Составление нормальных уравнений

Составление нормальных уравнений. Допустим, что имеется т условных уравнений, содержащих п неизвестных величин, т > п тогда критерию наименьших квадратов можно удовлетворить объединением этих т уравнений в п нормальных уравнений, как было указано в разд. 5, и решением этих нормальных уравнений. Вместо умножения каждого уравнения на квадратный корень из его веса может оказаться предпочтительным оперировать самим весом, организуя вычисления так, чтобы получить тот же результат, как если бы использовался этот квадратный корень. В этом случае умножим каждое уравнение на его вес и вычислим сумму всех численных величин, входящих в каждое уравнение. Результат можно записать согласно схеме табл. 2, где для удобства буквенные величины и знак равенства помещены вверху, вместо того чтобы находиться в уравнениях. Все символы ниже этой строки означают числа частные производные, обозначенные для краткости через а, являются отвлеченными числами, тогда как Ах в уравнениях (16), обозначенные через С, обычно будут выражены в секундах дуги, градусах или радианах. Смешение размерностей в 2 не вызовет никаких трудностей. [c.193]

Сначала напишем по порядку нормальные уравнения, но свободные члены запишем вверху в строку вместо того, чтобы писать их в столбец. Под каждым свободным членом напишем 1 в строке, содержащей уравнение, которому он принадлежит, и О — в остальных строках. Запишем контрольные суммы в правом столбце. Они отличаются от сумм, полученных при составлении нормальных уравнений, и равны [c.197]

Нормальные уравнения и их решение представлены в табл. 7 в соответствии с описанной схемой. Контрольные суммы, использованные для проверки составления нормальных уравнений, не напечатаны. [c.200]

Каждое из 21 уравнения он умножает на коэффициент при Дх, и складывает подобно тому, как это делается при составлении нормальных уравнений. Эту процедуру он повторяет для Де, Дя, Ду , [c.331]

Практически же результаты измерений содержат некоторые погрешности, а число измерений ограничено. Для того чтобы найденное решение было наиболее вероятным, авторы работы [170] требуют, чтобы сумма квадратов разностей между искомым решением и результатами измерений была минимальной (способ наименьших квадратов). Из составленных нормальных уравнений вычисляют коэффициенты Ai, а затем, дифференцируя температуру по координате, находят уравнение для потока. [c.43]

Ортогональные планы — это специальным образом составленные планы, обладающие диагональной матрицей системы нормальных уравнений (в такой матрице все члены, кроме расположенных по диагонали, равны нулю) и в связи с этим обеспечивающие простоту вычислений, независимость определения всех коэффициентов уравнения регрессии. Каждый коэффициент в таких планах определяется по результатам всех опытов. [c.112]

Составление критериальных уравнений. Рассматриваемый процесс нагрева и охлаждения тормозов подъемно-транспортных машин в нормальных условиях работы описывается системой дифференциальных и алгебраических уравнений, характеризующих распространение тепла в твердом теле (тормозном шкиве 39 611 [c.611]

Решение задачи Копти продольно-поперечного изгиба (4.4) широко используется в методе перемешений и методе начальных параметров для составления трансцендентных уравнений устойчивости [182, 307, 26]. Однако, оно может быть применено для решения задач устойчивости плоских и пространственных стержневых систем в рамках принципиально другого алгоритма —МГЭ. Для упругой системы можно составить уравнение устойчивости МГЭ типа (1.40). Стержни, не загруженные сжимающей силой F, должны иметь в уравнении (1.40) блок фундаментальных функций статического изгиба (2.11), а сжатые стержни — блок фундаментальных функций продольно-поперечного изгиба (4.4) с добавлением нормальных сил (для плоских задач устойчивости). [c.181]

В общем случае замкнутое кольцо при действии на него произвольной системы сил является трижды статически неопределимым. Разработано несколько методов решения замкнутых круговых колец. Будем пользоваться методом, основанным на составлении канонических уравнений сил. При этом взаимные смещения определяются интегралом Мора. Основную статически определимую систему получим, разрезая кольцо в некотором сечении а = О (см. рис. 47, б). Чтобы не нарушить равновесия системы, приложим в месте разреза неизвестные усилия, которые обозначим Xi — нормальная (осевая) сила — поперечная сила Хз — изгибающий момент. [c.269]

Для этого уравнения составляется система нормальных уравнений в соответствии с общим правилом их составления [c.592]

Возможность составления системы нормальных уравнений связана только с дифференцируемостью / (0), но при нелинейном характере Р ) относительно параметра Q решение системы 0-76) усложняется. В этом случае, также как и при решении уравнения правдоподобия, обычно используется линеаризация разложением функции Р %, t) в ряд Тейлора в окрестностях 0р (р-го приближения р = О, 1,. .. при р = 0 имеем нулевое приближение или начальную оценку параметров) и отбрасыванием членов порядка выше первого [c.44]

Соответствующие распределения скорости находятся из уравнения Навье — Стокса, которое в принятых предположениях оказывается линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Интегральные условия метода Галеркина, составленные для уравнения теплопроводности, позволяют определить коэффициенты Ьпт и Ъпт, 3 также декременты малых нормальных возмущений Я=ЦК, k, k , кг). Граница монотонной устойчивости находится из условия Я,=0. Наиболее опасными оказываются возмущения с i=0 и кг ф О (это означает, что стационарные валы неустойчивы относительно трехмерных возмущений). На рис. 56 изображена нейтральная кривая устойчивости равновесия вместе с границей области устойчивости конвективных валов (две ветви, ограничивающие область устойчивости валов, соответствуют критическим модам разной симметрии). Как видно из рисунка, зарождающаяся при критическом числе Рэлея Rm область устойчивости валов оказывается закрытой сверху. [c.153]

Нормальные напряжения в сдвиговой области определяются из системы уравнений, составленной из уравнения (22) [c.101]

Рассмотренное выше нелинейное уравнение (2.46) наследственной теории старения бетона относится к одноосному напряженному состоянию. Для составления соответствующих уравнений при объемном напряженном состоянии имеется еще слишком мало экспериментальных данных. Однако здесь следует ожидать значительных трудностей. Необходимо иметь в виду что, в отличие от ползучести металлов, на ползучесть бетона при высоких напряжениях весьма существенно влияет среднее нормальное напряжение, т. е. объемная деформация. Это обстоятельство всегда необходимо иметь в виду при применении различных форм обобщения теории пластичности на случай нелинейной ползучести бетона. [c.192]

От неопределенности, связанной с неоднозначной численной оценкой коэффициентов регрессии, можно избавиться, если эксперименты планировать по некоторой схеме, составленной так, чтобы в матрице планирования X скалярные произведения для всех вектор-столбцов были равны нулю. Легко видеть, что при таком ортогональном "планировании матрица коэффициентов в нормальных уравнениях Х Х станет диагональной [система нормальных уравнений распадается на к + 1) независимых уравнений]. Коэффициенты регрессии будут определяться независимо друг от друга. Вычеркивание или добавление строк и столбцов в матрице Х Х не будет изменять значения остальных коэффициентов регрессии. [c.503]

Изгибающий момент М может быть уравновешен, как и в прямой балке, только нормальными напряжениями, приводящимися к паре, расположенной в плоскости действия внешних сил, по направлению обратной, а по величине равной моменту М. Задача нахождения закона распределения напряжений по сечению и формул для их вычислений является статически неопределимой и требует, как это было и при изучении изгиба прямой балки, помимо составления и решения уравнений статики, рассмотрения соответствующих деформаций и составления дополнительных уравнений. При определении напряжений от сил Q и /V мы обошлись без подобных вычислений. [c.584]

При определении сил, действующих на сдвоенную передачу, рассматривались три звена, а при определении сил, действующих на одинарную передачу, — два. При этом крестовины, соединяющие звенья, отбрасывались. Их влияние на звенья 1, 2, 3 учитывалось введением сил нормального давления и моментами сил трения Мтр, приложенными к шарнирам. При составлении общих уравнений динамики для сдвоенной и одинарной карданных передач были учтены силы движущие, полезного и вредного сопротивления, инерции всех подвижных частей привода, действующие на звенья карданной передачи. [c.43]

Эти ур-ия носят название нормальных. Способ решения системы нормальных уравнений, данный Гауссом, состоит в следуюш ем. Найденное из первого ур-ия значение х подставляют во 2-е и 3-е ур-ия из первого уравнения новой системы определяют величину у и полученное значение подставляют во 2-е ур-ие, откуда вычисляется г, а затем у я х. Сущность приема состоит в том, что по исключении каждого неизвестного вновь получаемая система снова носит характер нормальных ур-ий. Числовое решение ур-ий выполняется механически при помощи счетной линейки или логарифмич. номограммы. Для предотвращения ошибок вычислений при составлении и решении нормальных ур-ий суммируют при ур-иях ошибок и при нормальных ур-иях коэф-ты по строкам. По подстановке в условные ур-ия полученных вероятнейших значений ж, у, г в правых частях ур-ий будут не нули, а нек-рые величины 1, (52,..., называемые остающимися ошибками. В зависимости от последних можно выразить среднюю квадратич. ошибку каждого условного ур-ия. Решив т ур-ий, отобранных по чис.яу неизвестных из всех п ур-ий, получим значения неизвестных, точно удовлетворяющие этим ур-иям. Т. о. сумма квадратов остающихся ошибок должна распределиться на остальные п — т ур-ий, т. е. [c.279]

Непосредственный точный учет потерь на трение в механизмах п )и составлении дифференциальных уравнений движения обычно сопряжен со значительными трудностями, что заставляет применять в практических расчетах приближенные методы. Известный прием, используемый при учете сил трения в механизме, заключается в следующем силы трения, определяемые по нормальным реакциям в кинематических парах, условно относят к числу задаваемых сил, входящих в уравнение движения. Практическое использование этого приема обычно затруднено, так как нормальные реакции звеньев зависят от динамических характеристик, определить которые можно, лишь решив уравнение движения. [c.226]

Для составления характеристического уравнения нужно найти нормальную систему интегралов уравнения (13.67), чего мы делать, вообще говоря, не умеем. Но для суждения об устойчивости нужно знать только знаки характеристических показателей. Для этой цели достаточно иметь приближенные значения [c.564]

В качестве примера рассмотрим груз массы т (который будем далее считать материальной точкой), привязанный к нити ОМ длиной г и движущийся по окружности (рис. 373). На точку М действует реакция нити ЛГ (действием других сил, например силы тяжести, пренебрежем). Для составления уравнений движения воспользуемся принципом Даламбера и приложим к точке М. силу инерции У, разложив ее на касательную и нормальную составляющие Jx и Jп, при этом Л и направлены соответственно противоположно Wx и Wn, [c.436]

Для определения нагрузки, вызывающей в кривом стержне лишь нормальную силу, служат уравнения равновесия, составленные для начального состояния (рис. 36) i [c.97]

При составлении уравнения равновесия сил, действующих на элемент балки, не следует сразу переходить к напряжениям силу в одном торцовом сечении надо обозначить //, а в другом Л -1-с1Л и подчеркнуть, что звездочка (или какой-либо другой значок или индекс) нужна для того, чтобы было ясно, что речь идет о равнодействующей нормальных сил, возникающих не во всем поперечном сечении балки (кстати, продольная сила в поперечном сечении балки равна нулю), а только на части сечения, принадлежащей выделенному элементу. Равнодействующую касательных сил следует обозначить бТ. Эта сила определяется из уравнения равновесия. [c.207]

Значение VIv — нормального усилия в текущем сечении IV участка найдем, рассмотрев уравнение равновесия, составленное для отсеченной части стержня [c.32]

В VII.4 будет доказано, что в поперечных сечениях стержней фермы с жесткими узлами возникают только нормальные усилия, равные усилиям в соответствующих стержнях щарнирной фермы. Поэтому расчетные схемы ферм берутся шарнирными. Неизвестные усилия в стержнях всегда предполагаются растягивающими и при составлении уравнений статики их следует направлять от сечения. [c.56]

Для составления уравнений нормальных усилий по участкам воспользуемся выражением (П.З) Рассматриваем часть стержня справа от текущих сечений в пределах участков. Находим [c.73]

Если предположить, что рассматриваемая система уравнений Лагранжа (50) нормальна, то т уравнений системы (55) будут разрешимы относительно т производных q, так как определитель, составленный из вторых производных функции S [c.303]

Уравнения решались по методу Рунге — Кутта на ЭЦВМ Минск-32 с помощью стандартной программы, составленной на языке Алгол, поэтому они представлены в нормальной форме Коши [9, 10]. [c.81]

Решение данного примера показывает, что использование только уравнений изгиба (2.11) создает определенные неудобства при определении нормальных сил и составлении уравнений равновесия узлов. Поэтому при расчете плоских стержневых систем предпочтительней пользоваться уравнением (2.11), дополненным уравнением нормальных сил из (2.4). Учет нормальных сил увеличивает порядок матричного уравнения (2.11) на единицу, но упрощает дальнейший расчет. В этом усматривается выигрыш данного подхода, так как число арифметических операций не является критерием при оценке метода [93, 277], более существенным является упрощение логики. [c.75]

Та же операция, произведенная над суммами, представляет ценный контроль составления нормальных уравнений. Кажды11 результат должен быть суммой чисел, образуемой при продвижении влево вплоть до главной диагонали, а затем вверх по столбцу. Если число условных уравнений более десяти, то обычно имеет смысл удерживать в нормальных уравнениях па один десятичный знак больше, чем в условных уравнениях если же это число порядка сотни, то можно сохранить два лишних знака. [c.194]

Для выполнения программы APFS необходима некоторая подготовительная работа, сущность которой состоит в составлении системы нормальных уравнений, возникающей при аппроксимации функции методом наименьших квадратов. Если в качестве фундаментальных функций берутся многочлены Чебышева, то такую подготовительную работу осуществляет стандартная подпрограмма АРСН, обращение к которой имеет вид [c.109]

На фиг. 38 приведена диаграмма зависимости между углами а и р у трактора Форд-Фергюсон. На диаграмме даны теоретические кривые, составленные по уравнению (29), и действительные кривые по замерам на тракторе. Кривые построены для двух значений ширины колеи нормальной48 и широкой 76 для нормальной колеи теоретическая и фактическая кривые совпадают для широкой [c.342]

При составлении дифференциальных уравнений равновесия мы воспользуемся результатами, полученными при решении плоской задачи в полярных координатах ( 37). Напишем уравнения равновесия для бесконечно малого элемента (рис. 85), выделенного из тела двумя меридиональными плоскостями, двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами г ж г йг ш двумя поперечными сечениями, проведенными на расстоянии г друг от дрзгга. Кроме сил, которые мы принимали во внимание при решении плоской задачи, сюда войдут еще усилия по верхней и нижней граням выделенного элемента, перпендикулярным к оси 2. Нормальные напряжения по этим граням обозначим через 22, а касательные напряжения — через Г2 и 02. Проектируя все приложенные к элементу силы на направление радиуса, направление оси 2 и направление перпендикуляра к плоскости rz, получаем таким же образом, как и в случае плоской задачи, следующие уравнения равновесия [c.150]

Для решения этой, в общем виде весьма сложной нелинейной системы уравнений в частных производных необходимо еще знать начальные и граничные условия задачи. Укажем, что в своей общей постановке вопрос об условиях существования и единственности решения составленной системы уравнений до сих пор не решен. Соответ-сгвующие условия обычио указываются в каждом отдельном случае. Отметим лишь одну характерную физическую особенность движения жидкостей и газов с внутренним трением. ]Лри обтекании неподвижного твердого тела вязкой жидкостью обращается в нуль не только нормальная компонента скорости (условие непроницаемости, имеющее место и в идеальной жидкости), но также и касательная компонента (условие прилипания жидкости к стенке или отсутствия скольжения жидкости по стенке). [c.479]

Составленные выше уравнения равновесия (30.1), (30.2) и (30.3) пока не могут быть использованы, так как закон изменения секториальных нормальных напряжений нам неизвестен и не один из интегралов не может быть взят лишь одно уравйение (30.4) связывает внутренние усилия с внешними. Задача определения напряжений в сечении тонкостенного стержня оказывается статически неопределимой. Для её решения нам необходимо будет обратиться к рассмотрению упругих деформаций. [c.536]

Первое нормальное уравнение, называемое нормальным уравнением относительно 1 , получается умножением первого из исходных уравнений на р ац, второго —на р2, Ягь третьего —на рзйз и т. д. и составлением суммы получающихся при этом т уравнений. Нормальное уравнение [c.193]

Таким офазом, имеш две неизвестные нормальные силы, но одно уравнение равновесия. Задача является один раз статически неопределимой. Ц)и составлении дополнительного уравнения примем во вшшание, что абсолютные удлинения веете трех стержней одинаковы [c.47]

Указания к составлению уравнений движения. Рекомендуется ввести систему координат OxXxy Zi, связанную с рабочим колесом, и 0ху2 — с лопаткой, ось Zi направлена по оси вращения колеса, оси X, у лежат в плоскости лопатки, ось z нормальна к ней. [c.70]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...