Вещественные нормальные координаты

Это справедливо, пока рассматриваются только вещественные нормальные координаты и коэфициенты. Случай комплексных нормальных координат разбирается ниже. [c.99]

Вещественные нормальные координаты [c.193]

В нащем рассмотрении очень важно классифицировать представления, базисом для которых являются вещественные нормальные координаты Это можно сделать с помощью [c.234]

Для получения вещественных нормальных координат второго рода часто используется еще одна методика [см. [18], уравнение (38.38)], требующая канонического преобразования. Мы не будем обсуждать это преобразование здесь, так как, по мнению автора, некоторые тонкие вопросы, касающиеся соотношений [c.285]

Здесь введен индекс V, чтобы подчеркнуть, что само существование и специфическая форма потенциальной энергии ядер за висит от электронного состояния системы, определяемого индексом V. В приведенной здесь форме уравнение (113,44) описывает движение ядер как движение ЪгЫ связанных гармонических осцилляторов. Чтобы расцепить осцилляторы, нужно провести преобразование к комплексным нормальным координатам аналогично (80.9), (80.10). Это унитарное преобразование приводит потенциальную энергию к диагональной форме (80.3) и оставляет кинетическую энергию Ф в ее диагональной форме (80.5). В классической теории [4] после преобразования к комплексным нормальным координатам можно перейти любым из двух способов к вещественным нормальным координатам. Этот вопрос обсуждается ниже в 114. [c.361]

С другой стороны, в квантовой механике более удобными являются вещественные основные переменные, так как комплексные классические координаты и импульсы при выполнении процедуры квантования дают локальные степени свободы, обусловленные калибровкой ([103], стр. 12). При обычном рассмотрении [4] вводят либо вещественные нормальные координаты первого рода [c.363]

Можно сделать замечание о дополнительной симметрии, возникающей из-за того, что гармонический гамильтониан (114.8) разбивается на подгруппы гармонических гамильтонианов, относящихся к вещественным нормальным координатам ( //)-мерного неприводимого векторного пространства При этом мы должны рассматривать (в-//)-мерный изотропный гармонический осциллятор для каждого такого векторного пространства. Группа симметрии (5 //)-мерного изотропного осциллятора независимо от рассматриваемой физической пространственной симметрии, является группой т. е. специальной унитарной [c.376]

При введении нормальных координат функция Гамильтона распадается на сумму ЗгЫ членов. Связанные колебания отдельных ионов формально заменены несвязанными коллективными колебаниями. Использованные здесь нормальные координаты комплексны. Вместо них можно такн<е выбрать вещественные нормальные координаты. [c.138]

Для многих приложений и для перехода к квантовомеханическому описанию удобнее пользоваться вещественными нормальными координатами см. [69] гл. II 3. (Прим. ред.) [c.138]

Эти последние координаты называются нормальными координатами. В этих рассуждениях несущественно, являются ли %i положительными или их знаки различны все они конечные действительные числа ), так как наша аргументация не выходила за пределы вещественной области. [c.361]

Комплексные норА(альные координаты. Иногда вместо применения двух вещественных (ортогональных) взаимно вырожденных нормальных координат и % удобно вводить комплексные нормальные координаты. Так как любая линейная комбинация координат и является решением уравнений (2,10), то [c.112]

Чтобы и оставалось вещественным всегда, должны существовать условия, налагаемые на представления, по которым преобразуются собственные векторы и комплексные нормальные координаты. Убедимся в этом на примере (86.1) [c.244]

Следует сделать еще одно, последнее. замечание. Очевидно, весь предшествующий анализ просто устанавливает необходимые условия вещественности представлений, по которым преобразуется либо пространство собственных векторов, либо пространство нормальных координат. Таким образом, если существует представление группы , по которому преобразуется пространство собственных векторов или нормальных координат колебаний, то оно должно иметь физический смысл. Обратное утверждение неверно при заданной пространственно-временной группе не все неприводимые представления группы, имеющие физический смысл, встречаются в динамике решетки. Определение таких физических неприводимых представлений для конкретных кристаллов рассматривается в 103. [c.245]

Полное число этих вырожденных собственных значений равно = Индекс ] следует определить сопоставлением с таблицами характеров или выполняя явно преобразование нормальных координат аналогично (94.26). Требуя от собственных векторов или нормальных координат, чтобы они были вещественными в соответствии с преобразованиями (101.6) и [c.286]

Первый этап решения требует, чтобы (113.28) было приведено к диагональной форме (допускающей разделение). Для этого нужно ввести нормальные координаты. Эта процедура в точности совпадает с уже выполненной нами в гл. 8 и 9. Возможно, полезно повторить эту процедуру, начиная, например, с уравнения (73.1) и т. д., где вводятся вещественные нормальные [c.362]

Решение задачи о получении нормальной формы линейной системы (2.92) необходимо при исследовании устойчивости нелинейных уравнений возмущенного движения, при анализе нелинейных колебаний, при построении приближенных решений нелинейных гамильтоновых систе.м, где в качестве первого приближения берется обы шо решение линейной задачи. Поэтому целесообразно выбирать такие координаты, в которых решение линейной задачи записывалось бы наиболее просто. Простейшей вещественной формой уравнений (2.92) и будет нормальная форма. [c.125]

Рассмотрим линейную часть поля в выбранной точке. Одно из трёх собственных значений и сумма всех собственных значений равны нулю. Следовательно, два оставшихся собственных значения либо вещественны и разных знаков, либо комплексно сопряжены. В типичной точке линии особенностей эти два собственных значения не равны нулю. Следовательно, линейная часть приводима (подходящей заменой координат и умножением векторного поля на подходящую функцию) к одной из двух нормальных форм хдх - уду или хду - уд (в рассматриваемой точке и в близких точках оси г). В первом случае (вещественные собственные значения) особенность называется гиперболической, во втором — эллиптической. [c.18]

Сопоставление трех наборов вещественных нормальных координат Показывает следующее. Набор /р с /р=1, . 5-//, определенный в (114.2), не является базисом неприводимых представлений группы или копредставлений группы набор [c.364]

Минковский первым показал, что, рассматривая евклидово многообразие в четырех измерениях, так называемую вселенную, или пространство-время, можно геометрически просто представить введенные Эйнштейном связи между пространством и временем. Для этого он брал три оси в прямоугольных координатах пространства и четвертую ось, нормальную к трем первым, на которую наносились значения времени, умноженные на с ]/— 1. Сейчас принято относить к четвертой оси вещественное значение с(, но в этом случае плоскости, проходящие через эту ось и нормальные к пространству, будут иметь гиперболическую псевдоевклидову геометрию, основной инвариант которой будет — х — dy — dz . [c.650]

S-TO нормального колебания (s-я собственная форма диссипативной модели) определяется как нормированная совокуииость относительных мгновенных значений обобщенных координат модели (14.1). Из выражения (14.26) следует, что собственные формы диссипативной модели в пределах оговоренной точности вещественны и совпадают с собственными формами ее консервативного ядра (14.2). [c.233]

Каждое слагаемое в (56.69) можно назвать нормальной волной (см. 54). В области вeщe твeнны частот со, соответствуюших поглощению, амплитуды нормальных волн зависят от координаты г согласно экспоненциальному закону ехр(—г 1т А,). Следовательно, нормальные волны вообще не совпадают с длинноволновыми элементарными возбуждениями в кристалле (поляритонами), которые по определению характеризуются вещественными волновыми векторами (с комплексными частотами) и, следовательно, пространственно-од-нородны. [c.474]

В окрестности невырожденной критической точки многочлен биголоморфной заменой координат приводится к нормальной форме Н—x - -y - - onsi. Исчезающим в критической точке циклом называется цикл на неособой линии уровня функции Я, задающийся в указанной системе координат вещественной окружностью х 4- = с, если с вещественно, и окружностью я усе , X—<рб[0, 2я], х, г/) б С , если с комплексно.. Исчезающий цикл на линии уровня Н—с обозначается через б(с) (этот цикл определен для с, близких к рассматриваемому критическому значению, и исчезает, стягиваясь в критическую точку, когда с стремится к этому критическому значению функции Я). [c.115]

Будем теперь увеличивать значение параметра kh. При О kh < я/2 уравнению (37.3) будут удовлетворять лишь комплексные значения х, ле-жашд1е на нижнем листе поверхности Римана, симметрично относительно начала координат. При этом при увеличивающемся значении kh кажд1я пара симметричных относительно вещественной оси полюсов перемещается так, что полюсы приближаются на нижнем листе к действительной оси и сливаются в некоторой ее точке вне отрезка —п sin и [27] . При дальнейшем повышении значения kh полюсы расходятся (оставаясь на нижнем листе), причем один из пары приближается к точке ветвления sin = ге, а другой удаляется от нее. Наконец, при kh = я/2 (критическая частота) полюс попадает в точку ветвления и при дальнейшем увеличении fefev снова удаляется от нее, но уже по верхнему листу. Таким образом, при kh > я/2 мы будем иметь одну незатухающую нормальную волну. При kh -> ой этот корень уравнения (37.3) стремится к величине г = я. На рис. 37.2 нижняя кривая (I = 1) дает зависимость величины корня от параметра kh при т — 2. При увеличении kh в интервале я/2 < kh < [c.225]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...