Устойчивость семейств диффеоморфизмов

Перестройки неподвижных точек. Аналогичные каскады удвоений наблюдаются в типичных семействах диффеоморфизмов неподвижная точка, устойчивая при значениях параметра, меньших первого критического, теряет устойчивость при прохождении мультипликатора через —1 с образованием устойчивого цикла периода 2, затем этот цикл теряет устойчивость с -образованием устойчивого цикла периода 4 и т. д. Промежутки между последовательными бифуркациями убывают, как и для систем с непрерывным временем. [c.80]

Бифуркации, названные в заглавии, приводят к возникновению инвариантных торов и бутылок Клейна, к рождению сложных инвариантных множеств со счетным числом циклов и странных аттракторов. Некоторые случаи изучены не полностью в п. 4.11 формулируются открытые вопросы. В конце параграфа рассматривается структурная устойчивость однопараметрических семейств диффеоморфизмов. [c.115]

В семействе (2 ) при переходе параметра слева направо через О происходит мягкая потеря устойчивости. А именно, при е 0 неподвижная точка О ростка fe устойчива. При е>0 она теряет устойчивость, но возникает устойчивый цикл периода 2 пара точек, близких к Уе, переставляемых диффеоморфизмом /е. Для диффеоморфизма каждая из этих точек неподвижна и устойчива. Этой перестройке соответствует мягкая потеря устойчивости предельным циклом (в предположении, что при 6 0 все остальные мультипликаторы по модулю меньше 1). При е>0 исходный цикл сохраняется, но становится неустойчивым, а рядом с ним на расстоянии порядка Уе появляется устойчивый предельный цикл примерно вдвое большего периода (рис. 18. ) [c.45]

Негиперболические циклы. Исследуем гомоклинические траектории негиперболических циклов. В однопараметрических семействах общего положения могут встречаться негиперболические циклы, имеющие один мультипликатор 1 или —1 или пару невещественных мультипликаторов е " . Если остальные мультипликаторы лежат внутри (вне) единичной окружности, то будем говорить, что такой цикл — типа устойчивый (неустойчивый) узел по гиперболическим переменным. В противном случае цикл — типа седло по гиперболическим переменным. Аналогичные определения даются для неподвижной или периодической точки диффеоморфизма. Опишем устойчивые и неустойчивые множества негиперболических циклов, предполагая, что выполнены требования общности положения из 1 главы 2. [c.90]

V. Чтобы завершить доказательство теоремы 6.2.8, осталось только проверить, что в гиперболическом случае устойчивое и неустойчивое подмногообразия имеют такую же гладкость, как и диффеоморфизм. На самом деле мы докажем более сильное утверждение, а именно, что если в теореме 6.2.8 /х 1, то семейство состоит из многообразий, [c.260]

Определение 7.3.2. Семейство Д локально определенных С -диффеоморфизмов обладает структурно устойчивой бифуркацией при значении параметра т , если диффеоморфизм локально структурно [c.305]

В случае более высоких размерностей структурно устойчивые локальные бифуркации возникают, когда одно из собственных значений дифференциала диффеоморфизма равно 1 или -1, а остальные лежат вне единичной окружности. В качестве простого примера мы опишем семейство, получающееся как прямое произведение отображений (7.3.2) с линейным сжимающим отображением. Возникающие в результате бифуркации называются бифуркациями типа седло — узел. Притягивающие и отталкивающие неподвижные точки, которые возникали в одномерном примере (7.3.2), теперь являются седлом и фокусом соответственно (см. 1.2). При приближении параметра к нулю они сливаются, и для значений параметра т > О неподвижные точки отсутствуют. Таким образом, мы получаем следующую картину (см. рис. 7.3.4). [c.309]

Теорема. Граница устойчивости типичного трехпараметрического семейства в окрестности каждой своей точки приводится диффеоморфизмом объемлющего пространства к одной нз следующих четырех нормальных форм [c.134]

Теорема. Особенности замыканий областей устойчивости типичных /-параметрических семейств исчерпываются, с точностью до диффеоморфизма, конечным (прн каждом фиксированном /) набором особенностей. [c.135]

Устойчивость семейств диффеомирфизмов. В работах [178]—[180] исследовались общие свойства однопараметрических семейств диффеоморфизмов, были сформулированы раз- [c.124]

Бифуркации орбит диффеоморфизмов в главном семействе (1+) изобр1ажены на рис. 17. При отклонении е вправо от нуля неподвижная точка исчезает, а при отклонении влево распадается на две гиперболические притягивающую н отталкивающую. Этой перестройке в соответствующем семействе дифференциальных уравнений на плоскости отвечает столкновение двух предельных циклов — устойчивого и неустойчивого с образованием на мгновение полуустойчивого цикла и последующим его исчезновением при е>0. [c.44]

В каждом из главных Zg-эквнвариантных семейств при некоторых значениях параметров, образующих линии на плоскости е, возникают сепаратрисные многоугольники. Сдвиг по фазовым кривым поля семейства за единицу времени приближает -ю степень преобразования монодромии предельного цикла, теряющего устойчивость с прохождением пары мультипликаторов через сильный резонанс. Особым точкам полей семейства соответствуют неподвижные точки -й степени преобразования монодромии и 2я9-периодические циклы периодического уравнения входящим и выходящим сепаратрисам седел — устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек. Две сепаратрисы особых точек, раз пересекшись, должны совпадать на всем своем протяжении. Не так обстоит дело с инвариантными кривыми неподвижных точек диффеоморфизмов. Эти кривые пересекаются, вообше говоря, трансверсально, а для диффеомор- [c.60]

Поясним этот результат на примере. Рассмотрим однопараметрическое семейство -диффеоморфизмов /e R2- R2, которое в окрестности Uо неподвижной точки О в начале координат имеет вид (х, у)- Скх, у), 00, y >0, /oP = Q, 5gN, —гомоклинические точки, по которым устойчивое и неустойчивое многообразия точки О имеют простое касание (рис. 52). Пусть Jq dU ,= = (Л, у) л —x j<8o, у <ео , f/o3lTi = (A, 1/) д <81, y — y неустойчивого многообразия J i = О, yi — у I < ej переходит [c.143]

Затем, в главе 6, мы получили частичные результаты общего характера, например предложение 6.4.6, утверждающее, что для возмущения / диффеоморфизма / с гиперболическим множеством А существует такая окрестность и множества Л, что любое / -инвариантное подмножество и гиперболично для /. Тогда, однако, не было ясно, существует ля вообще какое-нибудь инвариантное нетривиальное множество в этой окрестности. Теорема о семействах е-траекторий, доказанная в предыдущем параграфе, позволяет доказать существование такого / -инвариантного множества, го-меоморфного А. В то же время опадает топологическое сопряжение. Таким образом, мы получаем структурную устойчивость, более того, даже сильную структурную устойчивость (определение 2.3.4). [c.572]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...