Усреднение распределенных систем

УСРЕДНЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ [c.147]

В настоящей главе рассматриваются динамические системы при случайных воздействиях, представляющих марковские процессы — гауссовские, пуассоновские, процессы с распределениями Рэлея и Пирсона. Излагаются кратко сведения об этих процессах, приводятся формулы дифференцирования статистических средних и на их основе проводится статистическое усреднение динамических систем. [c.68]

Геометрический параметр формы колебания (Й)/ п (Л) обозначим Qn- Это отношение не зависит от распределения нагрузки и выражает только соответствующую усредненную реакцию формы колебания по отношению к амплитуде реакции этой формы колебания, которая имеет место в точке измерения. Обозначим = д,гМ. Определим амплитуду возбуждающей силы, действующей на систему, как Fо = ] F х, у) ds. [c.226]

Введённой таким образом ф-ции распределения можно дать и др. истолкование. Для этого рассмотрим одновременно большое число одинаковых систем и примем, что каждая точка в фазовом пространстве изображает состояние одной такой системы. Тогда усреднение по времени можно понимать как усреднение по совокупности этих систем, или, как говорят, по статистическому ансамблю. [c.666]

Хотя оптическая плотность фотографий, полученных с картин голографических полос, может и не представлять собой точную копию интенсивности полос, разрешение полос определяется распределением освещенности, которое для голограмм с усреднением во времени пропорционально / Ф), а для голограмм двух экспозиций записывается в виде sin ф. Возможность наблюдать разницу в плотности влечет за собой возможность наблюдения пространственных смещений полос и, следовательно, устанавливает предельное разрешение по смещению. Измерения положения полосы становятся критичными, когда деформации определяются из голограмм, поскольку такие измерения связаны с различиями в положениях полос (производных амплитудной функции), и, следовательно, небольшие ошибки при измерении положения полосы приводят к увеличению ошибки при расчете деформаций. Хотя для увеличения резкости полос на голограмме двух экспозиций или при регистрации вибраций можно было бы применять в принципе многоволновые голографические методы точно таким же способом, как и классическую многолучевую интерферометрию, сложность постановки такого эксперимента делает привлекательной систему, основанную на более традиционном подходе. [c.547]

Теорема II. Если ансамбль систем канонически распределен по фазам, средний показатель вероятности меньше, чем для любого иного распределения ансамбля, обладающего той же усредненной энергией. [c.133]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Из всего этого следует вывод, что единственно значимыми и полезными являются статистические данные о поведении многих систем, т. е. информация о вероятностных распределениях. Эту информацию можно получить путем усреднения по области нашего неведения (имея в виду неспособность макроскопических тел воспринимать некоторые микроскопические детали других макроскопических тел) или по ошибкам, возникающим от пренебрежения влиянием других тел. [c.11]

Рассмотрим коллимированный пучок нейтронов в направлении оси г, причем площадку единичной поверхности, перпендикулярно к оси г, пересекает 1 нейтрон в 1 сек. Пусть в этот пучок нейтронов помещается сфера единичного радиуса. Определить радиальную и прочие компоненты тока нейтронов через поверхность сферы как функцию положения точки на сферической поверхности, используя сферическую систему координат с началом в центре сферы. Определить угловое распределение пересекающих поверхность сферы нейтронов, усредненное по поверхности сферы. [c.48]

Вернемся теперь к общему случаю процесса г t) вида (1.3.26), где а — случайная величина с заданным распределением вероятностей р (а). Как указывалось выше, в этом случае, вообще говоря, невозможно получить замкнутое уравнение для характеристического функционала и, следовательно, невозможно провести замкнутое описание динамических систем. Остается единственная возможность решения задачи, заключающаяся в том, чтобы рассматривать величину а как детерминированную. Если при этом удается написать явное решение такой задачи, то окончательный результат получается последующим усреднением по случайной величине а. [c.127]

Практически, однако, микроскопические параметры жидких смесей редко известны настолько хорошо, чтобы оправдать попытку количественного исследования топологически неупорядоченной структуры из первых принципов. Наблюдаемые на опыте свойства жидких смесей обычно интерпретируют феноменологическим путем, выполняя усреднение по параметрам молекул различных компонентов (см., например, [2.84]). С точки зрения общей теории неупорядоченных систем все попытки такого рода суть варианты приближения среднего поля ( 5.2), в котором мы пренебрегаем локальными корреляциями в распределении молекул. [c.290]

Путем усреднения полученных выше уравнений по этому распределению можно получить систему уравнений двухскоростной гидродинамики (в этом приближении—без диссипативных членов) мы на этом здесь останавливаться не будем. [c.391]

Мы рассмотрим переход от уравнений микроскопической динамики к макроскопическим уравнениям сохранения, о которых говорилось в лекциях проф. де Гроота. Таким путем мы, например, выразим тензор напряжений и поток тепла через молекулярные переменные. Эти выражения будут включать неравновесные функции распределения, нахождение которых является центральной проблемой при рассмотрении задачи о переносе энергии. Далее будут получены эмпирические кинетические коэффициенты, связывающие между собой потоки и силы. Вначале мы рассмотрим однокомпонентные системы. Однако наши результаты без труда можно обобщить на случай многокомпонентных систем и таким образом определить эмпирический коэффициент диффузии и аналогичные ему величины при помощи микроскопических характеристик системы. Используя это определение, мы получим в дальнейшем доказательство соотношений взаимности. При доказательстве этих соотношений нам не понадобится вводить макроскопические усредненные переменные, как это делалось в лекции проф. Мазура. В своих рассуждениях мы будем исходить непосредственно из описания системы при помоши молекулярных динамических переменных. Некоторое усреднение, сглаживающее микроскопические неоднородности, необходимо только для получения необратимости. Мы будем применять сглаживающее усреднение только по времени. [c.220]

Весьма общими вероятностными характеристиками процесса х () являются функции распределения одноточечные Р х, I), двухточечные Р х, 1 Хх, Ц) и т. д. Их определение приводит нас к задаче усреднения уравнений непрерывности для траекторий в фазовом пространстве динамических систем. Такие уравнения [стохастические уравнения Лиувилля) является уравнениями в частных производных по и координатам фазового пространства системы х = (х1, х ,. . х ) и содержат случайно меняющиеся параметры а 1). Уравнения, которым подчиняются вероятностные распределения Р х, 1 носят [c.11]

В рамках метода получаются точные замкнутые уравнения для статистических средних, для решения которых можно применять обычные математические средства. Единым образом охватываются модели дельта-коррелированных воздействий и воздействий с конечным временем спада корреляций, причем удается расширить класс рабочих моделей, включив в него, в частности, широкий класс процессов с распределениями Пирсона. Много внимания мы уделили воздействиям телеграфного типа, которые привлекательны как с точки зрения адекватности различным реальным физическим процессам, так и с точки зрения успешности математического анализа. В частности, они представляют идеальный инструмент для выявления роли конечности времени спада флуктуационного воздействия на осред-ненную динамику систем. В многочисленных исследованиях по вероятностному анализу динамических систем с телеграфными воздействиями использовались методы, связанные с анализом динамики системы на отдельных скачках с последующим усреднением по статистике скачков. Мы же развили другой подход, позволяющий автоматически, не вникая в рассуждения о скачках и их статистике, проводить точное усреднение более широкого, чем ранее было рассмотрено, класса систем. [c.155]

В табл, 2, 4, 6 рассматривается случай, когда оси 1 и 2 эллиптических цилиндров ориентированы случайным образом и так, что распределения углов Эйлера этих осей равномерны. Для таких систем 03 = < з >, а з,=32=а, т. е. в плоскости (1, 2) эффективная проводимость изотропна. Это обстоятельство подчеркивается в соответствующих таблицах указанием об усреднении по углам. [c.276]

Мы уже видели, что при усреднении линейных систем получаются замкнутые уравнения для рассматриваемых средних, рричем зацепление уравнений (например, зацепление уравнений для первых и вторых моментов) происходит лишь при включении в исходные стохастические уравнения неоднородных членов. В отличие от этого при усреднении нелинейных стохастических уравнений все моменты х становятся, вообще говоря, взаимосвязанными, и оперирование с уравнениями для таких моментов весьма затруднительно. При определении вероятностных характеристик х обычно удобно исходить не непосредственно из системы (3.37), а из соответствующего ей стохастического уравнения Лиувилля. В частности, для плотности распределения Р(х, I) в фазовом пространстве системы (3.37) это уравнение имеет вид [c.47]

До сих пор при теоретическом анализе процессов коалесценции газовых пузырьков в жидкости предполагалось, что на газожидкостную систему не действуют внешние поля. Известно, что наложение внешнего электрического поля на рассматриваемую дисперсную систему приводит к увеличению вероятности коалесценции пузырьков определенных размеров и, следовательно, к существенному изменению распределения пузырьков газа по размерам в жидкости. Прежде чем перейти к постановке и рещению задачи об определении функции распределения пузырьков газа по размерам п V, t), обсудим вопрос о влиянии электрического поля на коалесценцию. Как известно, слияние пузырьков газа может произойти только при их столкновении. Однако не каждое столкновение является аффективным, т. е. не при каждом столкновении пузырьки коалесцируют. Эффективность коалесценции пузырьков определяется главным образом свойствами их поверхности. Поскольку точно учесть влияние свойств поверхности пузырька на эффективность коалесценции практически невозможно, используют усредненный коэффициент вероятности слияния двух пузырьков газа X. При х = 1 (случай, рассмотренный в предыдущем разделе) коалесценцию обычно называют быстрой, при х 1 — медленной. В разд. 4.4 показано, что при определенном значении напряженности электрического поля , j, деформированные полем пузырьки, имеющие в первом приближении форму эллипсоидов, начинают распадаться на более мелкие пузырьки. С другой стороны, при Е злектрическое поле увеличивает вероятность [c.158]

Правило определения средней величины по формуле (10.3) эквивалентно проведению усреднения по распределению Гиббса, т. е. приписыванием i-й конфигурации веса ехр [— ,/0]. В самом деле, пусть мы имеем большой ансамбль одинаковых систем из N частиц, из них Vi систем — в ансамбле с энергией . Произведем в каждом из Vi систем смещение частиц, тогда ру/ есть вероятность перейти системе из состояния i в состояние /, причем по введенным выше условиям Pij — Pit. Если Ец<0, то из vy систем ViPij перейдет в состояние /, а из / в i—v,pyi ехр (—Ец/в). Окончательное число систем, переходящих из i в /, равно [c.184]

К проявляющимся в этих веществах конкурирующим взаимодействиям, влияющим на установление разл. видов магн. упорядочения, относятся обменное взаимодействие и косвенное обменное взаимодействие ферро-п антиферромагн. характера зависящее от взаимной ориентации магн. моментов диполь-дипольное взаимодействие, осциллирующее РККИ-обменное взаимодействие. В регулярных кристаллич. структурах такие взаимодействия могут приводить к появлению сложной неколлинеарной магнитной атомной структуры (в т. ч. несоизмеримой). В нерегулярных твердотельных системах (аморфных веществах, неупорядоченных двух-или многокомпонентных сплавах и твёрдых растворах) благодаря конкуренции и хаотич. взаимному расположению магн. а примесных ионов (вызывающих иногда случайное изменение локальной оси маги, анизотропии) возникает фрустрация магн. моментов, приводящая к образованию состояния С. с. В этом случае для расчёта наблюдаемых физ, величин кроме обычного термодвнамич. усреднения по ансамблю систем е Гиббса распределением вероятности (обозначаемого <...)) необходимо дополнит, усреднение (обозначаемое чертой сверху) по всем возможным реализациям хаотич. расположения маги, моментов или набора взаимодействий между ними при этом в качестве ф-цНи распределения обычно выбирается комбинация дельтафункций или Гаусса распределение. Полное (но математически сложное) решение задачи усреднения по случайным конфигурациям для свободной энергии С. с, даёт т. н. метод реплик (от франц. replique — копия, образ). [c.634]

При таком подходе к задаче представляется возможным значительно повысить точность численного определения различных характеристик излучения без увеличения числа зон, в то время как при чисто зональном методе это может быть достигнуто только за счет увеличения числа зон. В этом отношении весьма интересными и перспективными представляются работы В. Н. Адрианова [3, 4],. в которых показана возможность повышения точности расчета локальных и усредненных характеристик радиационного теплообмена путем учета с помощью коэффициентов распределения оптических и термических неоднородностей внутри зо%. Более полное использование математического обеспечения современных ЭВМ возможно, как показал С. Д. Детков [19], при матричном способе решения систем зональных уравнений радиационного теплообмена. [c.206]

Тензоры распределения дислокаций интерпретируются Крёнером [134] как избыточная плотность дислокаций, избыточная плотность дислокационных петель, избыточная, плотность пар дислокационных петель и т. д. Очевидно, что, продолжая рассуждать таким образом, можно получить полную бесконечную систему переменных внутреннего состояния, которая будет полностью описывать все детали распределения дислокаций. Вероятно, что не все детали микроскопического порядка имеют значение для макроскопического упруговязкопластического поведения по-видимому, более вероятно, что только определенные усредненные величины макроскопически эффективны. Поэтому естественно стремление ввести конечную систему переменных / = 1, 2,. .., п, где п практически мало. [c.113]

Это соотношение строго соблюдается для кристаллов высокой симметрии для неупорядоченных систем (жидкости, газы) оно должно рассматриваться как некоторое усредненное свойство. В достаточно разреженной среде, т. е. при достаточно малой плотности распределения ди-иольных моментов, влиянием второго слагаемого можно пренебречь, и тогда действующее поле идентично внешнему полю, [c.104]

Итак, вычисление методом Монте-Карло радиальной функции распределения системы, подчиняющейся каноническому распределению Гиббса (iVFr-ансамбль), производится путем расчета функции G (R) по выражению (39) для различных значений R, после чего G (R) численно дифференцируется, что, согласно определению (40), дает функцию g, которая совпадает с усредненной по направлениям парной корреляционной функцией g (г). У макроскопических жидких (газообразных) систем парная корреляционная функция не зависит от направления. Естественно предположить, что анизотропия, обусловленная несферической симметрией нашей конечной периодической системы, будет исчезать, если при любом фиксированном значении R увеличивать размер системы (Л -> оо, F оо при N/V = onst), при этом усредненная по направлениям функция g (R) будет стремиться к искомой изотропной функции g (/ ) макроскопического объема жидкости или к усредненной по направле-ниям радиальной функции распределения g (г) кристаллической фазы. Обычно расчеты функции G (R) методом Монте-Карло ограничиваются расстояниями В < L/2, поэтому в определении (39) самое большее один член суммы по v отличен от нуля для любой пары (г, /) [см. (22) и (23)]. [c.291]

При квантовомеханич. описании макроскопич, систем всякая физич, величипа является оператором или соответствующей ему матрицей. Понятие статп-стич, усреднения заложено уже в самом аппарате квантовой мехапики. Роль ф-ции распределения играет здесь статистический оператор w (наз, также статистической матрицей, или матрицей плотности). Ф-ла для среднего значения к.-н. физич, величины/ принимает вид /= Sp/u , где Sp — сумма диагональных элементов матрицы. Принципиальное отличие квантовой системы, состоящей из большого числа частиц, по аналогии с классич, случаем, состоит в том, что для вычисления / нельзя пользоваться обычной квантовомеханич, ф-лой 7 = ( 1 з (q)f ( ) dg, поскольку определение волновой ф-ции системы г]) иред- [c.72]

Необходимость эквидистантности зеемановских уровней для установления спиновой температуры путем взаимных переворачиваний спинов, начиная от небольцмановского распределения населенностей, можно сопоставить с аналогичным требованием сохранения больцмановского распределения, когда параметр системы (магнитное поле) изменяется адиабатически. Оба требования являются следствием общего требования статистической механики для существования температуры в большой системе, а именно, ее эргодичности, т. е. отсутствия любых интегралов движения (хорошие квантовые числа в квантовой механике), кроме общей энергии. Ясно, что в системе 5, состоящей из большого числа N одинаковых элементарных систем взаимодействующих друг с другом, неэквидистант-ность их энергетических уровней ведет к существованию для общей системы дополнительного интеграла движения — населенностей Р , индивидуальных энергетических уровней. Действительно, эти населенности можно выразить через средние значения операторов, усредненных по всей системе 5 [c.141]

Здесь операторы путей рассеяния 1, 2) и т. п. сами представляют собой усредненные величины типа (10.65). Можно подняться на более высокую ступень в цепочке уравнений, подобных (10.66), и применить суперпозиционное приближение (2.17) уже к трехатомной функции распределения. Тогда появятся еще два условия самосогласования, из которых в принципе можно определить различные неизвестные функции. По существу именно до такого уровня приближения доведено рассмотрение в работах [26, 27]. На языке диаграммной техники [28] можно сказать, что приближение эффективной среды, равно как и метод когерентного потенциала, учитывает всевозможные одноцентровые графики и поправки к ним. Однако, поскольку совершенно ничего неизвестно о том, как выглядят численные решения этих уравнений, невозможно судить об окончательной ценности указанного развития теории. Примеры применения этого подхода к рассмотрению топологически неупорядоченных систем в приближении сильной связи [29, 30] также следует считать в известной степени академическими, за исключением разве того, что они внесли определенную ясность в ряд проблем, касающихся кластеров и ближнего порядка в задаче о сплавах ( 9.5) и свойств композиционно разупорядоченных систем с недиагональным беспорядком ( 9.8). [c.485]

Для изучения механизма конвективной диффузии В. Н. Николаевский [1959 г.] предложил структурную модель пористой среды, несколько отличную от модели Саффмана. Поры этой модели представляют собой систему произвольным образом направленных пересекающихся капилляров, диаметры которых распределены по размерам согласно некоторой функции распределения с плотностью /(б). В каждом узле сетки сходится несколько капилляров с разным диаметром при этом диаметр каждого капилляра, соединяющего два ближайших узла, остается постоянным. Система капилляров характеризуется, кроме того, пористостью и некоторым усредненным фактором извилистости фг, учитывающим изогнутость капрмляра при движении жидкости вдоль оси х . [c.131]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...