Оператор плотности для поля

Другим примером когерентности может служить один из путей осуществления опыта Юнга (хотя, по-видимому, и не самый удобный), заключающийся в рассмотрении однофотонного волнового пакета, падающего на отверстие в экране сг. Тогда, если проделать эксперимент много раз, в точности повторяя волновой пакет, то интерференционные кольца проявятся в виде статистического распределения фотонов, попавших на экран 2 г- Такие чистые состояния для отдельных фотонов всегда будут приводить к кольцам в таком статистическом смысле, в чем можно убедиться, исследуя корреляционную функцию первого порядка. Предположим, что поле находится в некотором чистом однофотонном состоянии, которое обозначим символом 11 фот ). Тогда оператор плотности для поля равен [c.50]

Оператор плотности для поля [c.100]

Об операторе плотности для полей излучения имеется очень мало сведений. Однако некоторое представление о нем можно получить, изучая вид, который он принимает в одной из нескольких полностью решаемых задач квантовой электродинамики. Рассмотрим поле фотонов, излучаемых некоторым существенно классическим распределением электрического тока, который практически не испытывает обратной реакции поля излучения. Тогда излучающий ток можно представить векторной функцией координат и времени ] (г, г ). Гамильтониан, описывающий связь квантованного электромагнитного поля с током, принимает вид [c.104]

Теперь предположим, что распределение тока j (г, t) не является полностью определенным (это всего лишь небольшое обобщение только что рассмотренной модели). В этом случае амплитуды (t), определяемые выражением (9.21), становятся случайными переменными, которые описываются функцией распределения вероятности [обозначим ее р ( а , 01- Оператор плотности для поля, создаваемого таким хаотическим током, принимает вид [c.105]

Отсюда можно видеть, что оператор плотности для поля, излучаемого хаотическим током, который не испытывает обратной реакции излучения, всегда имеет вид Р-представления (9.12). В этом случае весовую функцию действительно можно интерпретировать как распределение вероятности она имеет классическую структуру, непосредственно связанную со свойствами излучающего тока, а не с данными (неортогональными) состояниями поля. Допущение, которое мы ввели при определении данной модели (нет обратной реакции поля излучения), является весьма сильным, но оно довольно хорошо выполняется для излучающих систем радиодиапазона и СВЧ. Поля, создаваемые такими системами, должны точно описываться оператором плотности (9.24). [c.105]

Когда оператор плотности для поля можно определить с помощью Р-представления, функция Р ( а ) играет роль, аналогичную роли плотности вероятности для отдельных амплитуд а. Конечно, для светового луча мы обычно измеряем не отдельные амплитуды ад, а средние значения различных функций комплексного собственного значения напряженности поля Ш (г, 1), которое представляет собой некоторую линейную сумму амплитуд отдельных мод, [c.141]

Для полей, генерируемых хаотическими источниками, достаточно знать средние числа заполнения п , чтобы определить оператор плотности д и из него все статистические свойства поля. Однако если источник по природе не хаотический, то мы не можем предложить какой-либо универсальный путь нахождения оператора плотности для поля, которое он генерирует, без анализа некоторых деталей механизма излучения. Единственный надежный способ нахождения оператора плотности заключается, вообще говоря, в построении теоретической модели изучаемой системы и интегрировании соответствующего уравнения Шредингера, или, что эквивалентно, в решении уравнения движения для оператора плотности. Применительно к лазерному осциллятору эти задачи необычайно трудны и пока не решены до конца в рамках квантовой механики. Наибольшая трудность заключена в математической сложности, связанной с нелинейностью устройств. Нелинейность играет важную роль в стабилизации полей, генерируемых лазером. Следовательно, пока в этих вопросах не будет достигнут дальнейший прогресс, мы не сможем дать последовательное квантовомеханическое объяснение ширины частотной полосы флуктуаций излучения лазера. [c.157]

Рассмотрим теперь функцию О " для стационарных полей. Лучшим критерием стационарности в квантовой механике является требование того, чтобы оператор плотности д коммутировал с гамильтонианом. Это эквивалентно утверждению, что оператор д не зависит от времени в представлении Шредингера (в представлении Гейзенберга оператор плотности для изолированной системы всегда не зависит от времени). Если воспользоваться этим определе-нием и интерпретировать гамильтониан как оператор сдвига во времени, то [c.41]

Предположим, например, что возбуждается только одна k-я мода поля. Так как все остальные моды остаются в основных состояниях, то их можно не учитывать при расчете корреляционной функции. Если оператор плотности для k-й моды представить в общем виде [c.51]

Все операторы, встречающиеся в теории поля, можно разложить по векторам и их сопряженным значениям. Построение таких представлений является простым обобщением формул, полученных в разделе 5, на случай бесконечного набора амплитудных переменных. Поэтому мы сразу же перейдем к рассмотрению оператора плотности. Для произвольного оператора плотности д можно определить функцию Я ( а , Р ), которая является целой функцией каждой из переменных и р для всех мод к. Как видно из (6.1), эта функция дается выражением [c.100]

Выше мы предполагали, что оператор плотности, описывающий поле, известен, и поэтому его можно выразить как в представлении (9.5), так и в Р-представлении (9.12). Для некоторых типов некогерентных источников, рассмотренных в разделе 8 (к которым мы снова вернемся в разделе 10), построение явного вида оператора плотности не представляет трудностей. Однако, чтобы получить точное выражение оператора плотности для других типов источ- [c.103]

Общая проблема нахождения полей, излучаемых заданным распределением тока, была решена в лекции 12. Наиболее важное свойство этого решения состоит в том, что излучение при известном распределении тока всегда приводит к полю в когерентном состоянии (в предположении, что в начале не было других полей). Если ток осциллирует с одной частотой, то будет возбуждаться только та мода поля, которая имеет в точности ту же частоту. Примем для простоты, что геометрия нашей системы благоприятствует возбуждению только одной моды поля. Тогда оператор плотности для этого поля можно записать в виде [c.158]

В качестве следующей иллюстрации применения методов, которые мы обсуждаем, рассмотрим общий случай хаотически генерируемых полей. Операторы плотности для таких полей можно представить посредством гауссовой функции [c.183]

Следует отметить, что оператор плотности энергии не определяется условием (8.4.1) однозначно к е(г) можно добавить дивергенцию произвольного вектора. Впрочем, подобная неопределенность локальных динамических переменных характерна для любой теории поля. Обычно используется оператор (8.4.2), так как он эрмитов. [c.188]

В заключение приведем квантовомеханическое описание микроскопических уравнений поля заряженных осколков деления (9.42) для средних значений соответствующих операторов. Система в гильбертовом пространстве описывается вектором состояния (t), либо эрмитовым оператором плотности Ф( ) = 0(t) 0 (t). Среднее значение А оператора А вводится так [c.294]

Объединим (4.85) с эффектами усиления и потерь, которые получаются в квантовой теории одномодового лазера [168, 169]. Это приводит к следующему основному кинетическому уравнению для оператора плотности Рр лазерного поля [c.163]

Если же нас интересует динамика самого атома, либо только поля, мы можем написать уравнения движения. Но не для вектора состояния подсистемы, а для матрицы плотности (статистического оператора) атома либо поля. Разделение двух взаимодействующих квантовых систем на подсистемы с неизбежностью приводит к их описанию в терминах матрицы плотности. [c.562]

Однако обмен энергий между электрическим полем и ансамблем атомных систем можно рассмотреть также и непосредственно, если воспользоваться теорией возмущений для оператора плотности атомных систем и вычислить изменение энергии ансамбля и соответствующие скорости преобразования, не прибегая при этом к определению математического ожидания поляризации. [c.250]

Здесь следует дополнительно заметить, что существует еще другой метод последовательного квантового описания [3.12-2], в котором формулируется уравнение движения для оператора плотности поля излучения и атомов, а в полном операторе плотности выполняется усреднение по переменным диссипативной системы [аналогичный по методике подход мы уже применяли, правда, для гораздо более простой модели при выводе уравнения (3.11-28)]. [c.302]

Здесь а и а являются коэффициентами при в разложении 7d и уа по (1, где у — плотность числа молекул. Предполагается, что постоянный дипольный момент отсутствует. На основании уравнения (3.16-53) можно для двухуровневой колебательной системы молекулы вывести уравнения движения для матричных элементов молекулярного оператора плотности р (см. разд. 2.36) в рассматриваемом случае в эти уравнения входят матричные элементы операторов д и а, напряженность поля Е, частота перехода мю и соответствующее поперечное время релаксации тю. Образуя след с оператором р, можно однозначно выразить математические ожидания <а> и <а > через только что названные атомные величины. По аналогии с выводом уравнения (3.16-30) можно из уравнения (3.16-53), вывести уравнение движения для колебательной координаты. Итак, в рассматриваемом случае получаются для Р а С два уравнения, имеющие ту же структуру, что уравнения (3.16-48) и (3.16-49) поэтому интересующая нас проблема формально может быть решена таким же путем, по какому мы шли при решении этих двух классических уравнений. Существенно, что теперь, как мы видели, все кон- [c.383]

Мы выяснили, что использование набора состояний, возникающих естественным образом при рассмотрении корреляционных и когерентных [2, 3] свойств полей, позволяет значительно глубже понять роль, которую играют фотоны при описании световых пучков. Состояния такого типа, названные нами когерентными, давно уже используются для описания поведения во времени гармонических осцилляторов. Но поскольку они не обладают свойством ортогональности, то их не использовали в качестве набора базисных состояний для описания полей. Можно показать, однако, что эти состояния, хотя и не являются ортогональными, образуют полный набор, и с помощью этих состояний можно просто и однозначно представить любое состояние поля. Обобщая методы, используемые для разложения произвольных состояний по когерентным состояниям, можно выразить произвольные операторы через произведения соответствующих векторов когерентных состояний. Особенно удобно с помощью такого разложения выразить оператор плотности поля. Эти разложения обладают тем свойством, что если поле имеет классический предел, то они очевидны, хотя при этом описание поля остается существенно квантовомеханическим. [c.67]

Первые разделы данной работы посвящены подробному описанию когерентных состояний и изучению некоторых их свойств. В разделах 4 и 5 дается разложение произвольных состояний и операторов по когерентным состояниям. Раздел 6 посвящен рассмотрению некоторых свойств операторов плотности и тому, как эти свойства учитываются новым методом. Применение развитого формализма к физическим задачам начинается в разделе 7, где вводится определенный вид оператора плотности, который, по-ви-димому, наиболее подходит для описания излучения макроскопических источников. Такая форма оператора плотности приводит к особенно простому способу описания суперпозиции полей излучения. Далее в разделе 8 рассматривается оператор плотности, кото- [c.67]

В предыдущих разделах была продемонстрирована применимость когерентных состояний в качестве базисных векторов. Однако не все поля требуют для своего описания операторов плотности такого [c.87]

Для полей, представляемых оператором плотности (9.12), все средние от нормально упорядоченных произведений операторов можно вычислять по формулам, которые, как и в случае одной моды, очень похожи на формулы классической теории. Так, в этих вычислениях параметры а играют почти такую же роль, как случайные фурье-амплитуды поля в известной классической теории СВЧ шумов [17]. Весовая функция Р ( а ) играет при этом роль, аналогичную распределению вероятности для фурье-ампли-туд. Хотя это сходство оказывается весьма полезным при вычислениях, а также помогает разобраться в применении принципа соответствия, не следует забывать о том, что в общем случае функция Р ( оа ) является квантовомеханической величиной. Она может принимать отрицательные значения и точно не интерпретируется как распределение вероятности, за исключением классического предельного случая сильно возбужденных или низкочастотных полей. [c.103]

Получение энергетического спектра из корреляционной функции для полей, представляемых стационарными операторами плотности, еще проще. Для таких полей весовая функция Р ( а ) зависит только от абсолютных значений а, так что [c.109]

Самый простой и наиболее общий пример некогерентного поля — поле, создаваемое суперпозицией излучений стационарных источников. В разделе 8 мы подробно показали, что по мере увеличения числа источников, которые дают вклад в возбуждение одной моды, оператор плотности моды принимает гауссов вид в Р-представле-нии. Нетрудно получить аналогичный результат и для случая, когда источники возбуждают сразу много мод. Предположим, что [c.110]

Оператор плотности, соответствующий гауссовой весовой функции (10.23), описывает идеально хаотический тип возбуждения мод поля. Мы не без оснований можем предположить, что этот оператор (по крайней мере как хорошее приближение) применим для описания всех известных видов некогерентных источников, используемых [c.111]

Хотя фазовая функция ф (1) имеет некоторый физический смысл (она содержит, к примеру, информацию относительно энергии взаимодействия тока и поля), она не влияет на выражение для операторов плотности поля, т. е. если начальное значение оператора плотности есть р (to), то его значение в момент времени равно [c.119]

Оператор плотности в виде соотношения (12.25) с положительной величиной р ( ад , i) может использоваться для описания долей излучения целого ряда источников, например тепловых излучателей, разрядных трубок и т. д. В связи с этим интересно заметить, что мы всегда можем построить в этих случаях такое классическое распределение случайных токов, что оно будет приводить к тому же самому полю, т. е. тому же самому оператору плотности. [c.120]

Оператор плотности для полей, у которых максимальное число фотонов в моде ограничено числом N. представляется функциями R (Р, ), которые являются полиномами УУ-й степени по Р и у- Из поведения таких полиномов при больших I р I и I у I следует, что любая весовая функция Р (а), которая на основании (7.2) соответствует (Р, ). должна обладать сингулярностями более сильными, чем сингулярность б-функции. Такие поля, вероятно, наиболее удобно описывать с помощью -фyнкций. [c.91]

Использование Р-представления оператора плотности для описания полей приводит многие результаты квантовой электродинамики к виду, аналогичному результатам классической теории. Хотя в этих аналогиях особенно наглядно проявляется принцип соответствия, однако на этом основании нельзя считать, что классическая теория является сколько-нибудь адекватной заменой квантовой теории. Весовые функции Р (а), использующиеся в теории, нельзя строго интерпретировать как распределения вероятности. Они также не выводятся, как правило, из классического описания источников излучения. С помощью классического или полукласси-ческого анализа вообще нельзя понять их зависимость от постоянной Планка. [c.94]

Статистические свойства гауссовского оптического поля, смешанного с когерентным колебанием, теоретически исследовались различными авторами. В [22] получена основная формула для оператора плотности суперпозиции многомодовых полей. Позднее в 25] были найдены распределения отсчетов фотоэлектронов и факториальные моменты для суммы когерентного и узкополосного гауссовского полей на одной и той же частоте. В 92] были рассчитаны второй факториальный момент для суперпозиции одиночной когерентной. моды и гауссовской компоненты с различными формами линий, центрированными на одной и той же частоте. [c.13]

Матричные элементы диагонального оператора плотности pi(i=0, 1) в числовом представлении для полей, состояшзх з совокупности статистически независимых мод (возбуждаемых хаотическими и когерентными источниками), выражаются в виде [c.250]

Для описания электромагнитных полей, возникающих при прохождении заряженной частицы через вещество, воспользуемся микроскопическими уравнениями Максвелла. В эти уравнения входит плотность полного тока, который состоит из свободного тока (внешних источников) и тока Усвяз связанных (или индуци-зованных) зарядов. Последний представляет собой квантово-статистическое среднее оператора плотности тока связанных зарядов, которое, в свою очередь, зависит от электромагнитных полей в данной задаче. Явное выражение для ус яз можно найти с помощью стандартной теории возмущений, имея в виду, что электромагнитное взаимодействие вещества с полем пропорционально малому параметру—постоянной тонкой структуры е Ъс. Можно показать [71.4], что в линейном (по полю) приближении [c.175]

Следует подчеркнуть, что, при заданном операторе плотности р, корреляционные свойства поля излучения являются полностью установленными. Для таких полей излучения, для которых оператор плотности представлен по уравнению (1.31-30) через глобальные глауберовские состояния ( Представление), может быть констатирована далеко идущая аналогия с классическим формализмом введения корреляционных функций. Без доказательства укажем здесь, что из ( Рц ) может быть построена плотность вероятности [c.171]

Здесь л есть матричный элемент перехода Ь /, Ь1/— операторы рождения и уничтожения состояний 2> и 1> -то атома Е<-)(л/.) есть отрицательно-частотная компонента напряженности поля в месте нахождения -то атома этот оператор содержит оператор уничтожения для фотснов с частотой ш. При исследовании взаимодействия с излучением мы примем, что соблюдается так называемое необратимое приближение, т. е. что начальное распределение (тепловое распределение) атомов не изменяется существенно под действием излучения. Следовательно, если вначале, т. е. при 1 = 0, полный оператор плотности может быть представлен в виде р(0) = р/1 (О)р (0) (произведение множителей, соответствующих атомам и полю излучения), то при >0 должно соблюдаться соотнощение р( ) = (О)р ( ). Можно построить уравнение движения отдельно для рг(0> 6СЛИ в уравнении для полного оператора плотности р образовать след по отнощению к атомной парциальной системе при этом следует указать, что ро-цедура аналогична примененной в п. 3.113, хотя там [c.461]

Некоторое понятие о практическом значении Р-представления для оператора плотности можно получить, рассматривая суперпозицию полей, создаваемых различными источниками. Поскольку нас интересует пока поведение только одной моды поля, то мы будем иметь дело лишь с отдельными аспектами полной задачи, хотя аналогичным образом можно исследовать и поведение всех мод. Рассмотрим суперпозицию полей от двух различных неустано-вившихся источников излучения, связанных с модой поля, которые могут включаться и выключаться раздельно. Предположим, что в момент времени включается первый источник, который переводит осциллятор поля из его основного состояния I 0) в когерентное состояние I >. Если к моменту времени tz этот источник перестает излучать, то для всех более поздних моментов времени поле остается в состоянии I >. С равным успехом можно считать, что первый источник остается выключенным, а в момент времени tг включается второй источник. Далее, предположим, что второй источник переводит осциллятор из его основного состояния в когерентное состояние I г)- Возникает вопрос, в какое состояние перейдет осциллятор [c.91]

Некогерентные поля, т. е. широкий класс полей, для которых функции корреляции не распадаются на множители (не факторизованы), следует описывать операторами плотности более общего вида, чем (10.3) или (10.6). Чтобы показать, какую форму прини- [c.107]

Во время окончания данной работы появилась заметка Судар-шана [12], где рассматривались некоторые вопросы статистики фотонов, которые теследованы здесь ). Сударшан также получил Р-представление оператора плотности и установил его связь с представлением, основанным на п-квантовых состояниях. Что касается этих результатов его работы, то они согласуются с нашими (разделы 7 и 9 настоящей статьи). Однако он сделал целый ряд утверждений, которые, по-видимому, придают другую интерпретацию Р-представлению. В частности, он рассматривает существование Р-представления как подтверждение полной эквивалентности — классического и квантовомеханического подходов к статистике фотонов. Он утверждает далее, что имеется однозначное соответствие между весовыми функциями Р и распределениями вероятности для амплитуд поля в классической теории. [c.114]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...