А-диффеоморфизм марковское разбиение

М. Морс [3], [4] и [5] использовал методы символической динамики для изучения минимальных геодезических па поверхности отрицательной кривизны. Данную статью можно рассматривать как распространение и обобщение результатов Морса на рассматриваемый случай. Настоящим обобщением геодезических потоков, изучавшихся Морсом, являются потоки, удовлетворяющие аксиоме А (см. [9]). Технически они сложнее диффеоморфизмов, ио со временем и для них будут построены марковские разбиения, и методы этой статьи будут перенесены на случай потоков. В частности, можно ожидать, что справедлива следующая [c.92]

Построение марковского разбиения на базисном множестве А-диффеоморфизма, приведенное в [Б1], использует тех- [c.220]

Как видно из [Б1], основным для построения метрической теории А-диффеоморфизмов и А-потоков является тот факт, что граница марковского разбиения д на базисном множестве Q является множеством нулевой д,-меры для всякой гиббсовской меры li. [c.226]

Общая теория динамических систем традиционно делится на две большие ветви — топологическую динамику и эргодическую теорию. Методы символической динамики работают и там, н там, ио в настоящем сборнике эргодическая часть все-таки преобладает. В первой статье читатель найдет построение марковского разбиения для ограничения диффеоморфизма, удовлетворяющего аксиоме А, на множество не-блуждаюших точек и эргодическую теорию таких диффеоморфизмов. Существенное место здесь занимают термодинамический формализм , гиббсовские меры н вариационный принцип . Введенные Д. Рюэлем и Я- Г. Синаем по аналогии со статистической физикой эти понятия удачно вписались в традиционный для динамических систем круг. Это оживило эргодическую теорию гладких систем и уже принесло интересные результаты. Оказалось, например, что базисные множества диффеоморфизмов класса С , удовлетворяющих аксиоме А, имеют лебеговскую меру нуль. Замечательно, чю класс гладкости здесь нельзя понизить в пятой статье сборника описано построение толстой подковы Смейла , базисное множество которой имеет положительную лебеговскую меру. [c.6]

Теорема. Пусть й., — базисное множество А-диффеоморфизма f. Тогда на Й5 существует марковское разбиение Я с пря.поугольниками произвольно малого диаметра. [c.67]

В этой статье марковские разбиения используются для изучения минимальных множеств диффеоморфизмов, принадлежащих к некоторому классу, введенному Смейлом [9]. В [I] (или [15, ЗС]. — Ре5.) мы построили марковские разбиения базисных множеств 2 диффеоморфизмов f, удовлетворяющих аксиоме А (см. [9]), обобщив метод, примененный Синаем к диффеоморфизмам Аносова ([7], [8], [П]). При помощи этих разбиений удается представить f = f QsKaк факторсистему неприводимой топологической марковской цепи с конечным числом состояний [1, 4] (нли [15, теорема 3.18]. — Ред.) при этом отображение факторизации л эквивариантиым образом сопоставляет точкам некоторые последователь- ности символов. [c.92]

На протяжении этой статьи через обозначается марковское разбиение отиосятельно / Qj— -Qs, где —базисное множество диффеоморфизма f, удовлетворяющего аксиоме А (мы используем определения и обозначения из [1] (или [15]. — Ред.)). При Е, F положим [c.93]

Эта статья в той или иной степени является непосредственным развитием упомянутых более ранних работ по диффеоморфизмам. Этим работам в свою очередь предшествовали подкова Смейла [23], [24], работа Адлера и Вейса [I] про автоморфизмы двумерного тора, марковские разбиения Сииая для У-днффеоморфнзмов [21], [22]. Для настоящей статьи были также полезны заметки Морса [15], Наконец, упомяием о статье [19], в которой было построено марковское разбиение для трехмерного У-потока. [c.108]

Доказательство. Аналогичное утверждение для марковских разбиений базисных множеств диффеоморфязмов было доказано в [4]. Из марковости семейства Ж следует, что при малых t отображение Пуанкаре Р Nx- N(j (x) и покрытия прямоугольниками Jfx и u) удовлетворяют в соответствующих окрестностях точек х и ср((л ) таким же условиям, каким удовлетворяют ограничение некоторого А-диффеоморфизма на его базисное множество / Qs s н марковское разбиение в окрестностях точек х и f x). Отсюда следует, что доказательство из [4] дает иам требуемый результат при малых I. При больших t рассмотрим последовательные моменты д , (х), ф, (л ), Ф (х), где —/ >0 мало, н воспользуемся тем, что отношение является частичным порядком. [c.120]

В этом разделе мы докал(ем теор му 2.5, приспособив конструкцию марковских разбиений для диффеоморфизмов [3] к отображениям Пуанкаре иа сечеииях. Приведенная ниже лемма 7.2 дает условия, необходимые для этой модификации. [c.136]

Один из возможных здесь путей — построение марковского разбиения. Сначала это сделали Адлер и Вейс [22] для автоморфизмов двумерного тора, затем Я. Г. Синай [15] для У-диффеоморфизмов (он же и ввел понятие марковского разбиения) и. наконец, Боуэи [Б1] —для ограничения А-диффеоморфизма на его базисные множества. В [Б1, 4] приведены эргодические, а в [Б2] — топологические следствия, вытекающие из существования марковского разбиения. В [Б3 и [Б4] аналогичная теория развивается дли потоков. Некоторые обобщения будут приведены далее во второй части этой статьи. [c.217]

Первоначальная конструкция марковских разбиений в случае дискретного времени описана Б [Зш] (для диффеоморфизмов Аносова) н в [51] (для компактных локально максимальных гиперболических множеств). Конструкция для потоков была изобретена независимо Боуэном [54] и Ратиер [267]. Марковские разбиения являются очень мощным инструментом, потому что оии позволяют сводить вычисления к символическому случаю, для которого имеются точные методы и результаты. Многочисленные приложения этого метода см. в [3021, [304], [281] и [245]. Наше изложение существования марковских разбиений близко следует [56]. [c.736]

Пусть Л — ЛМГМ диффеоморфизма 5, причем 5]Л — топологически транзитивно. Пусть также (2л, о) — символическое представление Л, построенное посредством марковского разбиения . Рассмотрим стационарную цепь Маркова с вероятностями переходов Pij = aijZilX A)Zi, где Я(Л)—максимальное положительное собственное значение матрицы А и Z= zi —соответствующий собственный вектор (см. [3]). Пусть далее (Хо — марковская мера на этой цепи Маркова и fxo — прообраз меры (Хо под действием отображения г з. Как показано в [3], (хо — мера с максимальной энтропией для S на Л (определение см. ниже п. 3.5). Сейчас будут указаны и некоторые другие важные свойства меры хо- [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...