Устойчивость состояний равновесия и автоколебания

УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ и АВТОКОЛЕБАНИЯ 12. Устойчивость состояний равновесия [c.188]

Если Ла < О, т. е. < 1 8, то, как нетрудно убедиться, все фазовые траектории будут асимптотически (при + оо) приближаться к началу координат — устойчивому состоянию равновесия, и генератор не будет совершать автоколебаний. [c.508]

И при a = Q — автоколебания прекратятся (при конечной амплитуде), а система придет к устойчивому состоянию равновесия. [c.132]

При изменении а от отрицательных значений до положительных амплитуда автоколебаний постепенно уменьшается, приа = а,, автоколебания с конечной амплитудой прекратятся и маятник придет к устойчивому состоянию равновесия [c.175]

Изменение радиуса Го сопровождается трением части диафрагмы об опорную поверхность. Вследствие сложного характера изменения зазора ho и связанного с ним коэффициента трения силы трения диафрагмы об опорную поверхность не учитьшаются (как показано в работе [ 28 ], учет указанных сил трения отодвигает границу появления автоколебаний и увеличивает область устойчивого состояния равновесия). [c.37]

Адекватным математическим образом временного порядка и хаоса стали аттракторы, т. е. устойчивые состояния равновесия, устойчивые периодические движения или автоколебания и, наконец, странные аттракторы. Адекватным математическим образом пространственного порядка и хаоса в двойственном представлении распределенной динамической системы оказались седловые состояния равновесия, седловые периодические движения и более сложные седловые инвариантные множества. [c.41]

Если же нелинейность приводит к неустойчивости состояния равновесия и появлению устойчивого автоколебательного режима (случай IV, а также случай V при очень малой области устойчивости вокруг состояния равновесия), то, как правило, необходимо лишь обеспечить достаточно малые амплитуды всех элементов системы при автоколебательном режиме. Достаточно малые автоколебания не только не вредны, но даже полезны, так как устраняют статическую нечувствительность регулирования и тем самым повышают его точность. [c.235]

В случае сервомотора постоянной скорости без зоны нечувствительности наряду с областями абсолютной устойчивости процесса регулирования и неустойчивости имеются области с довольно сложной структурой фазового пространства, где наряду с локальным устойчивым состоянием равновесия возможны, в зависимости от величин начальных состояний, различные типы автоколебаний (рис. 3). [c.142]

Рассмотренный нами применительно к генератору Ван-дер-Поля режим возникновения автоколебаний, не требующий начального толчка, называется режимом мягкого возбуждения. Для генераторов с одной степенью свободы такому режиму соответствует фазовый портрет, представленный на рис. 14.2 а. Встречаются также системы с жестким возбуждением автоколебаний. Это такие системы, в которых колебания самопроизвольно нарастают с некоторой начальной амплитуды. Для перехода систем с жестким возбуждением в режим стационарной генерации необходимо начальное возбуждение с амплитудой, большей некоторого критического значения. Фазовый портрет такого генератора приведен на рис. 14.2 б. Видно, что для выхода траектории на устойчивый предельный цикл начальная точка на фазовой плоскости должна лежать вне области притяжения устойчивого состояния равновесия. Отсюда ясен и физический смысл неустойчивых предельных циклов они служат границей между областями начальных условий, из которых система стремится к различным устойчивым режимам движения (на фазовой плоскости таким движениям соответствуют притягивающие [c.298]

В связи с этим встает вопрос, исчерпывается ли фазовая поверхность этими двумя областями притяжения, т. е. не имеется ли, кроме двух указанных устойчивых режимов, других, таки е устойчивых режимов, к которым система могла бы приходить при соответствующих начальных условиях Отрицать существование каких-либо других устойчивых режимов, отличных от состояний равновесия и симметричных автоколебаний, без более детального исследования точечного преобразования мы в данном случае не можем. В рассматриваемой динамической системе двузначность функции 5 = 5 (т) и наличие нисходящего участка кривой = (1) (при С(, - < Т1) содержит в себе, например, возможность существования сложного и, вообще говоря, несимметричного периодического режима, определяемого неподвижной точкой не преобразования х = П ( ), а кратного ему преобразования [c.614]

Наконец, при ао< а< 1 (рис. 477, в) устойчивое состояние равновесия (О, 0) и устойчивый предельный цикл радиуса разделены неустойчивым предельным циклом радиуса Ку. Поэтому траектории, начинающиеся внутри неустойчивого предельного цикла, будут идти к состоянию равновесия и только траектории, которые начинаются вне неустойчивого предельного цикла, будут наматываться на устойчивый предельный цикл ). Другими словами, в генераторе в зависимости от начальных условий будет устанавливаться или состояние равновесия или автоколебания с амплитудой Кч, т. е. мы имеем дело с автоколебательной системой в жестком режиме (для возникновения автоколебаний в генераторе системе нужно дать некоторый толчок необходимо, чтобы в начальный момент времени х - -у1 К1). [c.684]

Ниже мы будем рассматривать только последний случай к — случай самовозбуждающегося мультивибратора (нетрудно видеть, что при 1 все траектории идут при возрастании / к единственному и устойчивому состоянию равновесия, т. е. в этом случае нет никаких автоколебаний). [c.806]

Ниже будут описаны возможные общие механизмы возникновения стохастичности. Обычно в одной и той же системе в зависимости от значений ее параметров может быть, а может и не быть стохастизация. При каких-то значениях параметров ее нет и система имеет простейший установившийся режим — состояние равновесия или периодическое движение—при других значениях параметров имеют место стохастические колебания. При непрерывном переходе от первых значений параметров ко вторым происходят сложные изменения установившегося процесса. Эти изменения могут происходить постепенно или скачком. В первом случае возникновение стохастичности естественно назвать мягким, во втором — жестким — в полной аналогии с мягким и жестким возникновением автоколебаний при потере устойчивости равновесного состояния. [c.326]

Исследование возмущенных движений с большими отклонениями в принципе невозможно с помощью линеаризованных уравнений нелинейные члены уравнений, будучи пренебрежимо малыми при малых отклонениях системы от состояния равновесия, начинают играть все более заметную роль при увеличении отклонений при этом вид нелинейности существенно влияет на характер процесса при неограниченном возрастании времени. В частности, во многих случаях возрастание колебаний постепенно замедляется и движение стремится к некоторому устойчивому режиму с постоянными амплитудами (пиковыми значениями) — режиму автоколебаний. [c.286]

Автоколебания (определение термина см. на с. 22). Различают мягкое и жесткое самовозбуждение автоколебаний. Если состояние равновесия неустойчиво и соответствующая ему особая точка окружена предельным циклом (устойчивым), то самовозбуждение называется мягким нарастающие колебания возникают после сколь угодно малого начального возмущения состояния равновесия системы (см. табл. 8, пп. 11, 13, 15). Если состояние равновесия устойчиво и соответствующая ему точка окружена неустойчивым предельным циклом, который в свою очередь окружен [c.31]

При уменьшении а предельный цикл стягивается к началу координат плоскости q, При а = О он сольется с неустойчивым состоянием равновесия в начале координат и передаст ему свою устойчивость. Таким образом, если менять а от положительных значений до отрицательных, то при переходе через нуль возникают автоколебания, амплитуда которых, начиная от нуля, непрерывно увеличивается (при непрерывном увеличении I а I). Такой режим возникновения автоколебаний называют мягким . [c.174]

Как можно видеть из формул гл. IV, уменьшение времени машины, как правило, приводит к неустойчивости. Поэтому нелинейность типа, приведенной на фиг. 123, в нелинейности, может являться причиной неустойчивости состояния равновесия системы регулирования при некоторых режимах и появления устойчивых автоколебаний. [c.209]

Однако невыполнение условия (1.18) отнюдь не означает невозможности автоколебаний в системе. В этом случае могут получаться такие сочетания параметров системы, при которых в ней все же будут существовать незатухающие колебания, но уже при жестком режиме возбуждения , т. е. при таком, когда состояние равновесия устойчиво и требуется достаточно сильный начальный толчок, чтобы начались колебания (при этом имеются два предельных цикла на фазовой плоскости — внутренний неустойчивый и внешний устойчивый). [c.26]

В ряде случаев колебания возникают и при отсутствии периодического возбуждения. Таковы, например, сравнительно простые процессы свободных колебаний, развивающихся после мгновенного нарушения состояния устойчивого равновесия механической системы, а также более сложные и в то же время менее изученные процессы, например автоколебания. [c.4]

Конечной задачей динамического расчета следящего привода является определение оптимального сочетания параметров, обеспечивающего отсутствие автоколебаний при работе, т. е. устойчивость состояния равновесия, при наименьшей ошибке слежения. Величины большинства параметров привода определяются в достаточно узких пределах технологическими, эксплуатационными и конструктивными соображениями. Например, тяговое усилие гидроцилиидра диктуется технологическими требованиями, да-влеиие нагнетания — эксплуатационными характеристиками нормализованной гидроаппаратуры, а масса подвижных частей и длины трубопроводов, соединяющих гидроцилиндр с усилителем, определяются конструктивно. Поэтому параметр, величина которого выясняется из динамического расчета и от которого зависит запас устойчивости и точность привода, должен быть таким, чтобы его можно было легко изменить конструктивно, не оказывая существенного влияния на большинство эксплуатационных характеристик привода. В качестве такого параметра целесообразно выбирать передаточное число обратной связи о либо передаточное число механизма передачи управляющего сигнала г. В последнем случае уравнение (V.77) может быть решено относительно i. Все параметры привода за исключением i назначаются при проектировании или рассчитываются по заданным технологическим и эксплуатационным характеристикам. Величина со определяется из выражения (V.80). Затем из уравнения (V.77), решенного относительно г, находятся его значения при различных величинах амплитуд автоколебаний Л "и строится зависимость Л = / (0. имеющая характерный вид полупетли (см. рис. V.7). [c.126]

На рис. 523 изображено разбиение фазовой плоскости на траектории для случая жесткого режима возбуждения разрывных автоколебаний, когда на фазовой плоскости наряду с (устойчивым) разрывным предельным циклом АБВГА имеется еще и устойчивое состояние равновесия (на участке линии медленных движений). Замкнутая линия абвга является неустойчивым предельным циклом и делит фазовую плоскость на области притяжения состояния равновесия и предельного цикла АБВГА. Именно, в системе установится состояние равновесия, если изображающая точка находилась в начальный момент времени в области, лежащей внутри кривой абвга если же в начальный момент времени изображающая точка находилась вне этой области, то она придет на разрывный предельный цикл АБВГА, т. е. в системе установятся разрывные автоколебания. [c.762]

Собственные колебания представляют собой колебания около положения устойчивого равновесия. Амплитуда этих колебаний определяется величиной начального отклонения и начальной скорости, т. е. величиной той энергии, которая сообщена телу начальным толчком. Вследствие наличия трения эти колебания затухэют собственные колебания в системе никогда не могут быть незатухающими (стационарными). Для поддержания колебаний система должна обладать ка-ким-либо источником энергии, из которого она могла бы пополнять убыль энергии, обусловленную затуханием. Чтобы колебания были стационарными, система за период колебаний должна отбирать от источника как раз столько энергии, сколько расходуется в ней за это же время. Для этого система должна сама управлять поступлением энергии из источника. Такие системы называются автоколебательными, а незатухающие колебания, которые они совершают, — автоколебаниями. К классу автоколебаний относятся, например, рассмотренные в 52 колебания, которые совершает груз, положенный на движущуюся ленту и удерживаемый пружиной. Как было показано, состояние равновесия груза оказывается неустойчивым и он начинает совершать колебания около этого неустойчивого состояния равновесия в том случае, когда скорость движения ленты лежит на падающем участке кривой, выражающей зависимость силы трения F от скорости скольжения V. Но именно в этом случае часть работы двигателя, приводящего в движение ленту, идет на увеличение энергии колебаний груза. [c.602]

Наиб, интересные свойства О. с, выявляются при нелинейных процессах, когда в О. с. возможно осуществление термодинамически устойчивых неравновесных (в частном случае стационарных) состояний, далёких от состояния термодинамич, равновесия и характеризующихся определённой пространственной или временной упорядоченностью (структурой), к-рую наз. диссипативной, т. к. её существование требует непрерывного обмена веществом и энергией с окружающей средой. Нелинейные процессы в О. с. и возможность образования диссипативных структур исследуют на основе ур-ний хим. кинетики баланса скоростей хим, реакций в системе со скоростями подачи реагирующих веществ и отвода продуктов реакций. Накопление в О. с, активных продуктов реакций или теплоты может привести к автоколебательному (самоподдерживающемуся) режиму реакций. Для этого необходимо, чтобы в системе реализовалась положительная обратная связь ускорение реакции под воздействием либо ее продукта (хим. автокатализ), либо теплоты, выделяющейся при реакции. Подобно тому как в колебат. контуре с положит, обратной связью возникают устойчивые саморегулирующиеся незатухающие колебания (автоколебания), в хим. О. с. с положит, обратной связью возникают незатухающие саморегулирующиеся хим. реакции, Автока-талитич. реакции могут привести к неустойчивости хим. процессов в однородной среде и к появлению у О. с. ста-ционарны.х состояний с упорядоченным в пространстве неоднородным распределением концентраций. В О. с. возможны также концентрац. волны сложного нелинейного характера (автоволны.). Теория О. с. представляет особый интерес для понимания физ.-хим. процессов, лежащих в основе жизни, т. к. живой организм — это устойчивая саморегулирующаяся О. с., обладающая высокой организацией как на молекулярном, так и на макроскопич. уровне. Подход к живым системам как к О. с., в к-рых протекают нелинейные хим. реакции, создаёт новые возможности для исследования процессов молекулярной самоорганизации на ранних этапах появления жизни. [c.488]

Как следует из формулы (3.228), в диапазоне подведенного давления < Рп < р пп, возможно существование двух периодических решений в соответствии с участками кривых СД и ДЕ. Как показывает анализ, нижняя кривая соответствует неустойчивому, а верхняя — устойчивому решению. При дальнейшем росте амплитуды А периодического решения происходит также рост соответствующего ей подведенного давления, причем кривая ДЕ асимптотически стремится к пунктирной кривой. Таким образом, в результате применения управляющего золотника с переменным коэффициентом усиления в приводе образовалась область 111 устойчивости в малом , и произошло расширение области устойчивости равновесия / на дополнительную область II, что привело к повышению устойчивости привода. Определение граничного подведенного давления (границы области автоколебаний) рпг = Рпп , ниже которого при внешнем воздействии любой величины привод приходит к состоянию устойчивого равновесия, можно произвести по миниму- [c.229]

Автоколебания могут возникнуть в определенных нелинейных автономных динамических системах, в которых потребление энергии на преодоление диссипативных сил компенсировано потреблением порций энергии от не колебательного источника, причем это потребление регулируется автоматически, самой системой в процессе ее движения (см. т. 2. гл. I). В фазовом пространстве установившимся автоколебаниям соответствует устойчивый предельный цикл (см. т. 2, гл. II). В автоколебательных системах с мягким самовозбуждением состояние равновесия находится внутри предельного цикла. Поэтому оно неустойчиво, и система из состояния равновесия запускается самопроизвольно без помощи внешних факторов. В системах с жестким самовозбуждением область неустойчивых движений на фазовом пространстве не включает состояния равновесия. Поэтому запуск из этого состояния возможен только с помощью внешнего воздействия, переводящего систему в область неустойчивых движений. Для достижения этого предусматривают устройство, которое обеспечивает после отключения источника энергии остановку системы в таком положении, при котором она оказывается внутри об."астн неустойчивости и поэтому запускается самопроизвольно при последующем включении. [c.229]

При отделении от состояния равновесия О" ° устойчивого периодического движенин или устойчивых состояний равповесия происходит мягкий переход от прежнего установившегося движения (состояния равновесия) к новым установившимся движениям (устойчивому периодическому движению или одному из устойчивых состояний равповесия). Напротив, при слиянии с состоянием равповесия О" неустойчивого периодического движепия, неустойчивого равповесия или равновесий переход к новому установившемуся движению носит жесткий характер. К какому именно новому установившемуся движению происходит жесткий переход, локальная теория бифуркаций не указывает. Это может быть равновесие, периодическое, хаотическое или стохастическое автоколебание. Это может быть и уход в бесконечность. Отметим, что общими являются только бифуркации 1 и 3, бифуркация 2 является общей только при часто встречающейся симметрии динамической системы. Подчеркнем, что все эти бифуркации были уже рассмотрены в гл. 5. Теперь они собраны вместе и представлены на дереве возможных бифуркаций, изображенном на рис. 7.1. Они соответствуют переходам через бифуркационные границы УУо н [c.164]

Изучением природы вибраций и способов их гашения занимались советские и зарубежные ученые И. А. Дроздов, А. И. Каширин, А. П. Соколовский, Д. Н. Решетов, Д. И. Рыжков, Арнольд и др. Установлено, что вибрации чаще всего носят автоколебательный характер. В этих более ранних работах процесс колебаний рассматривался как относительное движение инструмента и детали лишь в одном направлении (одна степень свободы). В дальнейшем В. А. Кудинов в Советском Союзе и независимо от него И. Тлустый в Чехословакии (79, 155] рассмотрели колебания в двух взаимносвязанных направлениях на основе принципа координатной связи. Переход от устойчивого движения к автоколебаниям по В. А. Кудинову и Тлу-стому происходит следующим образом. Резец, будучи выведен из состояния равновесия какой-либо случайной причиной, начинает совершать движения по эллипсу перемещений (рис. 82). При движении резца в сторону действия силы резания (участок 2) толщина стружки, а следовательно, и сила резания больше, чем при движении резца навстречу силе [c.91]

Рассматриваемый случай существенно отличается от случая кубической характеристики и в другом отношении. Это отличие сразу проявится если мы проследим за возникновением и срывом автоколебаний при мед ленном и непрерывном изменении параметра а. При больших значени а > О маятник находится в покое. В этом состоянии он будет находитьс и при уменьшении а вплоть до а = 0. При а = О возникнут колебани конечной амплитуды, т.е. амплитуда автоколебаний изменится скачко от нуля до конечного значения К, (рис. 8.15). Такой режим возбуждени автоколебаний называют жестким. Это еще один смысл, который вкла дывают в термин жесткий режим . При дальнейшем уменьшении (а < 0) амплитуда автоколебаний непрерывно возрастает. При обратно изменении параметра а, т.е. при увеличении а от отрицательных значени" к положительным, амплитуда автоколебаний постепенно уменьшается, при а = aJ происходит срыв автоколебаний амплитуда колебаний скачко уменьшается от конечного значения до нуля (см. рис. 8.15). Систем вновь возвращается в асимптотически устойчивое положение равновес = у]/ = 0. [c.191]

Таким образом, периодическое решение, определяемое выражениями (3.55) и (3.56), устойчиво и образуется область устойчивых автоколебаний. Стрелки, сходящиеся к кривой на рис. 3.28, условно показывают устойчивость периодического решения. В результате можно различить две области динамического состояния привода с нелинейностью вида насыщения перепада давления во внешней цепи управляющего золотника область устойчивости равновесия, которая располагается слева от вертикали, проходящей через предельное подведенное давление Рпл привода в линейном виде, и область автоколебаний (устойчивого периодического решения), которая располагается справа от указанной вертикали, проходящей через Рпл- Следовательно, учет нелинейности насыщения перепада давления во внешней цепи золотника приводит к образованию за областью устойчивости равновесия привода в линейном виде области автоколебаний. Области динамического состояния привода с насыщением расхода жидкости. Причиной такой нелинейности обычно бывает значительное сопротивление трубопроводов прохождению масла или наличие значительных местных сопротивлений, например, дроссельных шайб во внешней цепи золотника. Рассмотрим последний случай, применяемый в практике для достижения устойчивости гидравлического следящего привода. Полагаем, что во внешнюю Ц0пь управляющего золотника (в каждую магистраль у управляющего золотника) установлен дроссель диафрагменно-го типа с площадью /эр проходного отверстия (/ на рис. 3.2). [c.148]

При низкочастотной вибрации случайно появившиеся отклонения вала от состояния устойчивого вращения вызывают появление сил, которые поддерживают эти отклонения и даже усиливают их, несмотря на то, что случайная сила, вызвавшая отклонения от положения равновесия, исчезла. Такой вид колебаний в технике называется самоподдерживаю-щимися колебаниями, или автоколебаниями. [c.512]

Смотреть страницы где упоминается термин Устойчивость состояний равновесия и автоколебания : [c.229] [c.130] [c.527] [c.26] [c.220] [c.227] [c.684] [c.848] [c.884] [c.59] [c.131] [c.201] [c.678] [c.684] [c.862] [c.885] [c.718] [c.243] [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...