Выражение перемещений через функцию Эри

Выражение перемещений через функцию Эри [c.309]

Используя далее выражения для потенциальной энергии, подставляя в него напряжения, определенные через узловые перемещения, одновременно переходя к соответствующему выражению перемещений через узловые смещения, получим энергию как квадратичную функцию узловых смещений. Минимизируя далее функцию энергии, т. е. беря частные производные от энергии по соответствующим узловым перемещениям, придем к системе алгебраических линейных уравнений, определяющих искомые перемещения узлов, что и приводит к решению поставленной задачи. [c.118]

ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ЧЕРЕЗ ФУНКЦИЮ НАПРЯЖЕНИЙ 117 [c.117]

Выражения для перемещений через функцию напряжений в прямоугольных координатах. [c.117]

Дифференцируя это уравнение дважды и используя выражения прогиба через функцию перемещений, приходим к уравнению устойчивости в форме Эйлера для трехслойного стержня [c.40]

Здесь черточки над буквами обозначают преобразования Лапласа соответствующих функций. Уравнения (17.9.1) имеют форму обычных уравнений закона Гука. Выполняя преобразования Лапласа над уравнениями равновесия, соотношениями связи между деформациями и перемещениями и граничными условиями, мы получим для изображений систему уравнений, совпадающую с системой уравнений теории упругости. Ее решение ничем не отличается от решения задачи обычной теории упругости изображения напряжений и перемещений оказываются выраженными явно через изображения заданных на границе усилий и перемещений и функций наследственности. Теперь последний этап будет заключаться в том, чтобы перейти от изображений к оригиналам. Эта процедура буквально повторяет ту, которая предписывается принципом Вольтерра, но в других терминах. [c.599]

Связь между усилиями, моментами и характеристиками деформаций дают соотношения (16.26), а выражение деформаций через перемещения — соотношения (16.14). Совокупность уравнений (16.62), (16.26), (16.14) с соответствующими задаче краевыми условиями (см. 16.8) описывает поведение гибких пластин, для кото-рых нелинейность в уравнениях (16.63) и (16.14) существенна в силу того, что (1) , 0)2 е, (I, 2 о, Ё12 о- Если пластина жесткая, то ее прогибы W малы и малы повороты oj и (Оа- Тогда со , aii х о, е, о> Ё 2 О 1 И уравнения линеаризуются после отбрасывания нелинейных членов. В этом случае задача отыскания функций и, v отделяется от задачи отыскания функции w, т. е. задача разделяется на задачу о напряженно-деформированном состоянии под действием сил, векторы которых расположены в плоскости пластины, и на задачу поперечного изгиба. Уравнения первой из этих задач приведены в 17.8 и представлены соотношениями (17.23), (17.24). К этим уравнениям следует присоединить соответствующие им краевые условия (см. 16.8). [c.390]

Для решения полученной системы уравнений необходимо составить четыре граничных условия (по два в каждом крае), выраженные через функции V и j. Если, например, край оболочки имеет заделку, то i=0 и 2=0, при наличии опоры 2=0, Mi=0. Величины 2 и должны быть выражены через V и 1 и их производные - с помощью уравнений (9.5.12). При нахождении деформированной формы оболочки вместо и и w целесообразно рассматривать радиальное Ui и осевое и ] перемещения [c.147]

Вместо представления мембранных напряжений через функцию напряжения ф можно с помощью выражений (4.16) записать их через перемещения и, v, w. Таким образом, получаем другое выражение для энергии [c.261]

Выражение вектора перемещения через вектор Галеркина (2.34), который удовлетворяет уравнению (2.36), называется представлением Галеркина. Заметим, что в случае отсутствия массовых сил, как следует из (2.32), (2.36) и (2.30), векторы перемещения и и Галеркина Г будут бигармоническими, а дилатация в — гармонической функцией. [c.87]

Система уравнений движения в усилиях (5.4) отличается от уравнений равновесия (4.90) трехслойного стержня только наличием инерционных членов Fi, F2, F3, F4, выражения которых через искомые перемещения известны. Следовательно, если взять за основу уравнения (4.93) и добавить к ним выражения (5.1), то придем к системе дифференциальных уравнений в частных производных относительно четырех неизвестных функций U-[ x,t), W2 x,t) И U2[x,t). [c.237]

Подставляя в первые два соотношения (4.2.4) выражения для деформаций через перемещения (4.2.10) и выражения для напряжений через функцию напряжений (4.2.21) и используя равенства (4.5.3) и (4.5.8), получаем [c.112]

Выражения перемещений и напряжений через объёмные сферические функции [c.328]

Именно такое представление перемещений через гармониче ские функции предложил Буссинеск. Если соотношения (8) подставим в формулы для напряжений (формулы (2) 5.4) то получим следующие выражения [c.196]

При смешанных граничных задачах, когда иа поверхности тела заданы частью поверхностные напряжения, частью перемещения, указанная выше трудность не имеет места. Чтобы получить в этом случае решение, выраженное через функции Грина, необходимо определить перемещения и, V, вызванные сосредоточенной в точке С силой, превращающиеся в нуль на той части поверхности, на которой заданы Перемещения, и определяющие равные нулю иапряжения на части поверхности, на которой заданы силы. [c.138]

Теперь все внутренние силовые факторы и перемещения выражены через функцию V. Для определения этой функции используем уравнение равновесия (9.9). Подставив в него выражения (9.22) и (9.23) и продифференцировав по ф, получим разрешающее уравнение [c.367]

Упругие усилия, изгибающие моменты и радиальное перемещение равнопрочной сферической оболочки определяются через функции напряжений и деформаций следующими выражениями [c.163]

Главным в выборе функций перемещений является то, что функции выбираются в виде полинома с числом слагаемых, равным числу вершин многогранника подобласти. Выражая неизвестные перемещения в вершинах через выбранные функции, можно выразить неизвестные постоянные в выражении для перемещений через перемещения в вершинах. Так как число тех и других одинаково, то дальше в качестве неизвестных выступают уже перемещения в вершинах. Для разных задач выбор формы подобластей люжет быть разным. [c.207]

Выражения перемещений и напряжений конечного. односвязного тела вращения без полостей через интегралы от аналитических функций [c.50]

Общие выражения для напряжений и перемещений через две функции. Общий случай деформации трансверсально-изотропного тела [c.375]

Имея эту формулу, легко выразить через функцию ф все напряжения, деформации и перемещения, а также жесткость стержня на кручение (поскольку в предыдущем параграфе приведены их выражения через Ф). [c.252]

Предположим, что консольный стержень, показанный на рис. 5,23,6, поворачивается вокруг опоры так, что угловые перемещения описываются функцией й (О = 02 где 02 — малый угол. Получить общее выражение для динамических перемещений стержня через функции X и частоты рг. [c.403]

Существующие формулировки трехмерных элементов почти всецело основываются на предполагаемых полях перемещений и принципе минимума потенциальной энергии. Формулировкам на базе дополнительной энергии и смешанным формулировкам еще предстоит продемонстрировать свои преимущества для задач данного класса. Так, в задачах трехмерной упругости, если функционал дополнительной энергии выражен в терминах функции напряжений, то нужно преодолеть трудности, обусловленные операциями с функциями, которые непрерывны вместе с частью своих производных при переходе через границу элемента. Поэтому в данной главе рассматриваются лишь формулировки, основанные на предполагаемых перемещениях. [c.305]

В случае линейных треугольных элементов, выбранных для рассматриваемой задачи, выражения перемещений и н V через базисные функции имеют вид [c.257]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Если на всей поверхности тела заданы усилия, граничные условия задают на поверхности линейные комбинации искомых функций, т. е. напряжения. Но если заданы перемещения точек поверхности, то сформулировать граничные условия в напряжениях в общем виде невозможно эти условия будут содержать некоторые интегралы от напряжений и их производных, которые получатся, если в формулы Чезаро внести выражения деформаций через напряжения по закону Гука. Иногда, например, в плоской задаче теории упругости соответствующие преобразования удается довести до конца. [c.251]

Таким образом, намечаются три пути решения задачи 1) в перемещениях, когда решается система уравнений (17.24) и отысканию подлежат функции и (.v, у), v (х, у) 2) в усилиях, когда решается система уравнений (17.22), (17.26) и отысканию подлежат функции Nx, Ny, Nxy. 3) в усилиях, выраженных через функцию усилий Ф в однородной задаче, когда отысканию подлежит одна функция Ф (л, у), удовлетворяющая уравнению (17.27). К этим уравнениям необходилю присоединить соответствующие задаче краевые условия. [c.412]

Подставляя выражения ДЛЯи ----------------------представленные через узловые перемещения и функции ф [c.222]

Для тел, подчиняющихся требованиям одного из вариантов принципа соответствия, приведенных в разд. III, вязкоупругий анализ выполняется сразу, если имеется упругое решение. Для таких случаев обычно удобно сначала получить квазиупругое решение для переходной проводимости, а затем — если нагружение переменно во времени — использовать интеграл суперпозиции. При этом наибольшая точность получается в том случае, когда при заданных поверхностных и/или массовых силах в упругом решении используются функции ползучести, а при заданных перемещениях — функции релаксации. Однако даже если последние условия не выполняются (т. е. если при заданных силах берутся функции релаксации и применяется приближенное соотношение (95), то ошибка все равно остается малой, особенно в случае, когда вязкоупругими фазами являются жесткие полимеры (Мак-Каммонд [66], Симс [106]). Для других видов фаз с резко выраженными вязкоупругими свойствами, когда необходимо выразить фувкцию ползучести через функцию реллксации, желательно использовать точное соотношение (93) и обратное преобразование Лапласа. [c.162]

Работу можно в дальнейшем еще более упростить, используя в выражениях (3.16а) для мембранных напряжений функцию Эри ф. Она тождественно удовлетворяет уравнениям равновесия в направлении осей X ш у, аналогичным уравнениям двумерной теории упругости, и поэтому не учитывающем влияние начальной кривизны и конечных перемещений на условия равновесия в направлении осей X ш у. Приравнивая мембранные (не зависящие от координаты z) напряжения (6.15) мембранным деформациям, выраженным через функцию ф с помохцью закона Гука, из [c.410]

Другой метод решения задачи о тонкой оболочке был показан на примерах уравнения (4.1 3) для плоской пластины и уравнения Сб.17) для круговой цилиндрической оболочки. Согласно этому методу решение для мембранных напряжений (или сил) выражается через, функцию напряжений ф(а, которая удовлетворяет первым двум уравнениям (6.24) и после подстановки в третье уравнение (жодит число неизвестных функций к двум Ф и U . Подобное удовлетворение уравнений равновесия должно быть дополнено удовлетворением условия непрерывности в направлениях а и которое может быть сведено к приравниванию выражений для трех мембранных деформаций, выраженных через функцию ф, их выражениям че]рез непрерывные функции перемещений и, v, w. Получающиеся в результате три зфавнения сводятся к одному путем исключения и я V, таким путем получается второе из двух уравнений, содержащих только две неизвестные функции ф и W, которые находятся из решения этих уравнений. Подобно уравнениям (4.13) и (4.18) для плоских пластин эти два зфавнения будут иметь четвертый порядок и теоретически будут содержать такое же число функций для удовлетворения краевых условий, как и обсуждавшиеся выше три уравнения относительно функций и, v и w. [c.443]

Для того чтобы получить соответствующие выражения для компонентов воктора перемещения, используем интегральную теорему Фурье для четырехмерного преобразования, которая утверждает следующее если функция (p(5j, 2. ) определяется через функцию ф(а 1, Хд, т) с помопц>ю выражения (74.5), то [c.201]

В выражениях (2) через а обозначена частная производная д1дх V — коэффициент Пуассона материала полосы. Чтобы от символической формы записи перемещений и напряжений перейти к их действительному представлению в форме бесконечных рядов, необходимо в соотношениях (2) разложить тригонометрические функции в ряды по степеням ау, заменить а через д дх и выполнить операции дифференцирования над соответствующими начальными функциями согласно общим формулам (1). [c.138]

Уравнение, служащее для определения функций перемещения (разрешающее уравнение), представляет собой соответствующую статическую зависимость, выраженную через функцию перемещения, что делается с помощью геометрических и физических соотнощений. Так, для растяжения, учитывая геометрические и физические зависимости, имеем выражение к=ЕАЕг = ЕА >, подставляя [c.549]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...