Диффеоморфизм Аносова

Боуэн Р., Равновесные состояния и эргодическая теория диффеоморфизмов Аносова, первая статья в настоящем сборнике. [c.105]

Еслн для диффеоморфизма f . М -М все многообразие М является гиперболическим множеством, то I называется У-диффеоморфизмом (илн диффеоморфизмом Аносова). Аналогично определяются У-потоки. Применив теорему об устойчивости гиперболического множества из предыдущего пункта к случаю А = М, получаем следующую теорему Д. В. Аносова [Ан] о структурной устойчивости, или грубости, У-диффеоморфизмов. [c.214]

Определение 6.4.2. С -диффеоморфизм / М —> М компактного многообразия М называется диффеоморфизмом Аносова, если М — гиперболическое множество для /. [c.269]

Вообще, любой гиперболический автоморфизм гг-мерного тора, определенный в конце 1.8, является диффеоморфизмом Аносова. В этом случае мы можем с помощью предложения 1.2.2 найти евклидову норму в К", в которой матрица L становится сжимающим отображением в пространстве E (L) и растягивающим в E L) (см. (1.2.4) и (1.2.5)), спроектировать риманову метрику, порожденную этой нормой, на Т" и рассмотреть инвариантное разложение в каждой точке на подпространства, параллельные Е+ Ь) и E L). Можно взять Л = г ( -( ,) + 5, м = г -Ь S [c.269]

Диффеоморфизмы Аносова довольно редки. Гораздо чаще встречаются гиперболические множества, не являющиеся многообразиями. Прототипом такого множества является подкова , описанная в п. 2.5 в. В этом случае можно использовать евклидову норму, Л = 1 /2, /х = 2 и разложение на горизонтальное и вертикальное направления как гиперболическое разбиение. Дальнейшие примеры гиперболических множеств и систем Аносова рассматриваются в 6.5 и в гл. 17. [c.269]

Следствие 6.4.7. Любое достаточно малое С-возмущение диффеоморфизма Аносова является диффеоморфизмом Аносова. [c.271]

Покажите, что единственная компактная ориентируемая поверхность S, на которой существует диффеоморфизм Аносова, —это тор. [c.337]

Предположим, что / М - М — диффеоморфизм Аносова и его неустойчивое многообразие Е ориентируемо в следующем смысле каждому реперу из неустойчивого подпространства Е можно приписать знак таким способом, что он не меняется при непрерывном переносе репера. Покажите, что тогда С-фуикция (3.1.3) / рациональна. [c.337]

Покажите, что не существует сохраняющего объем диффеоморфизма Аносова на сфере. [c.338]

Далее будет описан по существу единственный (с точностью до топологического сопряжения) известный класс диффеоморфизмов Аносова, отличных от автоморфизмов тора ( 17.3). [c.533]

До сих пор единственными примерами диффеоморфизмов Аносова (определение 6.4.2), с которыми мы встречались, были гиперболические автоморфизмы п-мерного тора ( 1.8) и их возмущения, которые в силу теоремы 2.6.3 и упражнения 2.6.1 топологически сопряжены с линейными моделями. Как уже упоминалось в п. 6.4 а, диффеоморфизмы Аносова являются достаточно специальными объектами. Например, в предложениях [c.542]

Тогда для каждого г е 1,2 с)ш ествует единственный такой автоморфизм С—> С, что DP = f . Поскольку Л, и Лг—единицы поля К, т. е. целые числа, обратные к которым тоже являются целыми, и о (А,) = Х , мы также получаем, что ] (Г) = Г, г = 1,2. Таким образом, автоморфизмы Р проектируются в диффеоморфизмы Аносова фактора Г С. [c.545]

Подчеркнем, что в отличие от диффеоморфизмов Аносова, которые кажутся достаточно жесткими объектами с точки зрения топологического сопряжения, потоки Аносова встречаются чаще. С одной стороны, известны другие конструкции римановых многообразий отрицательной кривизны, кроме возмущений симметрических пространств. В частности, существуют римановы многообразия отрицательной кривизны размерности, большей [c.558]

Следствие 18.2.2. Диффеоморфизмы Аносова структурно устойчивы. Сопряжение единственно, если оно достаточно близко к тождественному отображению. [c.573]

Следствие 18.3.5. Пусть f М М—такой диффеоморфизм Аносова компактного связного многообразия, что NW(f) = М. Тогда / является топологическим перемешиванием. [c.576]

Замечания. 1.Так как надстройка диффеоморфизма Аносова — поток Аносова, а надстройка никогда не является топологическим перемешиванием, следствие 18.3.5 не имеет места для потоков. [c.577]

Неизвестно, верно ли равенство JVW(/) = M для каждого диффеоморфизма Аносова / М М, хотя это весьма вероятно. Это равенство выполнено, если М = Т" (предложение 18.6.5). Однако, как мы отметили в конце 17.7, для потоков Аносова неблуждающее множество не всегда совпадает со всем многообразием. [c.577]

Глобальная классификация диффеоморфизмов Аносова на торе [c.588]

Доказательство. Предположим, что диффеоморфизм / Т" -+ Т" является диффеоморфизмом Аносова. Его гомотопический класс содержит в точности одно линейное отображение Т" —>Т". [c.588]

КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ АНОСОВА НА ТОРЕ 589 [c.589]

Лемма 18.6.3. Если Р К — К — поднятие диффеоморфизма Аносова и Ь —такое поднятие гиперболического автоморфизма, так что расстояние Ь(х)) ограничено, тоР имеет не более одной непо- [c.590]

Предложение 18.6.5. Если f T —диффеоморфизм Аносова на торе Т", то NW(f) = f (и, таким образом, по следствию 18.3.5 / является топологическим перемешиванием). [c.590]

Постройте пример диффеоморфизма Аносова иа Т , который обладает аналитическим неустойчивым слоением, но не является С -сопряженным ни с каким линейным диффеоморфизмом Аносова. [c.610]

Постройте пример сохраняющего площадь диффеоморфизма Аносова на Т , устойчивое слоение которого двумерно н С°°-гладко, но для него не существует С -сопряжения ни с каким линейным отображением. [c.610]

Предположим, что /—достаточно малое аналитическое возмущение линейного диффеоморфизма Аносова Т на с аналитическими устойчивым и неустойчивым слоениями. Покажите, что отображение / аналитически сопряжено с Т [ ]. [c.610]

Теперь мы покажем, что необходимое условие существования инвариант ных гладких мер, приведенное в предложении 5.1.6, является достаточным для топологически транзитивных диффеоморфизмов Аносова. Напомним что J/(-) обозначает якобиан дифференцируемого отображения относитель но данной формы объема. [c.613]

Замечание. Заметим, что в силу следствия 18.3.5 для диффеоморфизмов Аносова f М - М топологическая транзитивность эквивалентна условию NW(/) - М. [c.614]

В предыдущем параграфе мы исследовали инвариантные меры разделяющих гомеоморфизмов со свойством спецификации. Теперь рассмотрим специальный класс таких отображений, а именно транзитивные диффеоморфизмы Аносова. Одна из причин того внимания, которое мы уделили теории равновесных состояний, состоит в том, что эта теория позволяет получить интересные результаты для данного случая. При рассмотрении диффеоморфизмов гладких многообразий естественно интересоваться инвариантными гладкими мерами, как это было сделано, например, в гл. 5. [c.638]

В этой статье марковские разбиения используются для изучения минимальных множеств диффеоморфизмов, принадлежащих к некоторому классу, введенному Смейлом [9]. В [I] (или [15, ЗС]. — Ре5.) мы построили марковские разбиения базисных множеств 2 диффеоморфизмов f, удовлетворяющих аксиоме А (см. [9]), обобщив метод, примененный Синаем к диффеоморфизмам Аносова ([7], [8], [П]). При помощи этих разбиений удается представить f = f QsKaк факторсистему неприводимой топологической марковской цепи с конечным числом состояний [1, 4] (нли [15, теорема 3.18]. — Ред.) при этом отображение факторизации л эквивариантиым образом сопоставляет точкам некоторые последователь- ности символов. [c.92]

Р. Воуэн. РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ АНОСОВА........................ [c.245]

Распространение понятия гиперболического множества на необратимые системы представляет любопытную проблему. В то время как сжимающаяся часть Е гиперболического разложения определяется поведением вдоль положительной полуорбиты точки х и в этом случае легко может быть определена, определение растягивающейся части Е требует рассмотрения отрицательной полуорбиты х, которая определена неоднозначно для необратимых отображений. Это делает общее понятие гиперболичности менее удобным, и потому мы не будем его вводить. Однако существует специальный случай, когда неоднозначность в выборе растягивающейся части отсутствует, а именно когда сжимающаяся часть отсутствует вовсе и, следовательно, растягивающаяся часть представляет собой все касательное пространство. Мы уже рассматривали растягивающие отображения в п. 2.4 а (см. определение 2.4.1). Такие отобрасжения встречаются довольно редко, как и диффеоморфизмы Аносова, представляющие собой их обратимый аналог. Более общее понятие, подобное гиперболическим множествам для обратимых отображений, описывается в следующем определении. [c.269]

В этом параграфе будет показано, что в случае диффеоморфизмов Аносова на торе структурная устойчивость приводит к глобальной классификации. Мы уже видели в 2.6, что в пределах гомотопического класса гиперболического автоморфизма любое отображение / (и, следовательно, любой диффеоморфизм Аносова) имеет линейную модель в качестве фактора. Сначала будет показано, что любой диффеоморфизм Аносова гомотопен линейному гиперболическому. Ключевую роль в доказательстве этого факта играют теорема 18.5.6 и формула Лефшеца (8.6.1). Затем мы докажем, что полусопряжение с линейнои моделью на самом деле инъективно, следовательно, является гомеоморфизмом. В качестве промежуточного результата, представляющего независимый интерес, покажем, что неблуждающее множество совпадает со всем тором. [c.588]

Теорема 18.6.1. Каждый диффеоморфизм Аносова п-мерного тора топологически сопряжен с линейньш. гиперболическим автоморфизмом. [c.588]

Таким образом, мы получили сюръективное полусопряжение диффеоморфизма Аносова / с линейной моделью и показали, что оно инъективно, следовательно, является сопряжением, и тем самым доказали теорему 18.6.1. [c.593]

Поскольку по теореме 18.6.1 диффеоморфизмы Аносова на торе сопряжены с линейными моделями, для которых отображения голономии гладки, мы получаем еще одно следствие. [c.602]

Теорема 19.2.7. ПустьМ—риманово многообразие с формой объема и f М —у М — -топологически транзитивный диффеоморфизм Аносова. Тогда следуюи ие три условия эквивалентны [c.614]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...