообразиями других циклов, а если все циклы гиперболичны, то их многообразия трансверсально пересекаются по всем траекториям, за исключением одной. [c.125]

Это определение принадлежит Смейлу [14]. Советские математики интенсивно изучали диффеоморфизмы I специального типа, а нменио У-днффеоморфнзмьг ) [ называется У-диффеоморфизмом, если все многообразие М является гиперболическим множеством [2]. Мы увидим несколько позднее, что такие диффеоморфизмы всегда удовлетворяют аксиоме А. Отметим в связи с этим, что неизвестно, выполняется ли условие 0(/) = М для всякого У-диффеомор-физма I. Отсылаем читателя к примерам из [14] ). [c.59]

Теорема. Пусть А — гиперболическое множество огно-сительно С-диффеоморфизма . Тогда при малом 8 > О для [c.60]

Пусть А — прямоугольник в и пусть / А — — такой диффеоморфизм Д на его образ, что пересечение Д П /(Д) состоит из двух горизонтальных прямоугольников Д<, и Д) и ограничение отображения / на компоненты Д С/" (Д), i =0, 1, множества / (А) есть гиперболическое аффинное отображение, сжимающее в вертикальном направлении и растягивающее в горизонтальном направлении. Это означает, что множества Д и Д являются вертикальными прямоугольниками. Один из самых простых способов достичь такого эффекта состоит в том, чтобы согнуть Д в подкову , или, если угодно, придать ему форму постоетного магнита (рис. 2.5.2), хотя при этом возникают некоторые неудобства, связанные с ориентацией. [c.94]

Распространение понятия гиперболического множества на необратимые системы представляет любопытную проблему. В то время как сжимающаяся часть Е гиперболического разложения определяется поведением вдоль положительной полуорбиты точки х и в этом случае легко может быть определена, определение растягивающейся части Е требует рассмотрения отрицательной полуорбиты х, которая определена неоднозначно для необратимых отображений. Это делает общее понятие гиперболичности менее удобным, и потому мы не будем его вводить. Однако существует специальный случай, когда неоднозначность в выборе растягивающейся части отсутствует, а именно когда сжимающаяся часть отсутствует вовсе и, следовательно, растягивающаяся часть представляет собой все касательное пространство. Мы уже рассматривали растягивающие отображения в п. 2.4 а (см. определение 2.4.1). Такие отобрасжения встречаются довольно редко, как и диффеоморфизмы Аносова, представляющие собой их обратимый аналог. Более общее понятие, подобное гиперболическим множествам для обратимых отображений, описывается в следующем определении. [c.269]

Теорема 6.4.9. Пусть Л — такое гиперболическое множество С -диффеоморфизма / V — М, что дифференциал Df на А допускает р.)-разложение с X < I < р.. Тогда для каждого хеА имеется пара таких вложенных С -дисков W (x), W (x), называемых локальным, устойчивьш многообразием и локальньш неустойчивьш многообразием точки X соответственно, что [c.272]

Затем, в главе 6, мы получили частичные результаты общего характера, например предложение 6.4.6, утверждающее, что для возмущения / диффеоморфизма / с гиперболическим множеством А существует такая окрестность и множества Л, что любое / -инвариантное подмножество и гиперболично для /. Тогда, однако, не было ясно, существует ля вообще какое-нибудь инвариантное нетривиальное множество в этой окрестности. Теорема о семействах е-траекторий, доказанная в предыдущем параграфе, позволяет доказать существование такого / -инвариантного множества, го-меоморфного А. В то же время опадает топологическое сопряжение. Таким образом, мы получаем структурную устойчивость, более того, даже сильную структурную устойчивость (определение 2.3.4). [c.572]

Теорема 18.2.5. Любое компактное локально максимальное гиперболическое множество Л диффеоморфизма / является фактором топологической цепи Маркова. Кроме того, для любого е > О можно выбрать А таким, что образы базисных цилиндров = П С, под действием полусопряжения к —>М имеют диаметр, меньисий чем е, Кор(< л) < Kpif ) + е- [c.573]

Теорема 18.3.1 (спектральное разложение). Пусть М — риманово многообразие, множество IIсМ открыто, / II- М — диффеоморфизм и Аси — компактное локально максимальное гиперболическое множество /. Тогда существуют такие непересекающиеся замкнутые множества Л,,..., и такая перестановка а элементов 1,..т , что [c.575]

Следствие 18.3.4. Пусть А —такое связное компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма /, 4moA = NW f f (или, что равносильно, периодические точки которого плотны в А). Тогда / д — топологическое перемешивание. [c.576]

Заметим, что после сведения к топологически перемешивающему случаю мы использовали только свойство спецификации. Таким образом, мы показали, что для разделяющих отображений со свойством спецификации (определение 18.3.8) топологическая энтропия равна скорости роста числа периодических орбит. Полезно отметить, что, хотя локально максимальные гиперболические множества диффеоморфизмов представляют собой основной пример разделяющих отображений со свойством спецификации, существуют и другие важные классы таких преобразований. Отметим в этой связи транзитивные топологические марковские цепи, а также более общие классы символических систем типа софических систем (см. упражнение 20.1.2). [c.585]

Теорема 19.1.2. Пусть А и К — компактные гиперболические множества для диффеоморфизмов / и / соответственно и к А А —топологическое сопряжение. Тогда отображения к и являются гёльдеровыми. [c.601]

П р едложение 19.2.10. Предположим, что М — компактное многообразие и f иМ — диффеоморфизм с компактным топологически транзитивным гиперболическим множеством Л. Для v С (А, Т ) положим F x, t) = t -h tp x)) на множестве Ax V. Если ф С (Л, Т ) [c.615]

Недавно Боуэн [48] распространил этот результат на произвольное базисное множество диффеоморфизма S, удовлетворяющего аксиоме А Смейла (см. [42]). Mojkho надеяться, что этот результат распространяется на произвольное инвариантное гиперболическое множество, обладающее дополнительным свойством локальной максимальности (важная роль этого свойства доказана Д. В. Аносовым [49]). Пока же автором получен более слабый результат [50] (отображение ip существенно неоднозначно). [c.150]

Доказательство. Для орициклов Я = К-Ь г> достаточно положить Т г) = тг. Для орициклов с центром в точке х 6 К и евклидовым диаметром г положим 7](г) = -1/г, Т г)= гг, Т г) — г- -х и Т=25о2 о1].а В целях дальнейшего анализа динамики геодезического потока на Н полезно параметризовать множество 5Н единичных касательных векторов к Н числами гх, г е М следующим образом пусть для фиксированного раз и навсегда вектора 5 6 5И и вектора р е 5Н, который не направлен вертикально вниз. Яр является орициклом с направленным внутрь (или вверх) нормальным вектором р, 7 — геодезическая, соединяющая центры Я и Я , (т. е. точки касания ими действительной прямой), V — ориентируемая гиперболическая длина дуги Яр, соединяющей 7 П Я , и точку 7г(р), I —ориентируемая длина отрезка геодезической 7, соединяющего Я и Я , и гх — ориентируемая длина дуги соединяющей уПН и 7г(д). Легко видеть, что локально отображение (р (, и, г ) - р является диффеоморфизмом между и 5Н. Заметим, однако, что эта процедура не охватывает направленных вертикально вниз векторов. Чтобы покрыть и эти векторы, требуется вторая карта, начинающаяся в —д. [c.219]

В следующем параграфе будет показано, что некоторое свойство, присущее гиперболическому поведению, а именно гиперболичность всех периодических точек, является общим свойством, т. е. свойством, истинным для плотного в С -топологии множества С-диффеоморфизмов типа Gj (теорема Купки — Смейла 7.2.6). Так как локальное топологическое поведение диффеоморфизма в окрестности гиперболической периодической точки хорошо изучено (благодаря теореме Хартмана — Гробмана 6.3.1), вышеопи- [c.295]

Из утверждения леммы следует плотность в С-топологии множества диффеоморфизмов, имеющих только гиперболические периодические точки данного периода в силу плотности в С -топологии множества диффеоморфизмов / имеющих только трансверсальные периодические точки периода п (теорема 7.2.4), мы получаем плотность в С-топологии множества диффеоморфизмов / б01ГГ (М), имеющих только гиперболические периодические точки периода п. Мы уже знаем, что это последнее множество открыто в С-топологии, а следовательно, и в С-топологии, так что оно открыто и плотно в С-топологии. Взяв пересечение по всем натуральным п, по теореме Бэра П 1.22 мы опять получаем плотное множество. [c.299]

Т и —гладкое многообразие. Нетрудно вндеть, что М представляет собой двумерную сферу с четырьмя дырками (упражнение 17.2.1). Поскольку f(—x) = -f x), мы получаем индуцированное отображение / М —уМ, которое дифференцируемо и инъективно. Заполняя S M четырьмя отталкивающими точками (одной неподвижной и тремя периодическими точками периода три), получаем диффеоморфизм / 5 5 с гиперболическим аттрактором (получающимся при проектировании множества А на М). Это и есть аттрактор Плыкина р]. [c.541]

Обозначим через Diff (M), а >0, множество СЧ -диффеоморфизмов компактного гладкого риманова многообразия М, т. е. множество диффеоморфизмов М, для которых производная Df является а-гёльдеровской. Начиная с этого момента мы считаем, что f 6 Diff (М) для некоторого а >0. Это предположение представляется очень существенным для неравномерной гиперболической теории. Как и ранее, пусть В (О, г) обозначает стандартный евклидов г-шар в R" с центром в начале координат. [c.668]

Предложение Д5.7. Пусть f М М—С -диффеоморфизм компактного многообразия М. Предположим, чтох М — гиперболическая периодическая точка f с трансверсальными гомоклиническими точками. Тогда в множестве А, образованном замыканием трансверсальных гомоклинических точек х, найдется плотная орбита. Кроме того, если тп —период точки х, то существуют такие множества Лд,. ..,Л ,, что f(A ) = A- , modm, f" (A ) = A и /""[л — топологическое перемешивание (определение 1.8.2), г =0,..., m — 1. [c.688]

Имеется ряд результатов о типичности для С -топологии. Наиболее важный из них состоит в том, что периодические точки в типичном случае плотны в множестве неблуждающих точек [262], [263]. Для гамильтоновых систем аналогичный результат получен в [264]. Этн результаты основаны на С -лемме о замыкании, доказанной Пью [262], [263], которая утверждает, что иеблуждающая точка может быть сделана периодической посредством малого с -возмущения, сконцентрированного в окрестности этой точки. В такой форме лемма о замыкании не верна в С -топологни, см. [108]. До сих пор неизвестно, верны лн нелокальные С -или С°°-варнанты леммы о замыкании. Среди других интересных С -результатов о типичности имеется результат о том, что в типичном случае все гиперболические периодические точки симплектического отображения имеют гомоклинические точки, которые являются плотными н в устойчивом, н в неустойчивом многообразиях [317], а также результат о типичной плотности гиперболических точек для двумерных отображений, сохраняюшда меру [317]. Для двумерных отображений, которые не являются диффеоморфизмами Аносова и сохраняют меру, плотность эллиптических точек также С -типична, см. [229]. [c.728]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...