Диффеоморфизмы н фазовые потоки

На симплектическом многообразии, как и на римановом, имеется естественный изоморфизм между векторными полями и 1-формами. Векторное поле на симплектическом многообразии, соответствующее дифференциалу функции, называется гамильтоновым векторным полем. Векторное поле на многообразии задает фазовый поток однопараметрическую группу диффеоморфизмов. Фазовый поток гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии сохраняет симплектическую структуру фазового пространства. [c.175]

Другими словами, росток диффеоморфизма в неподвижной точке является ростком преобразования фазового потока за время 1 единственного С -гладкого векторного поля. Оба возникающие вблизи неподвижных точек поля разносятся диффеоморфизмом на весь интервал между особыми точками. Фактор-пространство этого интервала по действию диффеоморфизма диффеоморфно окружности. На этой окружности возникают два векторных поля без особых точек, для которых окружность — цикл с периодом 1. Поэтому на окружности возникают две карты, определенные однозначно с точностью до сдвига времена движения, соответствующие каждому из полей. Функция пе- [c.75]

Таким образом, мы определили отображение фазовой плоскости на себя g R R . По известным теоремам теории обыкновенных дифференциальных уравнений отображение g является диффеоморфизмом (взаимно однозначным и взаимно дифференцируемым отображением). Диффеоморфизмы g, i G R, образуют группу = g ° g - Далее, отображение g тождественное (g M = = М), а отображение g обратно g . Отображение g R X R -> -> R , g (t, М) = дифференцируемо. Все эти свойства вместе выражают короче, говоря, что преобразования g образуют однопараметрическую группу диффеоморфизмов фазовой плоскости. Эту группу называют также фазовым потоком, заданным системой (2) (или уравнением (1)). [c.25]

Система (2) определяет векторное поле фазовой скорости в четырехмерном пространстве, и тем самым ) фазовый поток нашей системы (однопараметрическую группу диффеоморфизмов четырехмерного фазового пространства). Фазовые кривые системы (2) являются подмножествами четырехмерного фазового пространства. Все фазовое пространство разбивается на фазовые кривые. Проекции фазовых кривых из четырехмерного пространства иа плоскость х , х дают траектории нашей движущейся точки на плоскости Ху , х . Эти траектории называют также орбитами. Орбиты могут иметь точки пересечения, тогда как фазовые кривые друг друга не пересекают. Уравнение закона сохранения энергии [c.27]

А. Гамильтоновы фазовые потоки сохраняют симплектическую структуру. Пусть (М , (О ) — симплектическое многообразие, Н М К — функция. Предположим, что соответствующее В гамильтоново векторное поле I д,Н задает однопараметрическую группу диффеоморфизмов Л/ ", [c.177]

Задача. Всякая ли однопараметрическая группа диффеоморфизмов сохраняющих симплектическую структуру, является гамильтоновым-фазовым потоком [c.179]

В самом деле, пусть за время t течение жидкости осуществило диффеоморфизм gt, а скорость в этот момент времени задается векторным полем v. Тогда диффеоморфизм, осуществляемый течением за время i + т (где т мало) будет с точностью до малых по сравнению с т величин (здесь — это однопараметрическая группа с вектором скорости v, т. е. фазовый поток заданного полем v дифференциального уравнения). [c.296]

A. Пуассоновские действия групп Ли. Рассмотрим симплектическое многообразие (М , о ), и пусть группа Ли G действует на нем как группа симплектических диффеоморфизмов. Каждая однопараметрическая подгруппа группы G действует тогда как локально-гамильтонов фазовый поток на М. Во многих важных случаях эти потоки имеют однозначные функции Гамильтона. [c.338]

Теория гладких динамических систем, или дифференциальная динамика. Как показывает название, фазовое пространство в соответствующей теории обладает структурой гладкого многообразия, например является областью или замкнутой поверхностью в евклидовом пространстве (более детальное описание см. в 3 приложения). Эта теория, которая является основной темой данной книги, изучает диффеоморфизмы и потоки (гладкие однопараметрические группы диффеоморфизмов) на таких многообразиях и итерации необратимых дифференцируемых отображений. Мы будем рассматривать главным образом конечномерные ситуации. Интерес к бесконечномерным динамическим системам, который в большой степени стимулирован проблемами гидродинамики, статистической механики и других областей математической физики, непрерывно возрастал в течение последних двух десятилетий и продолжает расти. Несколько направлений бесконечномерной динамики успешно разрабатываются в значительной степени по аналогии с различными направлениями конечномерной динамики. [c.22]

Диффеоморфизмы и фазовые потоки.Диффеоморфизмом области и на область W называется взаимно однозначное отображение, дифференцируемое вместе с обратным. Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, дифференцируемость означает наличие непрерывных производных всех порядков. [c.14]

С каждым векторным полем и каждой точкой фазового пространства связан локальный фазовый поток однопараметрическое семейство диффеоморфизмов, определенных в некоторой окрестности этой точки. Отображения локального фазового потока соответствуют некоторому интервалу оси времен и обладают групповым свойством [c.15]

Диффеоморфизм М —> М называется каноническим, если он сохраняет скобку Пуассона / о <р ( ) = /> 5 (<р( ))-Канонические диффеоморфизмы симплекти чес кого многообразия М,и) образуют, конечно, группу ). Фазовый поток любой гамильтоновой системы на М является однопараметрической подгруппой группы канонических диффеоморфизмов М. [c.20]

Задача 6. Докажите, что однопараметрическая группа диффеоморфизмов симплектического многообразия тогда и только тогда сохраняет симплектическую структуру, когда она яеляется локально гамильтоновым фазовым потоком. [c.191]

Следовательно, наш фазовый поток определяет однопараметрп-ческую группу диффеоморфизмов 2п — 1-мерного многообразия [c.278]

Напомним, что в канонических локальных координатах (р, я) на М форма принимает вид dp/ dq, а поле sgгadД = ->=(—5Я/( д, с)Я/йр). Уравнения Гамильтона х — sgrad// порождают однопараметрическую группу диффеоморфизмов много-обрагия М (сохраняющих симплектическую структуру ю)—фазовый поток +. [c.151]

Можно считать, что разложение на ручки связано с градиентным потоком ((17) гл. 1) или с аппроксимирующим его потоком М.—С. С системой М.—С., не имеющей замкнутых траекторий ( в том числе с любым каскадом М.—С.), можно связать аналогичное разложение й а рзгчяси. В случае потока поле фазовой скорости иа дMt по-прежнему направлено строго внутрь а в случае каскада этому соответствует то, что gM лежит строго внутри Ми ПЬСЛеднее свойство выражают словами ДС (или диффеоморфизм) сохраняет фильтрацию (2), или [c.196]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...