А-диффеоморфизм потока

Как видно из [Б1], основным для построения метрической теории А-диффеоморфизмов и А-потоков является тот факт, что граница марковского разбиения д на базисном множестве Q является множеством нулевой д,-меры для всякой гиббсовской меры li. [c.226]

Обозначим через у(ф) векторное поле, порождающее поток, являющийся надстройкой над диффеоморфизмом ф. Обозначим через R множество дуг фе в пространстве диффеоморфизмов, таких что у(фь)6б1, у(фе) трансверсально пересекает B в точке (фб) г (фь) удовлетворяет условиям типичности, главное из которых состоит в следующем. Неблуждающее множество у(фг,) состоит из конечного множества циклов, причем если один из них ме гиперболический, то его устойчивые и неустойчивые множества и многообразия трансверсально пересекаются между собой и с многообразиями других циклов, а если все циклы гиперболичны, то их многообразия трансверсально пересекаются по всем траекториям, за исключением одной. [c.125]

Таким образом, мы определили отображение фазовой плоскости на себя g R R . По известным теоремам теории обыкновенных дифференциальных уравнений отображение g является диффеоморфизмом (взаимно однозначным и взаимно дифференцируемым отображением). Диффеоморфизмы g, i G R, образуют группу = g ° g - Далее, отображение g тождественное (g M = = М), а отображение g обратно g . Отображение g R X R -> -> R , g (t, М) = дифференцируемо. Все эти свойства вместе выражают короче, говоря, что преобразования g образуют однопараметрическую группу диффеоморфизмов фазовой плоскости. Эту группу называют также фазовым потоком, заданным системой (2) (или уравнением (1)). [c.25]

А. Гамильтоновы фазовые потоки сохраняют симплектическую структуру. Пусть (М , (О ) — симплектическое многообразие, Н М К — функция. Предположим, что соответствующее В гамильтоново векторное поле I д,Н задает однопараметрическую группу диффеоморфизмов Л/ ", [c.177]

В самом деле, пусть за время t течение жидкости осуществило диффеоморфизм gt, а скорость в этот момент времени задается векторным полем v. Тогда диффеоморфизм, осуществляемый течением за время i + т (где т мало) будет с точностью до малых по сравнению с т величин (здесь — это однопараметрическая группа с вектором скорости v, т. е. фазовый поток заданного полем v дифференциального уравнения). [c.296]

Символическая динамика для некоторых геодезических потоков восходит к Адамару и была развита Морсом (9]. Смейл [13] перенес се на случай подковы , а Адлер и Вейс [1] —на случай автоморфизмов тора. Синай [10], [И] доказал теоремы пп. С и Ъ для У-диффеоморфизмов, а в 15] они были обобщены иа случай диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме А. [c.74]

М. Морс [3], [4] и [5] использовал методы символической динамики для изучения минимальных геодезических па поверхности отрицательной кривизны. Данную статью можно рассматривать как распространение и обобщение результатов Морса на рассматриваемый случай. Настоящим обобщением геодезических потоков, изучавшихся Морсом, являются потоки, удовлетворяющие аксиоме А (см. [9]). Технически они сложнее диффеоморфизмов, ио со временем и для них будут построены марковские разбиения, и методы этой статьи будут перенесены на случай потоков. В частности, можно ожидать, что справедлива следующая [c.92]

В этой статье результаты, касающиеся равновесных состояний 6, 7, 24] и аттракторов [24], полученные ранее для диффеоморфизмов, переносятся иа случай потоков. Для У-потоков (Л = М) мера изучалась в работах (9, 16, 17, 20, 25, 26], а теория гиббсовских состояний (формально несколько отличающаяся от теории равновесных состояний, но приводящая к тем же самым мерам лля базисных гиперболических множеств) была развита в работе [26]. Некоторые результаты, полученные здесь для Потоков, являются новыми [c.145]

Еслн для диффеоморфизма f . М -М все многообразие М является гиперболическим множеством, то I называется У-диффеоморфизмом (илн диффеоморфизмом Аносова). Аналогично определяются У-потоки. Применив теорему об устойчивости гиперболического множества из предыдущего пункта к случаю А = М, получаем следующую теорему Д. В. Аносова [Ан] о структурной устойчивости, или грубости, У-диффеоморфизмов. [c.214]

У-диффеоморфизмы и У-потоки (вместе У-системы) возникли как естественное обобщение алгебраических автоморфизмов тора и геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны [Аи]. С другой стороны, подкова Смейла [17] и ее разнообразные обобщения [С] послужили стимулом для выделения более широкого класса динамических систем, обладающих гиперболическими свойствами, класса систем, удовлетворяющих так называемой аксиоме А Смейла, илн класса А-систем (диффеоморфизмов и потоков). [c.214]

Отметим, что все известные к настоящему времени структурно устойчивые диффеоморфизмы и потоки удовлетворяют аксиоме А. [c.216]

Наиболее очевидный способ связать систему с дискретным временем с потоком состоит в том, чтобы рассмотреть итерации отображения для некоторого значения о, например о = 1 Однако только очень небольшое количество диффеоморфизмов может быть получено таким способом. Например, пусть / = <р °, и пусть / (ж) = ж, где А > 1, но /(ж) ф х, так что орбита точки X периодическая, но не неподвижная. Тогда для каждого ЬеШ мы имеем [c.26]

Имеется простой случай, когда замена времени порождает поток, эквивалентный исходному потоку, а именно случай, когда сопрягающий диффеоморфизм сохраняет каждую орбиту первоначального потока. Другими словами, положим [c.78]

Можно ввести понятие трансверсальности критических точек функций как частный случай трансверсальности неподвижных точек отображений. А именно, пусть / М—>К является -функцией. Тогда отображение сдвига за единичное время градиентного потока является С -диффеоморфизмом относительно любой римановой метрики и его неподвижные точки — это в точности критические точки /. Таким образом, мы называем критическую точку р функции / невырожденной, если она является трансверсальной неподвижной точкой отображения сдвига за единичное время градиентного потока /. Чтобы показать, что это определение корректно, мы должны доказать, что оно не зависит от выбора римановой метрики для построения градиентного потока. Для этого выберем ортонормированный базис в пространстве и локальные координаты в окрестности точки р так, [c.297]

Доказательство. По предложению 14.2.1 поток обладает трансверсалью т, а по предложению 14.2.2 каждая орбита пересекает т. Если мы параметризуем т углом в S, то отображение возвращения на т будет определять некоторый диффеоморфизм окружности /. Если время возвращения точки с координатой в равно h 0), то мы можем ввести координаты в, у) иа Т , где О < 2/ < Н в), и в этих координатах векторное поле примет вид -щ, т. е. наш поток — специальный поток. [c.461]

Замечания. 1.Так как надстройка диффеоморфизма Аносова — поток Аносова, а надстройка никогда не является топологическим перемешиванием, следствие 18.3.5 не имеет места для потоков. [c.577]

Это ослабление более известного понятия слоения, для которого X = М и гомеоморфизм А должен быть гладким. В частности, слоение является разбиением М на гладкие инъективно погруженные подмногообразия. Здесь мы получаем такие подмногообразия лишь для точек некоторого подмножества X. Иногда совокупность устойчивых и неустойчивых слоев диффеоморфизма или потока Аносова также называют слоением, хотя гомеоморфизм А в этом случае обычно не является гладким. [c.705]

Один из возможных здесь путей — построение марковского разбиения. Сначала это сделали Адлер и Вейс [22] для автоморфизмов двумерного тора, затем Я. Г. Синай [15] для У-диффеоморфизмов (он же и ввел понятие марковского разбиения) и. наконец, Боуэи [Б1] —для ограничения А-диффеоморфизма на его базисные множества. В [Б1, 4] приведены эргодические, а в [Б2] — топологические следствия, вытекающие из существования марковского разбиения. В [Б3 и [Б4] аналогичная теория развивается дли потоков. Некоторые обобщения будут приведены далее во второй части этой статьи. [c.217]

По предложению 5.3.2 геодезический поток на любом компактном многообразии является полным потоком. Кроме того, предложение 5.3.1 показывает, что геодезические, начинающиеся в одной и той же точке, но имеющие различные по направлению скорости, не пересекаются снова в течение некоторого времени. В частности, имеется корректно определенное экспоненциальное отображение из маленького шарика в Т М на окрестность хеМ, которое переводит касательный вектор V в точку 7 (1), где 7 —такая геодезическая, что 7 (0) = а и 7 (0) = г). Этот локальный диффеоморфизм неоднократно будет использоваться далее. Так, с его помощью легко показать, что для любого данного базиса Т М можно найти такое координатное отобра- [c.211]

Доказательство. Для орициклов Я = К-Ь г> достаточно положить Т г) = тг. Для орициклов с центром в точке х 6 К и евклидовым диаметром г положим 7](г) = -1/г, Т г)= гг, Т г) — г- -х и Т=25о2 о1].а В целях дальнейшего анализа динамики геодезического потока на Н полезно параметризовать множество 5Н единичных касательных векторов к Н числами гх, г е М следующим образом пусть для фиксированного раз и навсегда вектора 5 6 5И и вектора р е 5Н, который не направлен вертикально вниз. Яр является орициклом с направленным внутрь (или вверх) нормальным вектором р, 7 — геодезическая, соединяющая центры Я и Я , (т. е. точки касания ими действительной прямой), V — ориентируемая гиперболическая длина дуги Яр, соединяющей 7 П Я , и точку 7г(р), I —ориентируемая длина отрезка геодезической 7, соединяющего Я и Я , и гх — ориентируемая длина дуги соединяющей уПН и 7г(д). Легко видеть, что локально отображение (р (, и, г ) - р является диффеоморфизмом между и 5Н. Заметим, однако, что эта процедура не охватывает направленных вертикально вниз векторов. Чтобы покрыть и эти векторы, требуется вторая карта, начинающаяся в —д. [c.219]

Напомним, что в канонических локальных координатах (р, я) на М форма принимает вид dp/ dq, а поле sgгadД = ->=(—5Я/( д, с)Я/йр). Уравнения Гамильтона х — sgrad// порождают однопараметрическую группу диффеоморфизмов много-обрагия М (сохраняющих симплектическую структуру ю)—фазовый поток +. [c.151]

Можно считать, что разложение на ручки связано с градиентным потоком ((17) гл. 1) или с аппроксимирующим его потоком М.—С. С системой М.—С., не имеющей замкнутых траекторий ( в том числе с любым каскадом М.—С.), можно связать аналогичное разложение й а рзгчяси. В случае потока поле фазовой скорости иа дMt по-прежнему направлено строго внутрь а в случае каскада этому соответствует то, что gM лежит строго внутри Ми ПЬСЛеднее свойство выражают словами ДС (или диффеоморфизм) сохраняет фильтрацию (2), или [c.196]

Определение 2.1. Динамическая система называется системой Аносова (ссютветственно говорят о диффеоморфизмах Аносова и потоках Аносова), если каждая ее траектория является равномерно полно гиперболической, а постоянные С и Л можно выбрать одинаковыми для всех точек . [c.129]

Из теоремы 2.11 вытекает, что системы Аносова и РЧГ-си-стемы образуют открытое множество соответственно в пространствах Diif (Л1) (в случае диффеоморфизмов) и Г (J AI) (в случае потоков), г>1. Про системы Аносова можно доказать и более сильное утверждение, состоящее в том, что они структурно устойчивы (см. [4]). Если Л—ЛМГМ системы 5 класса С ", то можно доказать (см. [22]), что любая система 5 класса С , достаточно близкая к 5 в -топологии, обладает ЛМГЛ Л, гомеоморфном А посредством гомеоморфизма А Л- Лг близкого к тождественному в Со-топологии (в частности, Л лежит в малой окрестности Л), причем h°S Л = 5 °Л Л. [c.140]

Исходя из потока Аносова класса С , можно построить НПГ-поток класса без неподвижных точек (см. [32]). На любом двумерном многообразии существует НПГ-диффеомор-физм класса С , а на любом п-мерном многообразии с п>2 можно построить диффеоморфизм класса С , у которого все показатели Ляпунова, кроме одного, отличны от нуля (см. [55], [71]). В этих примерах мера Лебега инвариантна, и по отношению к ней диффеоморфизм метрически изоморфен автоморфизму Бернулли. [c.142]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...