А-диффеоморфизм минимальное множество

Интересно отметить, что подобный факт имеет место и для ( диффеоморфизмов двумерных многообразий а именно, по следствию Д.5.10 любой такой диффеоморфизм обладает инвариантным гиперболическим множеством типа подковы, энтропия которого аппроксимирует топологическую энтропию сколь угодно хорошо, в отличие от одномерного случая это не топологический факт. Например, Мэри Рис привела пример минимального гомеоморфизма двумерного тора с положительной топологической энтропией [ ]. Та роль, которую играла теорема о промежуточном значении, в двумерном сл) ае принадлежит гиперболичности. Гиперболичность устанавливается с помощью неравенства Рюэля (теорема Д.2.13), которое утверждает, что из положительности топологической энтропии следует наличие некоторого экспоненциального разбегания орбит в линеаризованной системе. Подобный факт также имеет место для голоморфных отображений сферы Римана и для голоморфных диффеоморфизмов комплексных двумерных поверхностей. В обоих случаях гиперболичность используется. В первом случае мы можем воспользоваться гиперболичностью благодаря конформности самого [c.500]

Доказательство. Если утверждение неверно, то у диффеоморфизма / есть топологически транзитивная компонента, отличная от множества Л, из спектрального разложения, полученного в лемме 18.6.4. Таким образом, для некоторого I существует точка д е 1х Р ) к 1х(/ / )), для которой I является минимальным положительным периодом. Здесь такое же, как выше. Нетрудно видеть, что Л =Лп ( д ) — локально максимальное гиперболическое множество, потому что любая орбита из достаточно малой окрестности отображается под действием к в малую окрестность орбиты д и, следовательно, в силу разделения, в орбиту д. Так как по следствию 3.3.5 неблуждающее множество / д непусто и по следствию 6.4.19 периодические точки плотны в нем, существует периодическая точка рЕК. По условию I не является периодом р, так что р / р) ф р, в то время как к(р ) = д. Выберем А N так, что / (р) =р. Введем проекцию тг К"—>Т". Если 7г(а)=р, к Ь) — р и 7г(с) = д, то отображения [c.590]

В этой статье марковские разбиения используются для изучения минимальных множеств диффеоморфизмов, принадлежащих к некоторому классу, введенному Смейлом [9]. В [I] (или [15, ЗС]. — Ре5.) мы построили марковские разбиения базисных множеств 2 диффеоморфизмов f, удовлетворяющих аксиоме А (см. [9]), обобщив метод, примененный Синаем к диффеоморфизмам Аносова ([7], [8], [П]). При помощи этих разбиений удается представить f = f QsKaк факторсистему неприводимой топологической марковской цепи с конечным числом состояний [1, 4] (нли [15, теорема 3.18]. — Ред.) при этом отображение факторизации л эквивариантиым образом сопоставляет точкам некоторые последователь- ности символов. [c.92]

Следствие П. Если Г- М-> М — диффеоморфизм, удовлетворяющий аксиоме А, то все его минимальные множества нульмерны. [c.103]

Таким образом, мы показали, что типичное поведение относительно инвариантной меры является статистическим аналогом рекуррентности, эргодичность — аналогом топологической транзитивности, а строгая эргодичность — минимальности. Очень важно подчеркнуть, что утверждения, обратные к любому из утверждений предложения 4.1.18, неверны, даже если предположить дополнительно, что / — диффеоморфизм компактного многообразия. Другими словами, вообще говоря, замыкание объединения носителей всех /-инвариантных мер может быть меньше, чем замыкание множества всех рекурентных точек отображения, топологически транзитивное отображение может не иметь эргодической меры с полным носителем (т. е. меры, положительной на всех непустых открытых множествах) и минимальное множество может быть носителем более чем одной инвариантной меры. Однако, хотя соответствующие контрпримеры не могут быть названы патологическими, они все же должны рассматриваться как несколько нетипичные. (См., например, упражнение 4.1.9 и следствие 12.6.4.) Так, мы покажем, что для всех примеров из гл. 1 имеет место естественное соответствие между топологическими и статистическими свойствами. [c.153]

Вообще говоря, асимптотическое поведение потоков на поверхностях характеризуется медленным ростом числа орбит, но они обладают менее равномерными типами возвращения и статистического поведения, чем обратимые одномерные отображения, изучаемые в гл. 11 и 12. Первое обстоятельство тесно связано с тем фактом, что и орбиты, и одномерные трансверсали к потоку локально делят поверхность второе же обязано своим появлением прежде всего более сложной, чем у окружности (и тора), топологии поверхностей рода выще единицы и, в меньщей степени, эффектам замены времени. Характерными проявлениями этого типа сложности, промежуточного между простым поведением нашей первой группы примеров ( 1.3-1.6) и диффеоморфизмами окружности с одной стороны и примерами с положительной топологической энтропией ( 1.7-1.9, 5.4, 9.6) с другой, являются теоремы о конечности числа нетривиальных замыканий орбит (теорема 14.6.3) и неатомарных эргодических инвариантных мер (теорема 14.7.6) для потоков на поверхностях рода больще единицы. Эти результаты параллельны единственности минимального множества (предложение 11.2.5) и строгой эргодичности (теорема 11.2.9) гомеоморфизмов окружности. [c.454]

Предложение 12.2.2. Для ае[0, а е ОА) существует такой нетранзитивный С -диффеоморфизм / 5 —> 5 с а-гёльдеровой производной, что мера Лебега минимального / -инвариантного множества равна а. [c.409]

Предположим, что все орбиты сохраняющего площадь закручивающего диффеоморфизма замкнутого кольца Л = 5 х [0,1] глобально минимальны. Докажите, что множество А распадается в непересекающееся объединение /-инвариантных липшицевых графиков, где а пробегает полный интервал закручивания (см. упражнение 13.2.6), и все орбнты на упорядочены с числом вращения а. [c.444]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...