Дискретизация границы области

Дискретизация границы области [c.505]

Рис. 2.3. Дискретизация границы области на N прямолинейных отрезков

Дискретизация границы области осуществляется набором 280 прямолинейных отрезков. Около изломов границы разбиение на отрезки более частое. Валок разбит гуще вблизи местного отсоса и щитка. [c.513]

Дискретизация границы области течения осуществлялась набором 296 плоских треугольников. Наиболее часто разбита область всасывания и область, прилегающая к ней (рис.2.32). [c.542]

Рис. 2.32. Дискретизация границы области течения а - проекция четверти станины на горизонтальную плоскость б - проекция поверхности четверти цилиндра радиуса 525 мм на плоскость ХОХ в — проекция поверхности полуцилиндра на плоскость FOZ

Заметим, что при дискретизации границы области, показанной на рис.3.13, количество расчетных точек на 1 меньше, чем присоединенных вихрей. Поэтому, изменяя / в формуле (3.39) от 1 до п-, получим систему п- линейных алгебраических уравнений с п неизвестными. Добавим к системе (3.39) условие неизменности циркуляции вихрей [c.583]

Рис. 3.22. Дискретизация границы области X - расчетные точки

Рис. 3.30. Дискретизация границы области

Осуществив дискретизацию границы области на N граничных отрезков, на каждом из которых будем полагать интенсивность постоянной, получим [c.644]

Дискретизация границы рассматриваемой области. Для приближенного решения (1.92) производится дискретизация границы рассматриваемой области. Аналогично МКЭ разбиение границы на элементы можно производить различными способами. В простейшем случае граница аппроксимируется линейными элементами. Отдельный элемент определяется координатой своей средней точки. Интенсивность неизвестных источников р 1) в пределах элемента принимается постоянной. [c.63]

Если наблюдения за контролируемыми непрерывными системами осуществляются в дискретные моменты времени t — kAt, k — 1,2,. .., то необходимо правильно выбрать шаг дискретности времени At. Обыч ю его выбираю в соответствии с теоремой Котельникова, т. е. из условия 2/дг. где / — максимальная частота, которую требуется различать по дискретизированным сигналам. В задаче идентификации в качестве может быть принята интересующая исследователя максимальная частота частотной характеристики системы (или максимальная частота выходных сигналов). При этом следует иметь в виду, что слишком высокая частота дискретизации непрерывных сигналов приводит к дискретным моделям (в виде разностных уравнений) с близкими к границе области устойчивости коэффициентами, что усложняет задачу оценивания параметров таких моделей. В связи с этим появляется проблема оптимальной дискретизации, которая может быть решена для конкретных структур операторов. [c.350]

Методы граничных элементов (МГЭ) — нетрадиционный термин, который в последнее время появился в зарубежной литературе для обозначения совокупности быстро развивающихся и успешно применяемых универсальных численных методов решения теоретических и прикладных задач. Уже само название выделяет характерную особенность МГЭ возможность решения задачи с использованием дискретизации лишь границы области (в отличие от методов конечных элементов (МКЭ) и методов конечных разностей (МКР). применение которых требует дискретизации всей области). Естественно, что реализация такой возможности в МГЭ предусматривает предварительный переход от исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений, описывающих некоторый процесс, к соотношениям, связывающим неизвестные функции на границе области (или ее части). Эти соотношения, по существу, либо представляют собой граничные интегральные уравнения, либо выражаются некоторыми функционалами (они могут и не выписываться явно, а сразу заменяться их дискретными аналогами). В первом случае МГЭ сводятся к методам граничных интегральных уравнений (ГИУ), во втором — к вариационным методам. [c.5]

Очевидным альтернативным подходом к системе дифференциальных уравнений была бы попытка аналитически проинтегрировать их каким-нибудь способом или перед переходом к какой-либо схеме дискретизации, или перед введением какой-либо аппроксимации. Конечно, мы пытаемся проинтегрировать дифференциальные уравнения, чтобы найти решение, какой бы метод мы ни использовали, но сущность методов граничных интегральных уравнений состоит в преобразовании диф( ренциальных уравнений в эквивалентную систему интегральных уравнений в качестве первого шага решения задачи. Интуитивно можно ожидать, что такая операция (если она окажется успешной) даст систему уравнений, включающую только значения переменных на границах области. [c.13]

Для этого мы снова воспользуемся простейшей схемой дискретизации границы линейными элементами с постоянными распределениями переменных по элементам и постоянными распределениями интенсивностей источников по каждой отдельной внутренней ячейке. Если число граничных элементов равно N, число ячеек внутри области равно М, а q и I — номера их типичных представителей соответственно, то тождество (3.35) для р-го элемента на границе можно записать в виде [c.71]

В ГЛ. 3 И 12, а следовательно, и разработки алгоритма численного решения, включая схемы дискретизации границы и выделения объемных ячеек [26—30] в областях с ненулевыми значениями q. [c.376]

Другое преимущество метода граничных элементов высшего порядка состоит в том, что он обеспечивает большую гибкость при дискретизации границы. В рамках упрощенного метода граничных элементов для того, чтобы избежать неверных результатов при дискретизации какой-либо одной стороны границы, обычно рекомендуется использовать элементы одинаковых размеров. В методе, основанном на элементах высшего порядка, для получения более точного решения в областях с высокой концентрацией напряжений можно зачастую использовать неравномерное расположение узловых точек. Это в значительной мере подобно сгущению сетки, применяемому в методе конечных элементов для таких областей. [c.154]

К стр. 141.) Метод граничных элементов объединил в себе и метод интегральных уравнений, и метод конечных элементов и, таким образом, он заключает в себе и аналитический метод, и численный расчет. Поведение внутренней области описывается в методе граничных элементов граничными интегральными уравнениями, граница области представляется конечными элементами. Право иа существование метода граничных элементов дает его эффективность для весьма удлиненных областей и тел, когда метод конечных элементов неэффективен из-за невозможности с необходимой точностью описать поведение модели При ее дискретизации. Это подробно проиллюстрировано при решении дифференциальных уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца с различными краевыми условиями. Существенным ограничением метода граничных элементов является то, что он пригоден только для решения линейных задач. [c.326]

Отметим, что в тупоугольном треугольнике нет общей границы между узлами /1 и /1, так как kj = О, поэтому и ток между ними отсутствует. Однако вдоль этого же отрезка в смежном треугольнике ток может протекать, если только противолежащий угол является острым. Выполнение данного условия гарантируется, как было показано ранее, когда сторона треугольника не совпадает с границей области решения либо с границей разде ла между материалами. Но даже в этих случаях можно выйти из положения с помощью деления треугольников, поэтому вовсе не обязательно, чтобы коэффициенты связи между двумя узлами в полупроводнике обращались в нуль (за исключением вырожденного случая абсолютно регулярной сетки, где стороны треугольников, являющиеся диагоналями прямоугольников (гипотенузами), имеют нулевые коэффициенты). Отметим также, что, как и в случае дискретизации уравнения Пуассона, коэффициенты связи меняются непрерывно при переходе от остроугольного треугольника к тупоугольному. [c.371]

Разбиение границы (дискретизация) исследуемой области течения воздуха на прямолинейные отрезки (граничные элементы). [c.505]

Дискретизация границы 5 области на граничные элементы осуществляется набором прямолинейных отрезков (рис.2.3), заданных в глобальной прямоугольной декартовой системе координат. Каждый граничный отрезок имеет свой номер и координаты начала а и конца Причем а и выбираются так, чтобы единичный вектор нормали к данному отрезку был направлен вне области. [c.505]

Оба показателя ( 1 и Яг) в определенной мере характеризуют то, насколько удачно произведена дискретизация области (число и форма элементов), насколько точно определены напряжения в узловых точках (особенно на границах области), насколько удачно выбран вычислительный алгоритм и аппроксимирующая функция вдоль сторон элементов и т. д. Но даже в тех случаях, когда величины ц и оказываются в допустимых пределах, еще нет гарантии в достоверности конечного результата, ибо пока еще нет возможности ответить на вопрос, удачно ли вообще выбрана математическая модель и насколько она адекватна изучаемому объекту. На этот вопрос можно ответить только на основе сопоставления результатов расчета и натурного эксперимента. [c.87]

В любом варианте МГЭ результатом перехода от дифференциальных уравнений в частных производных к интегральным уравнениям в конечном счете является система уравнений, включающая значения переменных только на границе заданной области. Поэтому в отличие от МКЭ и МКР последующая дискретизация задачи проводится только на границе исследуемой области. Последнее обусловливает, во-первых, более высокую по сравнению с МКР и МКЭ точность решения, во-вторых, существенно меньший объем входных данных при реализации методов на ЭВМ. [c.61]

Остановимся на вопросе о вычислении напряжений и смещений уже после непосредственного решения интегрального уравнения. Собственно говоря, речь должна идти о вычислении напряжений в точках граничной поверхности, поскольку вычисление смещений и напряжений во внутренних точках области сводится к вычислению интегралов с аналитическими ядрами, а вычисление смещений в точках поверхности — к вычислению несобственных интегралов ), которые могут быть вычислены известными методами. Следует, правда, обратить внимание на необходимость в процессе проведения вычислений в точках, расположенных вблизи границы, введения вторичной дискретизации поверхности в зоне, расположенной в окрестности рассматриваемой точки. При этом используемая при вычислениях плотность должна получаться посредством того или иного интерполирования, исходя из полученного решения интегрального уравнения. Искомые значения напряжений и смещений могут считаться определенными с достаточной степенью точности (диктуемой степенью точности решения интегрального уравнения) лишь тогда, когда при вторичной (все более мелкой) дискретизации не произойдут изменения в искомых величинах. [c.580]

В последние годы при решении краевых задач механики сплошных сред и, в частности, механики деформируемого твердого тела широкое использование получил метод граничных интегральных уравнений, часто именуемый методом граничных элементов. При использовании этого метода требуется разбиение на конечные элементы лишь границы изучаемой области, что ведет к значительному уменьшению числа конечных элементов, а следовательно, и узловых неизвестных по сравнению с сеточными методами, требующими дискретизации всего объема рассматриваемой области (метод конечных разностей, метод конечных элементов). Отсюда следует, что для получения решения методом граничных элементов (МГЭ) требуется меньший объем исходных данных и меньший объем оперативной памяти ЭВМ, что в итоге может значительно снизить общую трудоемкость решения задачи. [c.65]

Следует отметить, что наибольшее практическое применение получили симплекс-элементы, к ним относятся линейный одномерный элемент с двумя узлами, линейный треугольник с тремя, узлами и линейный тетраэдр с четырьмя узлами. К достоинствам этих элементов следует отнести простоту в теоретическом отношении, возможность аппроксимации границ сложной формы, наличие программ для ЭВМ, позволяющих производить дискретизацию области, > [c.205]

Изложение ведется параллельно — для механики жидкостей и газов и для механики деформируемого твердого тела. Построение соответствующих глав однотипно после изложения путей вывода ГИУ рассматриваются способы дискретизации и описания границы, способы восполнения искомых функций, приемы вычисления интегралов, входящих в ГИУ и в формулы, позволяющие находить по решению ГИУ поля внутри области, а также приводятся многочисленные примеры решения конкретных задач. [c.6]

Настоящая книга посвящена такому альтернативному методу, в равной степени универсальному и основанному на изучении не самих дифференциальных уравнений, описывающих конкретную задачу, а соответствующих этой задаче граничных интегральных уравнений. Самая замечательная особенность методов граничных интегральных уравнений состоит в том, что при их реализации дискретизации подлежат в принципе лишь границы изучаемых областей это естественно ведет к существенному уменьшению числа дискретных элементов по сравнению с методами, требующими внутренней дискретизации всего рассматриваемого тела. Следовательно, [c.9]

Описанный выше алгоритм включает данные, относящиеся к дискретизации поверхности внутренней области. Метод получения таких величин, который в общих чертах описан в гл. 15, связан с программированием для ЭВМ. Как и прежде, на первом этапе получается определенная система линейных алгебраических уравнений, учитывающих граничные условия рассматриваемой задачи. Поэтому уравнения (4.19) и (4.20) или (4.22) и (4.23) в случае N узлов на границе можно использовать для получения следующей системы уравнений [c.113]

Хотя МГЭ позволяет учитывать границы, целиком находящиеся в бесконечности, без какой бы то ни было их дискретизации, для поверхностей, продолжающихся из области, представляющей [c.228]

Для наших целей мы будем аппроксимировать границы при помощи прямолинейных отрезков — для двумерных задач и при помощи треугольников или четырехугольников — для трехмерных задач. Внутренняя область, в которой в результате нагружения ожидается течение, разбивается затем на соответствующее число треугольных или четырехугольных ячеек — для двумерных задач и тетраэдров или параллелепипедов — для трехмерных задач. Хотя такая дискретизация похожа на применяемую в методе конечных элементов, здесь ячейки используются лишь для вычисления различных объемных интегралов посредством конечных сумм. Поэтому формирование дискретизированной системы уравнений, в сущности, такое же, как описано в гл. 3—8. Так, например, уравнение (12.43) можно записать в следующем виде [c.347]

Дискретизация границ области течения воздуха в пылешламоприемнике осуществлялась набором 492 граничных отрезков. Численная реализация метода ГИУ дала возможность построить линии тока и определить распределение скоростей в проеме пылешламоприемника и при удалении от него. [c.618]

Аналитический ввод осуществляется после занесения в строку признака ввода значения соответствующего признака, задания нижних границ области определения функций и шага квантования (дискретизации) области определения указанных функций. Собственно выражения описывающие эти функции записываются в по( ледних двух строках формуляра. [c.193]

После дискретизации границы S и внутренней области, отвечающих некоторой задаче, все готово для матричной аппроксима- [c.76]

На рис. 14.4 показаны распределения потенциала вдоль границ, полученные тремя методами. При этом для получения решения методом конечных элементов требовалось втрое меньше машинного времени, чем при использовании симметричного ПМГЭ. Этот факт обусловлен в основном двумя обстоятельствами 1) симметричный вариант метода в два раза дороже (в вычислительном отношении) несимметричного и 2) для областей подобной формы представляются предпочтительными схемы дискретизации самой области, а не ее границы. [c.403]

В монографии изложены результаты исследования напряженно-деформированного состояния контактирующих элементов конструкций, полученные с помощью метода конечных элементов и метода граничных интегральных уравнений, известного также под названием метод граничных элементов. Эти перспективные современные численные методы удобны для решения на ЭВМ широкого класса контактных задач механики деформируемого тела и в рамках одной программной реализации позволяют учесть большое число практически важных факторов, таких, как сложная геометрия и произвольный характер внешних воздействий, различные условия контактного взаимодействия. Метод конечных элементов представляется более универсальным, так как позволяег легко учесть физическую и геометрическую нелинейность, объемные силы, зависимость свойств материала от температуры. В методе граничных элементов учет этих факторов настолько увеличивает рудоемкость решения задачи, что сводит на нет основные преимущества метода, такие, как дискретизация только границы области и малый объем входной информации. Поэтому в книге метод граничных элементов использован только для решения контактных задач теории упругости, где наряду с простотой задания исходной информации он может дать и выигрыш машинного времени за счет понижения размерности задачи на единицу, особенно для бесконечных и полубесконечных областей. Метод граничных элементов позволяет построить также более совершенный алгоритм для учета трений в зоне контактных взаимодействий. По-виднмому, еще большего выигрыша следует ожидать в некогорых задачах при совместном использовании обоих методов. [c.3]

Для проведения дискретизации полубесконечная область клина заменялась областью конечных размеров S (О л 24а, О г 24а), которая обеспечивает необходимую точность результатов в области действия штампа. Глубина внедрения принималась б = 0,01. Рассматриваемая область покрывалась сеткой конечных элементов, содержаш,ей 630 узлов (13 из них — на контактной зоне). Сгуш ение разбивки проводилось к вершине клина и к границам действия штампа. Значения давления под штампом сравнивались с данными аналитичес- [c.40]

Дискретизация уравнения Пуассона завершается интегрированием уравнения (14.1) по локальной площади, окружающей каждый узел в области решения. Эти интегралы затем аппроксимируются для получения дискретного кднеч1ю-разностного уравнения относительно каждого узла. Локальная структура сетки, используемая при выводе одного из таких уравнений, приведена на рис. 14.4 для узла, не лежащего на границе области или на поверхности сред. На этом рисунке - потенциал в центральном узле, расположенном в точке (хо, уо), а и 4 - его значения в четырех соседних узлах. Перпендикуляры С , ттроходящие через середины отрезков, соединяющих соседние узлы с центральн гм, образуют прямоугольник S с треугольными подобластями 8 . Конечно-разностная аппроксимация в 356 [c.356]

Перемещения и напряжения в области находятся интегрированием известных теперь функций по поверхности, причем интегрирование можно производить в той же сетке разбиения поверхности, при которой решалось интегральное уравнение. Для на- рд,. 4 Схема разбиения поверхно-хожденЕЯ перемещений и на- сти тела сеткой малых элементов р — пряжений в точках, расноло- основная точка, д — опорная точка, женных близко к поверхности, следует ввести вторичную дискретизацию части поверхности, отстоящей от них ближе диаметра элементов разбиения. Значение плотности при этом в дополнительных точках находится интерполяцией. Напряжения на границе можно определить экстраполированием из области, вычислив их значения в нескольких точках, расположенных, например, на нормали к поверхности на различном от нее расстоянии. В случае второй основной задачи напряжения на границе можно определить, дифференцируя численно значения перемещений, вычисленных на границе. Если использовать краевое условие, то при этом не требуется вычисления перемещений в области. [c.105]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...