Локальная теория диффеоморфизмов

Локальная теория диффеоморфизмов [c.104]

Пример. Пусть N = 2. Тогда многообразие — это поверхность, а поле гиперплоскостей — поле прямых. Такое поле в окрестности точки устроено всегда одинаково и весьма просто, а именно так, как поле касательных к семейству параллельных прямых на плоскости. Точнее, одним из основных результатов локальной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является возможность превратить любое гладкое поле касательных прямых па многообразии в поле касательных к семейству параллельных прямых евклидова пространства при помощи диффеоморфизма в достаточно малой окрестности любой точки многообразия. [c.315]

Эта простая теорема является прообразом нетривиальных теорем о спектральном разложении локально максимального гиперболического множества и о спектральном разложении А-диффеоморфизма (теорема 3.5 из [Б1]). [c.206]

Доказательство. Сначала, используя теорему 6.2.3, введем подходящие локальные координаты с центром в р так, чтобы устойчивое и неустойчивое многообразия в точке р совпали с координатными подпространствами К и соответственно. Так как устойчивые и неустойчивые многообразия для д и для / имеют касания бесконечной кратности, можно сопрячь д, используя некоторый диффеоморфизм, имеющий касание бесконечной кратности с тождественным, для которого возникающие в результате устойчивое и неустойчивое многообразия совпадают с соответствующими многообразиями /. По лемме о продолжении 6.2.7 существует пара (7°°-диффеоморфизмов К , сохраняющих начало координат, совпадающих с координатными представлениями /ид соответственно в некоторой окрестности начала координат и с линейной частью /ад вне некоторой большей окрестности, сохраняющих R и К"" и С -близких к их общей линейной части. Мы будем по-прежнему обозначать эти отображения / ад. Тогда отображение а = f — д имеет нулевые струи всех порядков в начале координат и само обращается в нуль вне некоторой окрестности начала координат. Покажем теперь, что отображение а может быть разложено в сумму [c.289]

Если к условиям, рассмотренным в предыдущей главе, добавить некоторые условия дифференцируемости, то можно установить несколько новых фактов из теории отображений окружности. В конце п. 11.2.6 мы наметили топологическую классификацию гомеоморфизмов окружности с иррациональными числами вращения. Если сосредоточить внимание на достаточно гладких диффеоморфизмах (см. теорему 12.1.1), ситуация существенно изменится. Предложение 12.2.1 показывает, что условие на гладкость является почти точным. Число вращения тогда становится полным инвариантом топологического сопряжения. Это несколько напоминает случай гиперболических динамических систем (см., например, теоремы 2.6.1 и 2.6.3). С другой стороны, классификация диффеоморфизмов окружности с точностью до дифференцируемого сопряжения возможна только для чисел вращения, удовлетворяющих дополнительным арифметическим условиям. В 12.3 мы докажем локальный результат такого типа в аналитической ситуации, а в 12.5 и 12.6 покажем, что в отсутствии такого арифметического условия сопряжение может обладать разного рода патологиями. В заключение в 12.7 мы покажем, что определенный аспект поведения преобразования поворота на иррациональный угол, а именно егО эргодичность относительно меры Лебега, сохраняется для всех достаточно гладких диффеоморфизмов окружности. [c.405]

Хорошо известно, что глобальные качественные свойства гамильтоновых дифференциальных уравнений сильно отличаются от свойств обыкновенных Дифференциальных уравнений, задаваемых типичными векторными полями (например, аттракторы, чрезвычайно важные в общей теории, в гамильтоновом случае отсутствуют). Тем не менее, локально гамильтоново поле так же просто, как и типичное векторное поле оба могут быть приведены диффеоморфизмами к одной тривиальной нормальной форме в некоторой окрестности любой неособой точки. [c.273]

Локальные теории диффеоморфизмов и дифференциальных уравнений почти идентичны. В этом параграфе дается краткий обаор первой из упомянутых теорий. [c.104]

Преобразование монодромии полученного автономного уравие ния, соответствующее замкнутой фазовой кривой х=0, называется преобразованием монодромии исходного периодического уравнения. Это построение вместе с теоремой о реализации из 1 сводит теорию периодических уравнений к локальной теории диффеоморфизмов все эффекты, наблюдаемые в одной теории, наблюдаются и в другой. Однако вычисление асимптотики преобразования монодромии, как правило, невозможно без приведения периодического дифференциального уравнения к нормальной форме. Начнем с изучения линейного случая. [c.108]

Теоремы об инвариантных многообразиях в окрестности замкнутых фазовых кривых аналитических векторных полей анонсированы А. Д. Брюно [18 42]. В силу теоремы п. 1.2, они переносятся на локальную теорию аналитических диффеоморфизмов. [c.107]

В локальной теории автономных дифференциальных уравнений и диффеоморфизмов любое конечное число членов нор мальной формы Пуанкаре—Дюлака вычисляется с помощы конечного числа алгебраических действий. Для периодических дифференциальных уравнений уже вычисление оператора монодромии линеаризованной системы требует решения линейной системы с периодическими коэффициентами в R" при п>1 решение такого уравнения, как правило, не может быть найдено с помощью квадратур (см. 3, гл. 7). [c.110]

Бифуркации фазовых портретов в окрестности цикла полностью описываются бифуркациями соответствующего Преобразования монодромии. Поэтому основным объектом изучения в этой главе являются бифуркации ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке. Локальные семейства ростков диффеоморфизмов, их эквивалентность, слабая эквивалентность, индуцированные и нереальные деформации ростков определяются так же, как и для ростков векторных полей (см. п. 1.5). Для ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке справедливы аналоги теорем сведения ([26, п. 2.4, гл. 6] и п. 1.6, гл. 1). Ограничение ростка диффеоморфизма на центральное многообразие называется редуцированном ростком диффеоморфизма. Отметим, что редуцированный росток может менять ориентацию, даже если исходный росток ее не менял пример diag(l —1 [c.42]

Пятый параграф посвящен конечногладкой теории. В нем исследуются нормальные формы локальных семейств векторных полей и диффеоморфизмов, к которым семейства могут быть приведены конечногладкой заменой координат в фазовом пространстве. Эти нормальные формы полезны для теории нелокальных бифуркаций и релаксационных колебаний. [c.42]

Связь с теорией уравнений, не разрешенных относительно производной. Рассмотрим точку, где наше поле плоскостей невырождено (задает контактную структуру) . Слои нашего расслоения касаются плоскостей поля. Значит, расслоение ле-жандрово (состоит из интегральных многообразий максимальной размерности). Все лежандровы расслоения в контактном пространстве фиксированной размерности локально контактно-морфны (переводятся друг в друга вместе с контактной структурой диффеоморфизмом в окрестности каждой точки пространства расслоения). Следовательно, наше трехмерное пространство быстрых и медленных переменных с введенной контактной структурой расслоенным (над плоскостью медленных переменных) локальным диффеоморфизмом переводится в трехмерное пространство 1-струй функций одного переменного, расслоенного над пространством 0-струй, с его естественной контактной структурой. [c.179]

Бесконечномерные группы Ли являются обобщением ГЛ. Элементы таких Г. характеризуются заданием бесконечного набора числовых параметров (или нек-рого количества ф-ций). В физике используют в осн. Г. линейных операторов в бесконечномерных линейных пространствах, Г. диффеоморфизмов гладких многообразий и Г. калибровочных преобразований. Теория таких Г. разработана в гораздо меньшей степени, чем теория обычных (конечномерных) ГЛ. Большинство результатов здесь носит отрицат. характер эти Г. не являются локально компактными, на них не существует инвариантного интеграла, они могут не иметь полпой системы унитарных представлений. [c.542]

Теперь приступим к систематическому анализу динамики диффеоморфизмов компактных гладких многообразий, основанному на теории линейных коциклов, рассмотренных в Д 2, и, в частности, на теореме Оселедца — Песина о е-редукции Д 2.10. Напомним, что для диффеоморфизма / М—> М компактного гладкого п-мерного риманова многообразия М, сохраняющего борелевскую вероятностную меру ц, мы можем (вводя локальные координаты) рассматривать производную Df как линейный коцикл для / следовательно, по теореме о е-редукции для данного е > О и для почти всех х М существует такое линейное преобразование С х) Т М — R", что преобразование [c.668]

Начиная с 70-х годов, преимущества широкого изучения действия общих групп стали очевидными и соответствующая теория интенсивно развивалась в тесном взаимодействии с теорией представлений, теорией групп Ли и дифференциальной геометрией. При этом, в свою очередь, эргодические методы дали много нового и для теории групп Ли (например, в теории арифметических подгрупп Мостова—Маргулиса) и теории представлений. Особенно важно, что метрические задачи для групп R , групп движений и др. стали широко использоваться в математической физике. В самое последнее время активно изучаются действия бесконечномерных ( больших ) групп (например, групп диффеоморфизмов, токов и др.). Различие между локально к01мпактными группами и остальными в эргодической теории очень существенно, а именно, орбиты действия не локально компактной группы могут не иметь даже квазиинвариантной меры поэтому разбиение на орбиты, разложение на эргодические компоненты могут быть не определены корректно. Для локально компактных групп эти вопросы решаются так же, как и для групп Z и R. Здесь мы будем рассматривать лишь локально компактные группы. Остановимся на немногих общих вопросах определение действия групп, эргодические теоремы, характеризация дискретного спектра. [c.79]

Типичная функция в трёхмерном пространстве, содержащем фронт Щ, может быть приведена к виду Л-f- onst локальным диффеоморфизмом, сохраняющим поверхность фронта (что следует из обычной теории сворачивания инвариантов групп отражений). [c.271]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...