Равновесие точки на кривой

Таким же образом, в случае равновесия точки на кривой, умножая обе части каждого из уравнений (21) соответственно на i, J, А и складывая их почленно, получим следующее векторное равенство [c.290]

Если точка М может двигаться по кривой, то работа силы F, приложенной к точке, на перемещении точки по кривой может обратиться в нуль лишь в том случае, когда эта сила равна нулю или нормальна к кривой, в этом именно и заключается необходимое и достаточное условие равновесия точки на кривой. [c.288]

Обратимся к рассмотренному ранее примеру с рычажными весами. Формула равновесия весов (11.8) была получена с использованием условия (11.4) экстремальной функции t/(0). Но следствием принципа виртуальных перемещений является не просто экстремальность, а именно минимальность потенциальной энергии системы. Для выяснения вида стационарной точки на кривой t/(0) надо, как известно, исследовать поведение производных этой функции более высокого порядка, чем первый. Иначе говоря, необходимое условие (11.7) надо дополнить условием, достаточным для устойчивого равновесия fsW>Q, или (52[//<302)а,(>О, т. е. [c.114]

Действие кривой на точку выражается нормальной силой МЫ, которая называется нормальной реакцией. Точка М оказывает на кривую давление, равное и противоположное этой реакции. Если точка находится в равновесии, то нормальная реакция равна силе Р, но противоположна ей, а давление точки на кривую есть сама сила (рис. 66). [c.119]

Случай образования стабильных или метастабильных тонких пленок жидкого металла, находящихся в равновесии с объемной фазой (с образованием конечного краевого угла), обусловлен проявлением двух экстремальных точек на кривой изменения а с толщиной пленки (рис. 1, кривая 2). Такие состояния могут реализоваться как при П > О [2], так и при П < О [2, 9]. Равновесную толщину пленки находят из условия равенства химических потенциалов, что для чистой жидкости сводится к равенству заштрихованных площадей на кривой 2 рис.1 [8]. [c.135]

Если в качестве возмущения принимается малый наклон фо стержня в незагруженном состоянии, то на кривых возмущенного равновесия также имеются две критические точки, которые являются предельными, и нет точек бифуркации. [c.403]

Каждой точке кривой насыщения соответствует состояние равновесия жидкой и паровой фаз. Оканчивается кривая критической точкой. Выще и ниже этой кр-ивой фазового равновесия расположены области однофазного состояния вещества, причем вещество в состояниях, соответствующих точкам над кривой (точка А на рис. 1-3), находится в жидкой фазе, а ниже кривой (точка D на рис 1-3) — в состоянии паровой (газообразной) фазы. При изменении состояния вещества от Л к К (рис. 1-3) в точке В происходит распадение вещества на две фазы и постепенно одна фаза переходит в другую. Таким образом, фазовый переход, который в диаграмме р—v изображается линией (прямая В—С на рис. 1-2), в диаграмме р—t изображается точкой. На кривой насыщения свойства вещества изменяются скачком при давлении чуть выше давления насыщения р вещество является жидкостью, а при давлении чуть ниже ря — паром. [c.10]

Пересекающиеся на рис. 6 кривые АС и F представляют границы между гомогенной областью -фазы и двухфазными областями (а + жидкость) и (а -f- Р)- В качестве общего правила можно указать, что во всех случаях, где такое пересечение имеется в какой-либо части диаграммы равновесия (точка С), кривые, если их экстраполировать за точку пересечения, должны пройти в двухфазную область, как указано пунктирными линиями на рис. 6. Можно показать (см. ниже), что проходящая при экстраполяции в гомогенную а-область кривая, подобная F на рис. 7(a), невозможна. Точнее говоря, это правило применимо только к той части линии F , которая находится в непосредственной близости от точки С, так что кривая, изображенная на рис. 7 (б), возможна, хотя и мало вероятна. [c.15]

Всякая реальная оболочка из-за геометрических несовершенств сразу же после приложения нагрузки начинает отклоняться от своей начальной формы (кривая ОС на рис. 8.13, б). При достижении некоторого значения нагрузки оболочка теряет устойчивость, переходя хлопком в новое состояние равновесия (из точки j на кривую С С). Если такой хлопок сопровождается только упругими деформациями оболочки, то при последующем уменьшении внешнего давления происходит обратный хлопок (из точки на кривую O i). [c.246]

Соотношения (1) и (2) показывают, что равновесие устанавливается между такими двумя состояниями, которые соответствуют точкам на кривых Ра и Ръ, имеющим общую касательную (см. фиг. 79) [c.251]

Если рг соответствует устойчивому состоянию равновесия, то на плоскости ху будет устойчивый предельный цикл. Все соседние интегральные кривые будут спиралями, накручивающимися на этот цикл. Если же р соответствует неустойчивому состоянию равновесия, то на плоскости ху будет неустойчивый предельный цикл (рис. 21.26). [c.539]

Отметим то важное для практики обстоятельство, что точка, соответствующая найденному положению равновесия, находится на кривой устойчивых равновесий I, берущей начало, как уже отмечалось при о = О, а = = 0. Это дает возможность получить в эксперименте искомое положение равновесия путем постепенного наращивания числа оборотов электродвигателя начиная с о = О, т. е. из положения статического равновесия. [c.744]

Теорема 27. Пусть С — простая замкнутая кривая в области G, G Г — внутренняя область, ограничиваемая ею. Если Г целиком принадлежит G и содержит конечное число состояний равновесия, а на кривой С их нет совсем, то индекс кривой С равен сум.ие индексов всех состояний равновесия, расположенных внутри С (т. е. в Г). [c.215]

Если точка, соответствующая состоянию равновесия, лежит на кривой о, то для нее а = О, и если при этом для нее А > О, то это состояние равновесия — сложный фокус. Так как кривая А зависит только от параметров Я и ге, а кривая а — еще и от параметра 1г, то взаимное расположение этих кривых может быть различным. [c.328]

Второе из этих неравенств имеет место во всех точках кривой фазового равновесия (кроме критической точки, которая будет рассмотрена позже) что касается первого неравенства, то на кривой фазового равновесия может существовать одна или несколько изолированных точек, в которых объемы равновесно сосуществующих фаз одинаковы. [c.75]

КРИТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ, предельное состояние равновесия двухфазной системы, в к-ром обе сосуществующие фазы становятся тождественными по своим св-вам. На диаграммах состояния К. с. соответствуют предельные точки на кривых равновесия фаз — т. н. критические точки. Согласно Гиббса правилу фаз, критич. точка изолирована в случае двухфазного равновесия чистого в-ва, а в случае, напр., бинарных (двухкомпонентных) р-ров критич. точки образуют критич. кривую (см. рис.в ст. Критическая температура). Значения параметров состояния системы, соответствующие К. с., наз. критическими — критич. давление p , критич. темп-ра Гк, критич. объём Ук> критич. концентрация и т. д. [c.333]

Кривая KD определяет объем сухого пара v", а кривая АК — объем кипящей жидкости v при различных давлениях кривая AF определяет объем жидкой фазы, находящейся в равновесии с твердой фазой, кривая СЕ — объем твердой фазы, а кривая ВМ соответствует равновесию трех фаз (или соответствует тройной точке на рГ-диаграмме). Точка /С —критическая точка. [c.177]

Рассмотрим процесс парообразования бинарной смеси в t -диаграмме. Допустим, что начальное состояние исследуемой смеси характеризуется точкой I с концентрацией j и температурой Если к данному раствору подводить теплоту, то ее температура будет возрастать по линии 1-2. В точке 2, расположенной на кривой кипящей жидкости, раствор закипит, и температура сухого насыщенного пара в точке 2" будет равна температуре жидкости. Состав пара в точке 2" значительно отличается от состава кипящей жидкости в точке 2. Следовательно, в точке 2 находится кипящая жидкость состава j и находящийся в равновесии сухой насыщенный пар состава Сг, причем С2">С2. [c.335]

Рассмотрим для этого две близкие точки Д и В на кривой равновесия фаз на плоскости (РТ) (рис.6.9). Поскольку химические потенциалы фаз должны быть равны друг другу в обеих этих точках, должны быть равны и их изменения, возникающие при переходе от точки А к точке В [c.130]

Xk, лежит на кривой / (х, >.) == О справа от заштрихованной области, то fx Xh, t) < О, а если слева, то f x (х , к) > 0. В результате получаем бифуркационную диаграмму (рис. 2.4), на которой точками отмечены участки кривой / (х, X) = О, соответствующие устойчивым состояниям равновесия, а крестиками — неустойчивым состояниям равновесия. [c.23]

Подставляя в уравнение А = О выражения (3.11) и учитывая (3.8), получим параметрические уравнения для границы седел, на плоскости совпадающие с уравнениями (3.10). Таким образом, граничная кривая области параметров, при которых в системе имеется три состояния равновесия, совпадает с кривой рождения (или исчезновения) седловой особой точки. [c.56]

Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях и /V,,-Поверхность не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двоякоасимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для ->того требуется пересечение интегральных многообразий Sp и S.,, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности yv происходит слияние состояний равновесия О"" и Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку О"" проходят интегральные многообразия Sp и S, и через точку 0/>+1, -I — интегральные многообразия Sp i и S i. Пересечение многообразий Sq и Sp,.i является общим. В силу того, что на поверхности /V,, состояния равновесия О -" и сливаются, до момента этого слияния поверхности Sg и Sp+i в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазо- [c.264]

Метод множителей Лагранжа. Наложенные на точку связи могут удерживать ее на какой-нибудь поверхности или кривой. Рассмотрим, как при этом составляются уравнения, определяющие положение равновесия точки с помощью множителей Лагранжа. [c.284]

Равновесие точки на кривой, а) Рассмотрим сначала случай неосвобождающих связей. Пуст1з уравнения связи, т. е. уравнения поверхностей, пересечением которых является данная кривая, будут [c.287]

Обычно рассматривают проекции трёхмерной Д. с. на одну из координатных плоскостей (чаще на плоскость р, Т рис.). Любая точка Д.с. (фигуративная точка) изображает равновесное состояние в-ва при данных значениях р vi Т. Точка О (тройная точка) соответствует равновесию трёх фаз в-ва твёрдой, жидкой и газообразной. В точке О пересекаются три кривые ОА (кривая возгон-к И, или сублимации), каждая точка к-рой соответствует равновесию тв. и газообразной фаз в-ва ОК (кривая испарения) — жидкой и газообразной фазам кривая плавления О В (или OB ) — ТВ. и жидкой фазам (ОВ для в-в, у к-рых темп-ра плавления Гпд растёт с давлением, OB для в-в с уменьшающейся с ростом р). Эти кривые делят плоскость Д. с. на области существования каждой из трёх фаз твёрдой (5), жидкой (L) и газообразной (G). В точке Я — критической точке исчезает различие между св-вами жидкости и газа. Согласно Гиббса правилу фаз, точке О соответствует безвариантное равновесие, точкам на кривых ОА, ОВ (OB ) и О К — моновариантное равновесие, а точкам в каждой из областей S, L и G — дивариантное (двухвариантное) равновесие. При существовании у в-ва полиморфных модификаций Д. с. усложняется (число тройных точек равно числу полиморфных превращений, см. Полиморфизм). [c.156]

Если р соответствует устойчивому состоянию равновесия, то на плоскости qq — устойчивый предельный цикл все соседние интеЕральные кривые — спирали, накручивающиеся на этот предельный цикл. Если же р/, соответствует неустойчивому состоянию равновесия, то на плоскости qq — неустойчивый предельный цикл. [c.126]

Выбор растворителей с термодинамической точки зрения для высокополимерных загустителей применительно к ПИНС, как и для лакокрасочных материалов, может быть осуществлен по данным анализа фазовых диаграмм (рис. 7). Кривая равновесия, которая отделяет область однофазных (лиофильных) систем от области двухфазных, метастабильных (медленно расслаивающихся) систем, называется бинодалью кривая, отделяющая метастабильную область от нестабильной (быстро расслаивающейся) — синодалью верхняя точка на кривой равновесия — критическая температура смешения. [c.64]

В таком процессе в каждый момент времени система находится в равновесии и ее состояние точно (а не усредненно, как в нерав-иовесном) определяется параметрами р, v и Т. При этом точки на кривой процесса определяют точное значение соответствующих параметров. [c.27]

При охлаждении до эвтектической температуры равновесный состав жидкости и аустенита приближается к точкам на кривых СС[ и ЕЕ[. По достижении этой температуры осуществляется эвтектическая реакция Ж аустенит + карбид, равновесные составы участвующих фаз определяются вершинами конодного треугольника, лежащими для карбида в точке РсдС (/С), для аустенита на кривой , для жидкости на кривой ССу В температурном интервале эвтектического превращения при постоянном составе карбида составы жидкости и аустенита описываются поворотом конодного треугольника вокруг вершины К с перемещением состава жидкости Ж по СС[ и состава аустенита у по ЕЕ[ (рис. 2, г). В предельном случае равновесие Ж—у определяется конодой С[Е[, показывающей, что концентрация меди в эвтектическом аустените значительно выше, чем в жидкости. Такое положение эвтектического треугольника и его поворот при понижении температуры вершиной в направлении к монотектической точке обусловлены понижением температуры равновесия Ж + У + К под влиянием меди [6]. Описанный характер изменения равновесных составов указывает на возможность прямой ликвации меди в эвтектическом аустените при охлаждении в трехфазной области. [c.64]

Для Ф. п. II рода характерно отсутствие скачков плотности в-ва, концентрации компонентов, теплоты перехода. Но точно такая же картина наблюдается и в критич. точке на кривой Ф. п. I рода (см. Критические явления). Сходство оказывается очень глубоким. Ок. критич. точки состояние в-ва можно характеризовать величиной, играющей роль параметра порядка. Напр., в случае критич. точки на кривой равновесия жидкость—пар — это отклонение плотности от ср. значения. При движении по критич. изохоре со стороны высоких темп-р газ однороден, и отклонение плотности от среднего значения равно нулю. Ниже критической температуры в-во расслаивается на две фазы, в каждой из к-рых отклонение плотности от критической не равно нулю. Поскольку вблизи точки Ф. п. II рода фазы мало отличаются друг от друга, возмояшо образование зародышей большого размера одной фазы в другой фазе [флуктуация), точно так же, как вблизи критич. точки. С этим связаны многие критич. явления при Ф. п. II рода бесконечный рост магнитной восприимчивости ферромагнетиков и диэлектрической во с приимчивос ти сегнетоэлектриков (аналогом явл. рост сжимаемости вблизи критич. точки жидкость—пар), бесконечный рост теплоёмкости, аномальное рассеяние эл.-магн. волн [световых в системе жидкость—пар (см. Опалесценция критическая), рентгеновских в ТВ. телах], нейтронов в ферромагнетиках. Существенно меняются и динамич. явления, что связано с очень медленным рассасыванием образовавшихся флуктуаций. Напр., вблизи критич. точки жидкость—пар сужается линия рэлеевского рассеяния света, вблизи Кюри точки ферромагнетиков и Нееля точки антиферромагнетиков замедляется спиновая диффузия (происходящее по законам диффузии распространение избыточной намагниченности) и т. д. Ср. размер флуктуаций (радиус корреляций) Я растёт по мере приближения к точке Ф. п. II рода и становится в этой точке бесконечно большим. [c.801]

Все сплавы в интервале концентраций от 4,3 до 6,67% С кристаллизуются подобно сплаву I. До точки / происходит охлаждение однофазного жидкого раствора. В интервале /—2 выпадают кристаллы первичного цементита (Ц ). При двух фазах в двухкомпонентной системе с , поэтому возможно замедленное охлаждение (рис. 5.3,6). Причем жидкий раствор обедняется С в связи с кристаллизацией высокоуглеродистого цементита состав жидкого раствора изменяется по участку 1—С (линии ликвидуса). При достижении 1147° С (точка 2) заэвтектический сплав (4,3%С) кристаллизуется с образованием эвтектики из аустенита Ар, 2% С) и цементита. Это ледебурит. При трех фазах (жидкий раствор, аустенит, цементит) с = 0 и возникает нонва-риантное равновесие. Невозможно изменение состава фаз или температуры, что характеризуется площадкой 2—2 на кривой охлаждения (рис. 5.3,6). После затвердевания сплав состоит из первичных кристаллов цементита и ледебуритной эвтектики и происходит дальнейшее охлаждение. [c.62]

Термодинамика полиморфного превращения. Термодинамический анализ основан на рассмотрении изменений свободной энергии в зависимости от температуры и состава (рис. 13.2). Полиморфное превращение в сплаве Со при охлаждении происходит в интервале температур гч—г. Свободная энергия фаз а и 7 (f и Fy соответственно) в системе твердых растворов А (В) зависит от состава и описывается кривой с минимумом. При понижении температуры Fa и Fy повышаются, а их минимумы смещаются по оси концентраций В При температурах Та и ниже fa и Fy пересекаются друг с другом. Общие касательные к кривым Fa и Fy определяют концентрацию фаз, при которых они будут находиться в равновесии (для а-фазы линия А В для 7-фазы линия А В"). Точки на касательных, соответствующие Со (k, I н п), определяют свободную энергию смеси равновесных фаз fa-i-v При температуре выше или равной TgFa Fy (точки р а q), поэтому полиморфное превращение с образованием смеси равновесных фаз может произойти Рис. 13.2. Изменение свободной ТОЛЬКО В результате ДИффуЗИОН-энергнн фаз в зависимости от тем- перераспределения в в ис- [c.492]

С текущим параметром Уравнения (3.12) определяют на плоскости другую граничную кривую. Часть этой кривой, показанной на рис. 3.8, является границей устойчивости особых точек неседлового типа. Картина разбиения плоскости параметров г/о,х на области, различающиеся числом и устойчивостью состояний равновесия системы, показана на рис. 3.8, где кривая (3.10) показана сплошной жирной линией, а кривая (3.11) — сплошной тонкой линией. Область 1 соответствует наличню одной устойчивой особой точки на фазовой плоскости область 2 — одной неустойчивой особой точки типа узла или фокуса области 3 — 6 — трем особым точкам, из которых в области 3 две устойчивы, а третья — седло. В областях 4 и 6 неустойчивы две особые точки, а в области 5 неустойчивы все три особые точки. [c.57]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...