Вариационные (функциональные) производные

Вариационные (функциональные) производные [c.16]

Вариационные (функциональные) производные............16 [c.337]

Интеграл в экспоненте берется по интервалу времени, на котором определяется процесс а(г). Характеристический функционал (2.6) можно рассматривать как предел (2.5) при /с -> оо. Нахождение средних от процесса при этом сводится уже к вычислению вариационных (функциональных) производных от [и] по и. Например, [c.16]

Выше шла речь о теории сплошной среды с неподвижными дислокациями. Связь обобщенной механики сплошной среды с теорией пластичности естественно привела к необходимости рассмотрения движущихся дислокаций. Это изучение проводится посредством постулирования интегрального вариационного принципа, аналогичного принципу Остроградского — Гамильтона, несколько обобщающего принцип, рассматриваемый в общей теории относительности. Введение этого принципа в общей теории относительности позволило, в частности, рассматривать правую часть уравнений (IV. 169) как некоторые функциональные производные. Применение аналогичного принципа в континуальной теории дислокаций оказалось также целесообразным. Подробное изложение этих вопросов выходит за пределы содержания нашей книги ). [c.537]

Обозначения, которыми мы пользуемся, станут намного проще, если ввести так называемую функциональную производную ) или вариационную производную лагранжиана L по т),-, равную [c.383]

Из вариационного исчисления известно [40], что условием абсолютного экстремума функционала является равенство нулю вариации этого функционала. Очевидно, что если достигнуто оптимальное распределение параметра Уг(г), то при небольших произвольных вариациях этого параметра в точке г вариация функционала равна нулю. Это значит, что равна нулю функциональная производная, т. е. функция эффективности этого параметра [c.112]

Функциональная производная [154] (или вариационная производная). Рассмотрим одномерный случай [c.211]

Вариационной (или функциональной) производной называется предел ) [c.16]

Следует подчеркнуть, что автор различает определение вариационной производной и функциональной производной (см. стр. 26 и 97).— Прим. ред. [c.100]

Выражение при / в формуле для вариации ЬР называют функциональной или вариационной производной в смысле Фреше и обозначают dF(f)ld[(x) (иногда пишут 8F/6f [60]). Таким образом, сильный дифференциал функционала / (/) может быть определен как результат применения к элементу б/6/ i линейного оператора dP(f)ldf(x), т. е. [c.217]

Решение уравнения Хопфа встречается со значительными трудностями по причине отсутствия до сих пор каких-либо общих методов решения уравнений в вариационных производных. Большое внимание в этой связи привлекает математический аппарат континуальных интегралов — интегралов от функционалов, распространенных по некоторому функциональному пространству. Решение уравнения Хопфа удается записать в виде континуального интеграла по некоторой обобщенной мере в функциональном про- [c.20]

В настоящем приложении даются понятие и некоторые правила вычисления с вариационными производными. За более подробными и строгими сведениями по затрагиваемым здесь вопросам необходимо обратиться к специальной литературе по функциональному анализу. [c.520]

Так как система уравнений (1.1) является системой первого порядка по t, начальные условия к которой ставятся при г = О, то функции (г) будут функционально зависеть лишь от предшествующих по t значений / (х, I ) из интервала О 5 Отсюда следует, что t) не меняется при варьировании функции / (х, г ) вне этого интервала, т. е. на участках 1 <0, > t. Следовательно, вариационная производная удовлетворяет [c.76]

В ряде физических задач приходится иметь дело не с конечномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а с системой уравнений в частных производных (п = оо). В этом случае понятие плотности вероятностей не всегда имеет смысл и приходится рассматривать характеристический функционал для соответствующих полей. Уравнение для характеристического функционала при этом является функциональным уравнением с вариационными производными, представляет собой бесконечномерный аналог УЭФ и может быть названо приближением диффузионного случайного процесса. Исключением являются уравнения в частных производных, содержащие производные по пространственным координатам только первого порядка. Такие уравнения, как хорошо известно, эквивалентны конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, и, следовательно, ста- [c.81]

Оператор, стоящий в правой части (6.3), представляет собой оператор функционального сдвига по полю /. Следовательно, функционал Fx является плотностью вероятностей для решения стохастической системы (5.1 ) и, согласно (5.16), удовлетворяет уравнению с вариационными производными [c.106]

Система функциональных уравнений (4.7), (4.10) замкнута относительно функционалов G и Г. Их решения, однако, связаны соотношением (4.6). Уравнение (4.10) для Г можно решать итерациями, выбрав в качестве нулевого приближения величину Л. Если выразить при этом вариационные производные G по т] с помощью формулы (4.6), то мы придем к интегральным уравнениям для Г и G с бесконечным числом членов, каждое из которых не содержит других функционалов, кроме G и Г. Полагая т] = О, можно получить замкнутую систему интегральных уравнений. В частности, уравнение (4.7) выглядит следующим образом [c.141]

Б заключение отметим, что описанный функциональный подход можно применять и к задачам, описываемым нелинейными уравнениями в частных производных с флуктуирующими параметрами. При этом легко написать линейное уравнение в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи и исследовать это уравнение аналогичными методами (см., например, [65]). [c.157]

Интегральное уравнение (1.8) можно записать в эквивалентной форме в виде функционального уравнения в вариационных производных (см. 4 гл. 4) [c.249]

Решение уравнения Хопфа встречается со значительными трудностями как из-за того, что пока еще не ясно, какие именно конкретные задачи для этого уравнения должны быть рассмотрены в первую очередь, так и по причине отсутствия до сих пор каких-либо общих методов решения уравнений в вариационных производных (и даже общих результатов о существовании и единственности таких решений). В самые последние годы большое внимание в этой связи привлекает новый математический аппарат континуальных интегралов — интегралов от функционалов, распространенных по некоторому функциональному пространству. Уже сегодня формально удается записать решение уравнения Хопфа в виде континуального интеграла по некоторой обобщенной мере в функциональном пространстве (не обладающей некоторыми обычными свойствами мер, используемых в математическом анализе, и тем, напоминающей пресловутую меру Фейнмана , возникающую в квантовой механике и квантовой теории поля). Однако пока такая запись решения все еще остается лишь чисто формальным приемом, мало облегчающим эффективное построение и изучение искомых решений. [c.28]

Большая часть книги доступна студентам соответствующих математических и инженерных специальностей. Для ее понимания не требуется специальных математических знаний, выходящих за рамки обычных курсов линейной алгебры и анализа. Исключением является гл. 5, которую при первом чтении можно опустить. Гильбертово пространство и понятия из функционального анализа используются на протяжении всей книги главным образом для унификации изложения материала. Но мы предполагаем, что у читателя есть определенные навыки практической работы с дифференциальными уравнениями в частных производных—только в этом случае наша книга будет для него действительно полезной. Так как отправной точкой для нас чаще являются не уравнения с частными производными, а тот илн иной вариационный принцип, то в книгу включена глава о вариационных принципах с летальными ссылками на более подробные руководства. [c.7]

Следует заметить, что хотя функциональная производная и упрощает некоторые вариационные процедуры, однако она затемняет тот факт, что уравнения движения являются уравнениями в частных производных по Хи и по t. Кроме того, время выступает здесь как особая переменная, существенно отличная от пространственных переменных, в то время как при выводе уравнений движения мы считали Xh t равноправными параметрами й. Это равноправие переменных а и немного напоминает специальную теорию относительности. Произведение dxidx2dxzdt является здесь, в сущности, элементом объема в пространстве Минковского и, следовательно, инвариантно относительно преобразований Лоренца если 2 есть некоторый инвариантный скаляр этого пространства, то принцип Гамильтона (11.11) также будет инвариантен относительно преобразований Лоренца. В ковариантных обозначениях уравнение (11.17) будет иметь вид [c.384]

Кон и Шэм [3] указали на то, что в невзаимодействующей системе величина —это одночастичная кинетическая энергия, а решение вариационного уравнения в функциональных производных F[n] эквивалентно решению одночастичного уравнения Шре-дингера для плотности. Во взаимодействующей же системе полную энергию можно разбить на кинетическую энергию невзаимодействующей системы с тем же распределением плотности и энергию, включающую в себя потенциальную энергию решетки, поправки к кинетической энергии, потенциал Хартри, обмен я корреляцию. Тогда решение уравнения для функциональной производной можно считать эквивалентным решению одночастичного уравнения Шредйнгера с эффективным потенциалом, который равен функциональной производной разности полной энергии и кинетической энергии соответствующей невзаимодействующей системы. В этом смысле нахождение основного состояния многоэлектронной системы сводится к решению одночастичного уравнения Шредйнгера. Вся физика взаимодействия должна учитываться в выражении для эффективного потенциала. [c.185]

ФОКА МЕТОД ФУНКЦИОНАЛОВ —особый способ формулировки ур-ннй квантовой теории поля и квантовой теории многих частиц, основанный на введении спец. функционального аргумента, носящего вспомогат, характер и по вьшолнении всех выкладок устремляемого к нулю. Соответствующие ур-ния имеют вид ур-ний в вариационных производных, и их явное решение может быть представлено в виде функционального интеграла. Совр. методы квантовой теории поля и квантовой теории ми. частиц представляют собой прямое развитие Ф. м. ф. [c.330]

Наиболее общими характеристиками динамических процессов являются энергетические характеристики. Действительно, любую материальную систему, с позиций классической механики, можно полностью описать положением всех ее точек в пространстве и изменением этого положения во времени. При этом под пространством в общем случае следует понимать так называемое пространство конфигураций системы, обобщенные координаты которой и их первые производные по времени могут быть либо функционально связаны с декартовы- ми координатами, либо полностью от них не зависеть. Располагая некоторыми дополнительными данными о свойствах рассматриваемой системы, можно получить выражения для энергии в виде либо функции Лагранжа, либо функции Гамильтона, Зная эти величины и используя известные в механике вариационные принципы, мы прцдем к так называемым обобщенным уравнениям движения. [c.32]

ФОКЛ МЕТОД ФУНКЦИОНАЛОВ особый спо соб формулировки ур-ний квантовой теории поля и квантовой теории многих тел, остшванный на введении спец, функционального аргумента, носящего вспомогат, характер и по выполнении всех выкладок устремляемого к пулю. (Соответствующие ур-ния имеют вид у])-пнй в вариационных производных, и их явное решение может быть нредставлепо в виде континуального интеграла. Ф. м. ф. получил в последние годы бурное развитие, и с функциональным подходом связаны обнадеживающие перспективы эффективного выхода ш рамки возмуи ений теории. [c.325]

Производных Фреше, теорему о неявной функции и другие теоремы из функционального анализа, многие из которых приведены с полными доказательствами. Во второй главе дан вывод основных уравнений и граничных условий статической теории упругости. В последующих главах этой части обсуждается структура системы уравнений теории упругости, её зависимость от свойств упругого материала. Часть В под названием Математические методы трёхмерной теории упругости посвящена в основном доказательству теорем существования решений краевых задач нелинейной системы теории упругости. В этой части две главы. В первой даны доказательства теорем существования, основанные на применении теоремы о неявной функции, получены оценки отклонения решения от соответствующего решения линейной задачи, доказана сходимость метода приращений. Во второй главе теоремы существования установлены вариационным методом, на основе минимизации энергии, приведены доказательства замечательных теорем Болла о существовании решений. [c.6]

Существенной чертой уравнений в вариационных производных для характеристического функционала является их линейность. При этом задача вероятностного описания нелинейных распределенных динамических систем сводится к решению линейных, но на классе уравнений большей размерности. Аналогичная ситуация имеет место при анализе нелинейных динамических систем, описываемых обыкновенньти дифференциальными уравнениями. Их статистический анализ, как мы видели, может быть проведен в рамках стохастических уравнений Лиувилля, т. е. линейных уравнений в частных производных. Следует, однако, сказать, что математические средства (функциональный аппарат) решений уравнений в вариационных производных развиты цока недостаточно. [c.148]

Попытки суммирования всего ряда теории возмущений, или по крайней мере ускорения его сходимости, связаны с методом перенормировок, развитым в квантовой теории поля. Здесь уместно отметить работу [28], где изложены результаты Буре, В. И. Татарского и Гериенштейна, рассматривавших процесс распространения волн в средах со случайными неоднородностями. Эффективность метода перенормировок возросла с использованием предложенного В. М. Финкельбергом разделения многочастичных взаимодействий на локальные и нелокальные. Фактически это эквивалентно выделению в каждом члене ряда возмущений некоторой его части, ответственной за взаимодействие определенного рода, и последующему суммированию всех членов такого типа. Этот подход, получивший в работах Т. Д. Шермергора [37] и Г. А. Фокина [33] название сингулярного приближения, позволил авторам рассмотреть многие задачи теории упругости микронеоднородных сред, определения эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных диэлектриков. Было установлено, что аналогичные результаты можно получить без выписывания ряда возмущений, если отделить сингулярную и формальную производные функции Грина в основном функциональном уравнении. Это приближение, получившее название обобщенного сингулярного приближения в комбинации с модификацией метода перенормировок, позволило установить общность многих приближенных результатов, в частности метода самосогласования, метода изучения сильно изотропных сред. Была выяснена связь сингулярного приближения с методами построения вариационных границ для эффективных характеристик. [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...