Потенциал Хартри

Случай сложных атомов рассмотрен в работе [10.11] на примере поля циркулярной поляризации. В качестве потенциала атомного остова использовался модельный псевдопотенциал. В высокочастотном пределе построена система аналитических функций дискретного и непрерывного спектра во вращающейся системе Крамерса. Проведен расчет динамической поляризуемости атомов Ке, Кг и Аг в сильном поле излучения. Показано, что эффект сильного поля проявляется не только в изменении энергетического спектра (как выше в случае атома водорода), но и в перестройке одноэлектронного самосогласованного потенциала Хартри для атома в поле. Этот потенциал определяется параметрами лазерной волны. [c.259]

В такой постановке задачи эффекты межэлектронного взаимодействия учитываются только через потенциал Хартри. С другой стороны, интересуясь прежде всего влиянием межэлектронного взаимодействия в металлах, разумно рассматривать только часть гамильтониана Яе1, (1.6), заменяя влияние ионных остатков действием равномерно распределенного положительного компенсирующего заряда. Такой подход позволяет приближенно исследовать роль межэлектронного взаимодействия, избе гая при этом дополнительных трудностей, связанных с наличием периодического поля ионов. Конечно, в конце концов, желательно учесть как влияние периодического поля ионов, так и эффекты межэлектронного взаимодействия (а также и эффекты, связанные с отклонениями ионов от положений равновесия), ибо только такой подход может дать адекватное описание твердого тела. [c.19]

Она позволяет нам определить результирующий потенциал Хартри в металле, если известны затравочные потенциалы. [c.316]

Функции Блоха фк(1 ) являются системой одночастичных функций для электронов, которые применимы к кристаллу с фиксированными в положениях равновесия ионами. Эти функции можно определить в приближении Хартри или приближении Хартри—Фока, в которые включены эффекты обмена электронами. Здесь используется еще более простое приближение и предполагается, что плотность валентных электронов однородна и эффективный потенциал F(r), в котором движутся электроны, таков, что заряд ионов в положении равновесия скомпенсирован однородным отрицательным зарядом. Если w(r—Rj)—потенциал иона в состоянии равновесия R , то [c.758]

Метод ячеек. Практический путь решения уравнений Фока заключается в замене их достаточно точными уравнениями, допускающими разделение переменных. Метод Хартри в применении к свободным атомам (ср. гл. VI) является хорошим примером такого решения. Уравнения Хартри не разделяются в случае электронных конфигураций, содержащих неполностью заполненные р- или -оболочки. Однако, если отбросить несферическую часть- кулоновского потенциала р- или -электронов, уравнения разделяются и могут быть решены методами, применяемыми в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ошибка, которая делается при пренебрежении несферическими членами, лежит в пределах ошибки метода Хартри и может быть исправлена методом возмущений. [c.346]

Основой этой главы является одноэлектронное приближение уравнения (3.20). Это уравнение описывает электрон в периодическом потенциале. Наряду с потенциалом ионов решетки в периодический потенциал входит усредненный кулоновский и обменный потенциалы приближения Хартри —Фока. [c.70]

Уравнения Хартри можно решить самосогласованным образом путем итераций. Для этого необходимо задаться некоторой определенной совокупностью приближенных собственных функций, рассчитать потенциал, а затем заново определить собственные функции. Эти улучшенные собственные функции снова подставляются в выражение для потенциала, и процесс повторяется. Такая процедура является сходящейся и позволяет получить совокупность собственных функций, самосогласованных с потенциалом. [c.86]

Хартри, исключать в суммах члены с I = /, так как соответствующие члены в прямом и обменном потенциалах в точности компенсируют друг друга. В твердом теле мы обычно вообще не беспокоимся об исключении одного члена, поскольку потенциал при этом меняется на величину порядка 1/Л . [c.88]

Нужно также хорошо определить прямое взаимодействие между валентными электронами, о можно сделать самосогласованным образом, многократно возвращаясь к занятым состояниям, или приближенно с помощью теории возмущений, как это будет описано в 4 гл. П1. Проблема возникает при определении обменного взаимодействия между валентными электронами. Если бы мы захотели учесть его в приближении Хартри — Фока, мы бы встретились с трудностями, о которых уже говорилось выше. Если мы вовсе им пренебрежем, мы получим потенциал, существенно отличающийся от того, который был использован в расчетах для свободного атома. Как мы уже указывали, электронная плотность в кристалле приближенно равна суперпозиции плотностей электронов в свободных атомах, поэтому прямой кулоновский потенциал в окрестности одного атома близок к потенциалу, действующему в данной точке со стороны всех электронов, в то время как при расчетах для свободного атома мы не учитываем потенциала, создаваемого именно рассматриваемым электроном. Таким образом, если мы учтем только прямое парное взаимодействие, мы фактически будем считать, что валентный электрон видит в кристалле нейтральные атомы, в то время как в свободном атоме он видит заряженные ионы. [c.93]

В этом месте наша интуиция терпит поражение, и нам приходится учитывать обмен. Выше уже отмечалось, что в приближении Хартри — Фока нет необходимости исключать взаимодействие между электроном и его собственным вкладом в потенциал кристалла, так как прямой и обменный вклады в самосогласованное взаимодействие компенсируют друг друга. Простой выход из положения состоит в том, чтобы учитывать обмен для взаимодействующих валентных электронов с помощью соответствующего выражения для свободных электронов. Это позволяет избавиться от самодействия н одновременно не приводит в отличие от приближения Хартри — Фока к сингулярностям на поверхности Ферми. Таким образом, создается впечатление, что указанная аппроксимация истинного обменного [c.93]

Кон и Шэм [3] указали на то, что в невзаимодействующей системе величина —это одночастичная кинетическая энергия, а решение вариационного уравнения в функциональных производных F[n] эквивалентно решению одночастичного уравнения Шре-дингера для плотности. Во взаимодействующей же системе полную энергию можно разбить на кинетическую энергию невзаимодействующей системы с тем же распределением плотности и энергию, включающую в себя потенциальную энергию решетки, поправки к кинетической энергии, потенциал Хартри, обмен я корреляцию. Тогда решение уравнения для функциональной производной можно считать эквивалентным решению одночастичного уравнения Шредйнгера с эффективным потенциалом, который равен функциональной производной разности полной энергии и кинетической энергии соответствующей невзаимодействующей системы. В этом смысле нахождение основного состояния многоэлектронной системы сводится к решению одночастичного уравнения Шредйнгера. Вся физика взаимодействия должна учитываться в выражении для эффективного потенциала. [c.185]

Зонная теория [13, 14]. Трудно ожидать, что представление о свободных электронах будет одинаково хорошим приближением для всех металлов. Соотношение (8.6), определяющее уровни энергии, справедливо лишь для частицы в поле с постоянным потенциалом, тогда как на самом деле потенциальная энергия электрона в металле не постоянна, а зависит как от строения иоиной решетки, так и от состояний других электронов. Определение ее точного вида приводх1т к задаче самосогласованного поля, подобной рассмотренной Хартри. Решение Зоммерфельда, исходившего из предположения о постоянстве потенциала, является, по сути дела, первым приближением к решению такой задачи. Второе приближение можно построить, предполагая, что потенциал, обусловленный самими электронами, постоянеп, и учитывая в уравнении Шредингера лишь иоле положительных ионов решетки. Для приближенного решения соответствующего уравнения Шредингера были предложены различные методы, позволяющие провести хотя бы качественное обсуждение поведения электронов в реальных металлах. [c.324]

Метод самосогласованного поля. В этом методе, разработанном Хартри без учета обмена электронов, а затем Фоком с учетом обмена электронов, исходными являются волновые функции отдельных элек1ронов без взаимодействия. При помощи исходных собственных функций вычисляется потенциал, действующий на отдельные электроны. С этим потенциалом, как известным, решается уравнение Шредингера для каждого электрона и находятся новые волновые функции. С их помощью определяется уточненный потенциал и затем с этим потен- [c.282]

Различие результатов расчета электронной структуры кластеров меди, даваемых методами аЬ initio и Ха, авторы работы [424] целиком относят за счет ошибок, допускаемых в методе Ха. Следуя их аргументации, заметим, что сами по себе энергии орбиталей по существу не имеют физического значения, но обычно связываются с ионизационными потенциалами. Для системы с замкнутыми оболочками теорема Купменса приравнивает ионизационный потенциал отрицательному хартри-фоковскому значению энергии орбитали. Однако это справедливо только при условии пренебережения как релаксацией орбиталей в ионе, так и изменением энергии корреляции при переходе от молекулы к иону. [c.257]

На подобную эквивалентность решений впервые было показано автору Островским, а также Диком (см. работу Марча и Мюррея [20]). Преимущество метода вычислений Лангера и Воско заключается в том, что он прост и позволяет оценивать одним и тем же примером поправочные члены к теории Хартри для газов высокой плотности. Конечно, численные методы Лангера и Воско также приемлемы для наших задач, так как они дают эквивалентные результаты при решении уравнения (48). Экранирующий потенциал, вычисленный выше, тесно связан с межионным взаимодействием точечных ионов. [c.28]

Атомы. Поскольку во многих атомах имеются ле-спаренные электроны, вместо единственной функции распределения плотности вводится двухкомпонентнае распределение плотности электронов со спинами вверх и вниз . Были выполнены расчеты длгя различных атомов. Несмотря на то что вычисления в этом случае существенно проще, чем в полной схеме Хартри— Фока, многие атомные характеристики. .рассчитаны по меньшей мере с той же точностью. Среди ни х полная энергия, потенциал ионизации (разность,полных энергий иона и атома), приближенные энергии мультиплетов и сверхтонкое взаимодействие. Воспроизводятся тенденции изменения свойств элементов пе- [c.192]

Эффективные потенциалы, зависящие от орбитального квантового числа электрона, формируются на основе расчетов в приближении Хартри-Слэтера для основного и низколежащих возбужденных состояний атомов благородных газов. Так, р — потенциал ( = 1) находится из расчета основного состояния. В работе [5.63] рассматривались два р-электрона с = О (т.е. вдоль направления линейной поляризации излучения). Расчеты показали, что они вносят главный вклад в процесс ионизации. В работе [5.64 был использован более простой потенциал Херрмана-Скилмана для расчета сечения многофотоиной ионизации атома ксенона. Волновые функции валентных электронов рассчитывались численно в потенциале, представляющем собой сумму атомного потенциала и потенциала взаимодействия атома с внешним электромагнитным полем. В расчетах учитывались только 5s- и 5р-электроны. Остальные электроны учитывались в приближении среднего потенциала замороженного остова . [c.136]

Простая оценка условий ионизации атомарных ионов получена в работе 10.1] в рамках модели Томаса-Ферми [10.2] Напомним, что эта модель яв-ляется упрощением модели Хартри-Фока за счет пренебрежения деталями атомной структуры. В такой постановке задачи потенциал, действующий на электрон атомарного иона, складывается из потенциала Томаса-Ферми для этого иона и дипольного взаимодействия электрона с внешним полем. Поле полагалось постоянным, действие которого аналогично действию переменно-го поля излучения оптического диапазона частот вввду малости частоты поля излучения по сравнению с атомной частотой. Полагалось, что от атомарного иона отрываются все электроны, имеющие энергию выше энергии Ферми, равной максимальной величине эффективного самосогласованного потенци ала, изменяющегося по мере отрыва электронов от атомного (ионного) остова. [c.252]

Несмотря на такие грубые пренебрежения, модель невзаимодействующих свободных электронов дает возможность рассмотреть многие явления. Обосновано это будет только в гл. IV. Будет показано, что взаимодействие электронов с периодическим потенциалом решетки (включая усредненное электрон-электронное взаимодействие приближения Хартри —Фока (3.20)) может быть во многих случаях учтено введением эффективной массы т. Проблема движения электронов при одновременном воздействии на них внешних сил и потенциала решетки будет сведена к модели, в которой квазиэлектрон с измененной массой т движется под действием внешних сил. [c.28]

Уравнение (3.20) содержит усредненный потенциал приближения Хартри —Фока. При этом усреднении теряются некоторые важные особенности этого приближения. Поэтому в 11 мы более точно исследуем электрон-электронное взаимодействие приближения Хартри —Фока и ответим на некоторые вопросы, которые оставались открытыми в 3. В этой связи мы впервые введем понятие квазчастицы. При этом представится случай применить один из важнейших методов исследования взаимодействия в многочастичной системе —представление чисел заполнения (Приложение А). [c.48]

В этом приближении часть потенциала, прочно связанная с ионами решетки в положении равновесия, очевидно, инвариантна ко всем операциям пространственной группы. Это справедливо и для члена взаимодействия приближения Хартри —Фока (теорему Ротанша см., например, в [9]). Для свободных электронов это [c.76]

Теория ЗОННОЙ модели основывается на одноэлектронном уравнении Шредингера (3.20). Последнее отличается от уравнения Хартри—Фока (З.П) тем, что в нем взаимное кулоновское и обменное взаимодействие электронного газа было усреднено. Только благодаря этому электроны перестают быть связанными. Они движутся в поле под действием некоторого общего среднего потенциала. Блоховские состояния, заданные функцией Е к), не зависят от заполнения электронами спектра состояний. Электроны в этом приближении рассматриваются как невзаимодействующие квази-частпцы, которые в заданном спектре энергий располагаются согласно статистике Ферми. Возбуждение пары электрон — дырка имеет тогда энергию, равную разности энергий между блоховским состоянием электрона в зоне проводимости и блоховским состоянием дырки в валентной зоне. Для улучшения этого приближения вспомним следующее. В приближении Хартри —фока перед усреднением, которое приводит к уравнению (3.20) зонной модели, существует разница между энергией взаимодействия одного возбужденного электрона при взаимодействии со всеми электронами в основном состоянии (проблема (Л + 1)-го электрона) и энергией при взаимодействии с N — 1 электронами в с( ре Ферми или соответственно в валентной зоне (Л -электронная проблема). Эта разница как раз и есть взаимодействие электрон —дырка в картине квазичастиц зонной модели. [c.180]

Характеров таблица 367, 368, 375 Характеры представлений 117, 365 Хартри — Фока приближеиие 22 и д. Химический потенциал 33 Холла угол 227 [c.416]

Суммирование производится по всем занятым состояниям, кроме состояния гр . Величины имеют смысл одноэлектронных собственных значений энергии и являются вариационными параметрами. В таком виде уравнения Хартри выглядят довольно правдоподобно. Они представляют ссбой одноэлектроннке уравнения, в которых потенциал, действующий на каждый электрон, определяется [c.85]

Обменный член в уравнениях Хартри — Фока заменится потенциалом, пропорциональным р(г) / . Однако остается еще неопределенность в коэффициенте пропорциональности, поскольку обменный член в свободном электронном газе зависит от волнового вектора рассматриваемого электрона, и нужно решить, какое именно значение волнового вектора должно входить в уравнения. Слэтер предположил, что в качестве обменного потенциала в уравнениях должна фигурировать средняя величина по всем занятым состояниям в соответствующей зоне. Кон и Шэм [31, используя соображения, основанные на вариационном принципе, показали, что обменный потенциал в уравнениях должен соответствовать наиболее высокоэнергетическому из занятых состояний в зоне. Коэффициент перед членом найденный Коном и Шэмом, равен 2/3 коэффициента [c.88]

Далее, поскольку удаление одного электрона приводит к изменению потенциала на величину порядка 1/Л , этим изменением можно пренеб речь. Тогда теорема Купмэнса утверждает, что параметр Хартри — Фока в твердом теле равен взятой с обратным знаком энергии ионизации для соответствующего состояния в кристалле, вычисленной в приближении Хартри — Фока. [c.89]

Сразу бросается в глаза, что главный аргумент, лежащий в основе доказательства теоремы Купмэнса, недостаточно убедителен. Действительно, удаление одного электрона изменяет потенциал только на величину порядка 1/Л , однако в результате появляются поправки к Е1 для всех N электронов, и можно ожидать, что суммарное изменение полной энергии окажется не зависящим от N. Чтобы сделать доказательство более строгим, необходимо вспомнить о вариационном аспекте приближения Хартри — Фока. Соответствующие уравнения были получены из требования, чтобы полная энергия системы была стационарной по отношению к небольшим вариациям функций Хартри — Фока. Таким образом, ошибка в любой функции порядка 1/Л приводит к изменению падной энергии только на величину порядка 1/Л . Если же варьируются все функции Хартри — Фока, то результат меняется лишь на величину 1/Л , пренебрежимо малую для большой системы ). [c.89]

Смотреть страницы где упоминается термин Потенциал Хартри : [c.183] [c.420] [c.19] [c.295] [c.455] [c.755] [c.216] [c.382] [c.656] [c.659] [c.257] [c.56] [c.321] [c.23] [c.28] [c.193] [c.323] [c.541] [c.262] [c.352] [c.367] [c.420] [c.432] [c.118]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...