Канонический диффеоморфизм

Канонические диффеоморфизмы полезно изучать с помощью аппарата производящих функций. Пусть, например, det 9Х/9х 7 0. В этом случае можно разрешить (по крайней мере локально) уравнение X = Х х, у) относительно х и считать X, у независимыми координатами. Тогда х = х Х,у), Y = У Х,у). [c.21]

Пусть теперь А — глобально канонический диффеоморфизм, Т — тор р = О, АТ — образ тора Т относительно диффеоморфизма А. [c.240]

Пусть теперь А [Щ [11 ] — аналитический глобально канонический диффеоморфизм (область [О ] задается неравенствами р < У у 1тд < р, О < 7 , р < 1 ), Пусть а у зс < А у) — А х) < а у — х [c.253]

Лемма П34.20. Формула Т = А8А задает глобальный канонический диффеоморфизм области [И ] — 35 е область [11 ] — 26, задаваемый производящей функцией Т, аналитической в [ПП — 6, где она удовлетво- [c.253]

Утверждение б) непосредственно следует из формулы (5). Определение 1. Диффеоморфизм г г, определяемый век-тор-функцией г = г(г, I), будем называть каноническим, если он [c.329]

Теорема 2. О канонических преобразованиях. Произвольное автономное каноническое преобразование является суперпозицией симплектического диффеоморфизма и преобразования растяжения . [c.330]

Следствие. Любой симплектический диффеоморфизм -каноническое преобразование. [c.336]

Согласно теореме (3), это преобразование каноническое. Очевидно, каноническим является и автономный симплектический диффеоморфизм П [c.336]

Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из того, что каноническая 1-форма, симплектическая 2-форма и действие группы вещественных чисел определены самой контактной структурой (при их построении не использовались координаты или иные неинвариантные средства), а диффеоморфизм / сохраняет контактную структуру. Из этого следует, что / переводит в себя все то, что инвариантно построено по контактной структуре, в частности 1-форму а, ее производную йа и действие группы, ч. т. д. [c.327]

Замечание ПЗЗ.14. Для леммы (П33.8) (без условия (П33.9)) существенно, чтобы отображение А было диффеоморфизмом, так как даже в случае п = 1 можно построить глобально каноническое отображение так, что Т и АТ не будут пересекаться. [c.242]

Множество критических значений второй канонической проекции является гиперповерхностью SJ дM, R), определённой над дМ уравнением Гамильтона-Якоби = 1. Таким образом мы получили вложение SJ дM, R) W (естественный диффеоморфизм на Е) и отображение ехр SJ дM, К) ЗТ М (по существу, зто отображение совпадает с отображением ехр, определённом в примере перед теоремой 3). [c.213]

Диффеоморфизм М —> М называется каноническим, если он сохраняет скобку Пуассона / о <р ( ) = /> 5 (<р( ))-Канонические диффеоморфизмы симплекти чес кого многообразия М,и) образуют, конечно, группу ). Фазовый поток любой гамильтоновой системы на М является однопараметрической подгруппой группы канонических диффеоморфизмов М. [c.20]

Канонический диффеоморфизм 20 Канонические элементы Делоне 186 Колмогоровские торы 124 Координаты изотермические 139 [c.427]

Лемма П34Л9. Если 8 р, д) и Т р, д) — две функции, аналитические в [11], где они удовлетворяют неравенствам < М, Т < М, то произведение соответствующих канонических отображений К = 8Т есть глобальный канонический диффеоморфизм области [Г2] — 36 в область [О] — 25, определяемый производящей функцией Я, аналитической [c.253]

Задача 7. Докажите, что в симплектическом пространстве всякая однопараметрическая группа канонических (сохраняющих dp Д йд) диффеоморфизмов всегда яеляется гамильтоновым потоком. [c.191]

Ж. Сииплектизация контактных диффеоморфизмов и полей. По каждому контактному диффеоморфизму контактного многообразия каноническим образом строится симплектический диффеоморфизм его симплектизации. [c.326]

Теорема. Определенное выше отображение /1 симплектизации контактного многообразия в себя является симплектическим диффеоморфизмом, коммутирующим с действием мультипликативной группы вещественных чисел и сохраняющим каноническую -форму на симплектизации. [c.327]

Доказательство. Нам нужно доказать, что периодические точки ллотлы в Ii f). Канонические координаты из 3,3 существуют для У-диффеоморфизмов, так же как и для Л-диф-феоморфизмов, поэтому предложение 3.6 н следствие 3.7 для них справедливы с заменой I2(f) иа М. Если у — иеблуждаю-щая точка У-диффеоморфизма /, то для всякого 7 можпо найти такую точку л , что d x,y)Периодические точки д , построенные согласпо 3.7 для таких X, сходятся к у. О [c.65]

Гамильтонова, или симплектическая, динамика. Эта теория — естественное обобщение анализа дифференциальных уравнений классической механики. Фазовое пространство в этом случае представляет собой четномерное гладкое многообразие с замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой П. Однопараметрические группы диффеоморфизмов, сохраняющих форму Q, соответствуют дифференциальным уравнениям классической механики в гамильтоновой форме. Сохраняющий форму П диффеоморфизм обобщает понятие канонического преобразования. Мы впервые встретимся с такими системами в 1.5 и рассмотрим эту тему более систематически в 5.5. [c.23]

Напомним, что в канонических локальных координатах (р, я) на М форма принимает вид dp/ dq, а поле sgгadД = ->=(—5Я/( д, с)Я/йр). Уравнения Гамильтона х — sgrad// порождают однопараметрическую группу диффеоморфизмов много-обрагия М (сохраняющих симплектическую структуру ю)—фазовый поток +. [c.151]

Для того, чтобы провести классификацию динамических систем, естественно искать их инварианты относительно соответствующей группы группы аффинных преобразований для геодезических потоков, группы канонических преобразований для гамильтоновых систем, группы сохраняющих меру диффеоморфизмов для классических систем. Абстрактные инвар нты име1ё более г окий смысл и задаются следующим определением. [c.19]

Пример 8. Пусть — гладкое многообразие и g — группа его диффеоморфизмов, порожденная векторным пачем и. Поскольку каждый диффеоморфизм N переводит 1-формы в 1-формы, то группа действует и на пространстве кокасательного расслоения М = Т М. Напомним, что М имеет стандартнук> симплектическую структуру ш =ёр/ <1д = й(р-с1ц), где р,д — канонические координаты на ЛГ. Поскольку группа g сохраняет 1-форму р-с1д, то она сохраняет 2-форму и, стало быть, является группой симплектических диффеоморфизмов М. Действие g на М порождается однозначной функцией Гамильтона Р = р и. Д [c.98]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...