Функции, заданные на сфере

Заметим, что доказанная теорема о разложимости произвольной функции, заданной на сфере единичного радиуса и удовлетворяющей только некоторым условиям достаточно общего вида, Б ряд по сферическим функциям показывает также, что сферические функции образуют полную систему ортогональных на сфере единичного радиуса ф у н к ц и й. [c.187]

Слагаемые ряда (VI. 4.1)—сферические функции Лапласа Кп(М ) — определяются по заданной на сфере функции /([х, Я) формулами [c.900]

Это следует из приводимой в курсах анализа общей формулы, дающей разложение произвольной функции /(О, 9), заданной на сфере, в ряд по сферическим функциям [c.334]

Свойство ортогональности сферических функций позволяет представить функцию, заданную на поверхности сферы, в виде ряда сферических функций, аналогичному ряду Фурье для функции одной переменной. [c.178]

Перейдем теперь к разложению функции, заданной на поверхности сферы Q единичного радиуса, в ряд по сферическим функциям. [c.183]

Таким образом, задача о разложении заданной на сфере Q функции /(0, X) в ряд сферических функций есть задача о наилучшем приближении к заданной совокупности ее значений на сфере путем комбинации осциллирующих функций. А это, по существу самого метода, совершенно соответствует задаче о разложении функции одной переменной в тригонометрический ряд Фурье. [c.192]

Задание функции q = q (s) полностью определяет сферическую кривую с точностью до ее положения на сфере, ибо кривизна и кручение определяются из этой функции. Эйлеровы углы рассмотренного трехгранника привязывают кривую к начальной точке и к начальному направлению. [c.141]

VI. 4. Решение внешней и внутренней задач для шара. Предполагается, что заданная на поверхности сферы R = Ro функция удовлетворяет условиям представимости ее рядом по сферическим функциям Лапласа [c.900]

На некоторой поверхности сферической формы имеется определенное распределение звукового давления, создаваемого источниками звука, расположенными вне области, ограниченной поверхностью. Пусть а —радиус поверхности, давление на этой поверхности р(а, 6) е/ —функция, заданная определенным образом (в виде таблиц, графиков или аналитической формулы). Тогда согласно непрерывности давления на поверхности сферы г = а) [c.214]

Полость в форме полусферы. Рассмотрим теперь пример, в котором функция Е определяется по заданной полости. Положим, что меридиональное сечение представляет полукруг АСВ (фпг. 13), так что полость имеет форму полу-шара, и возьмем начало координат в центре сферы. По формуле (50) функция Е на радиусе ОА должна удовлетворять уравнению [c.234]

Решение задачи для сферы при каких угодно заданных на Граничной поверхности только радиальных смещениях может быть получено из решения 1) путем разложения смещения на границе в ряд по сферическим функциям решение той же задачи, когда на границе задано только радиальное, напряжение, получится из решения 2) таким же способом. Нужно заметить, что члены первой степени не входят в разложение заданного радиального напряжения на границе яли радиального напряжения, выраженного формулой Ах + ByС , где А, В, С — постоянные, по- [c.264]

Доказательство достаточности условий теоремы 16.5 немедленно вытекает из того факта, что в этих условиях в силу теоремы 16.4 вращение поля т — на сферах большого радиуса в Я есть +1. Покажем необходимость условий 7, 8 13 при выполнении остальных условий теоремы 16.5. Учтем, что при существовании решения 102, н ) эта вектор-функция принадлежит X X X (определение (13.5) — (13.7)). При этом выполнены условия (6.1) —(6.3), (6.5), (6.9), (6.10), (6.13). Но в силу известных результатов (см. например, [3, 4, 35]) граничные геометрические задания т, го4, при этом обязательно должны [c.139]

Приятная особенность уравнения (11.21) заключается в том, что вся зависимость от волнового вектора к и от структуры кристалла содержится в функции > а ее можно рассчитать раз и навсегда для разных кристаллических структур при заданных значениях Ш и к ). В задаче 3 показано, что, как следует из уравнения (11.21), на сфере радиусом Гд значения фь должны удовлетворять интегральному уравнению [c.208]

Определение гармонической функции и по заданным и dU/dn на поверхности. Пусть а, Ь, с — координаты некоторой точки А внутри V (рис. 159) окружим точку А сферой а очень малого радиуса. Формула Грина дает [c.271]

Итак, прежде всего мы должны поставить вопрос, каким образом распределяются скорости ветра по величине и направлению в сфере влияния преграды той или другой заданной формы, причем необходимо получить на этот вопрос математический ответ, т.е. вывести выражения скорости ветра в функции координат точек данной части пространства, чтобы можно было подставить эти функции в уравнения Жуковского. [c.108]

В последнее время для управления ориентацией и скоростью вращения спутников на околоземных орбитах все более широкое применение получают активные магнитные системы, использующие магнитное поле Земли. Можно выделить следующие особенности этих систем. Основными функциями активных магнитных систем является стабилизация или коррекция углового положения спутника и его скорости собственного вращения. Вместе с этим они способны выполнять и второстепенные функции уменьшение начальной чрезмерно большой скорости закрутки предварительное успокоение переориентацию спутника из одного заданного положения в другое сканирование небесной сферы компенсацию магнитных возмущающих моментов стабилизацию по силовым линиям магнитного поля Земли демпфирование либраций и т. д. [c.124]

Применение этих основных уравнений к некоторым частным случаям приводит Дюамеля к решениям, представляющим практический интерес. Он начинает с полой сферы, температура которой выражается заданной функцией расстояния от центра. Он показывает, что изменения длин внутреннего и наружного радиусов зависят лишь от среднего значения температуры стенки сферической оболочки. Он распространяет эту закономерность на оболочку, состоящую из двух концентрических слоев различных материалов. В этой статье исследуется также и цилиндрическая труба, температура которой определяется заданной функцией радиального расстояния. В заключение Дюамель исследует перемещения, вызываемые в сферической оболочке изменением температуры. На протяжении всей этой работы Дюамель предполагает, что упругая постоянная не зависит от температуры. Во втором мемуаре ), имеющем первостепенную важность в теории теплоты, он изучает изменения температуры, возникающие в результате деформации, а также различие удельной теплоты при постоянном объеме и при постоянном давлении. [c.294]

Найти в первом приближении теории возмущений изменение энергии, необходимое для образования вакансии с заданным потенциалом возмущения V г). Используя асимптотическую форму волновой функции, применить правило Фриделя для фазовых сдвигов и показать, что величина изменения энергии сводится к величине где Шр—энергия Ферми. Учтя изменение энергии, вызванное возрастанием объема вследствие того, что высвобождаемый ион уходит на поверхность сферы, показать, что полное изменение энергии равно [c.73]

Зависимость компоненты поддерживающей силы fг от безразмерного вертикального смещения внутренней сферы К очень сложна, так как Q при заданном рабочем перепаде давлений ро — р представляет в свою очередь функцию от безразмерного смещения К. На самом деле вопрос еще сложнее, так как обычно поддерживают постоянным не этот перепад, а перепад ря — р, где рн —абсолютное давление в камере нагнетания, откуда газ сквозь некоторый канал подводится к отверстию 5. [c.525]

Всякую функцию /( ,1р), заданную на сфере произвольного радиуса, можно разложить по сферическим функциям (20). При Еспользовании экспоненциальных функций (206) получим [c.319]

Это уравнение можно представить в гамильтоновом виде / = = , Я , где Н=<к, (1)>/2 — кинетическая энергия твердого тела, а скобка I, определяется с помощью равенств ки кг =—кг, к , Лз) = — з, к )=—кг. Эта скобка, правда, вырождена функция Р=<к, к> коммутирует со всеми функциями,, заданными на к = к . Мы получим невырожденную скобку Пуассона, если ограничим скобку , на поверхность уровня днффеоморфную двумерной сфере 5. На симплектическом многообразии 5 возникает искомая гамильтонова система ее функция Гамильтона является полной энергией <к, (1)>/2, ограниченной на 5. [c.111]

Если жидкость заключена между концентрическими сферами, отсутствуют условия, которые должны быть удовлетворены как в начале координат, так и на бесконечности следовательно, можпо использовать гармонические функции как положительных, так и отрицательных порядков. Как и в предыдущих случаях, можно получить разложения по гармоническим функциям, соответствуюп1 ие произвольно заданным на обеих поверхностях скоростям. Совместное решение шести уравнений дает возможность найти гармоники, появляюп1 иеся в общем решении (3.2.3). [c.84]

Н. Г. Четаев (1951) обосновал возможность применения функций Ляпунова для вычисления оценок качества переходного процесса в системе. Первоначально им была выведена оценка сверху для времени перехода любой возмущенной траектории линейной системы, йачинающейся на сфере заданного радиуса А, внутрь наперед заданной малой сферы радиуса е. Эта оценка получена путем рассмотрения наибольшего и [c.49]

Функция и, которая внутри сферы г= а удовлетвдает уравне1 ию (4) й на ее поверхности принимает значения произвольной заданной на сферё функции,- может быть представлена так [c.241]

Положения равновесия точки найдутся, если приравнять нулю X, Y,Z, т. е. если искать максимумы и минимумы функции (У. Если в заданном положении О точки функция и имеет максимум, то соответствующее равновесие устойчиво. Примем это положение О за начало и предположим, что функция 11 обращается в нуль в точке О, что всегда возможно, так как эта функция определяется с точностью до аддитивной постоянной, которою всегда можно распорядиться так, чтобы функция и обращалась в нуль в заданной точке. Чтобы точнее уяснить понятие максимума, опищем вокруг точки О выпуклую поверхность 5, например, сферу или куб с центром О, размеры которых достаточно малы для того, чтобы внутри поверхности 5 и на ней самой функция и была отрицательна и, за исключением начала О, отлична от нуля. [c.278]

Шар на вращающейся плоскости. Рассмотрим качение шара по шероховатой горизонтальной плоскости, которая вращается около фиксированной в ней точки О с заданной угловой скоростью й. Угловая скорость Q мон<ет быть не постоянна и являться заданной функцией от t, принадлежащей классу j (как в примере 5.5). Можно рассматривать однородный твердый шар, однородную сферическую оболочку либо вообще любое тело сферической формы, центр тяжести G которого лежит в его геометрическом центре, а эллипсоид инерции в точке G представляет сферу. Воспользуемся системой координат Oxyz с осями вдоль фиксированных направлений и началом в точке 0 ось Oz направим перпендикулярно к плоскости. Выберем затем систему G123 с осями, параллельными осям системы Oxyz, так что в рассматриваемой задаче будем иметь 0i = 02 = 63 = 0. Координаты центра катящегося шара обозначим через х, у, а здесь а — радиус шара. Условия качения запишутся в виде [c.224]

VI. 5. Внешняя и внутренняя задачи Дирихле для сжатого эллипсоида (сфероида). Сравнение форм частных решений уравнений Лапласа (VI. 1.3) и (VI. 1.8) для сферы и для сфероида показывает, что задание искомой гармонической функции на поверхности эллипсоида s = So можно также мыслить представлением в форме рядя (VI. 4.1) но в этом случае приходится разбить на отдельные слагаемые каждый член этого ряда [c.901]

Из (2.21) и (2.24) следует, что функция имеет смысл отношения объема усеченного пузырька к полной сфере при заданном радиусе. Поэтому снижение работы образования критического пузырька на стенке прош,е всего связать с уменьшением объема пузырька. Такой подход позволяет обсудить влияние кривизны стенки. Предполагаем, [c.37]

Заметим снова, что в этом обзоре неуместно обсуждать вопросы, связанные с программированием, однако несколько замечаний относительно осуществления рассмотренного нами второго метода ТУрГ-ансамбля могут оказаться полезными. Мы уже отмечали, что метод твердых дисков (или сфер) по существу совпадает с обычным методом малого канонического ансамбля при этом величина —1п Г (Л + 1 Л фТт) играет роль мягкого межмолекулярного потенциала фигурирующего в методе малого ансамбля. В методе ТУрГ-ансамбля нет понятия запрещенной конфигурации. Процедура случайных блужданий здесь, как и ранее, состоит в задании пробного смещения одной молекулы, после чего находится значение мин величины мин и соответствующее значение т т для пробной конфигурации. Как и в первом методе Л рГ-ансамбля, их определение значительно ускоряется при наличии таблицы нескольких первых наименьших значений в исходной конфигурации. Из (84) следует, что Г монотонно убывает с ростом т . Поэтому если значение т т меньше или равно исходному значению т , то пробная конфигурация принимается за следующий этап реализации, в противном случае разыгрывание случайных чисел продолжается на основе сравнения Г-функций таким же образом, как и в обычном методе Ж Т-ан-самбля. [c.304]

Рассмотрим параметрическое описание поверхностей. Любую поверхность можно представить как движение кривой г=г(а), перемещающейся трехмерном пространстве как функция времени t, т. е. уравнение г—т(и, i) определяет поверхность. В качестве параметру не обязательно использовать время t, поэтому любая функция r=r( , v) может определять поверхность, где и и v — скалярные параметры. Координаты точек поверхности, заданной параметрическим уравнением, определяются по формулам х=х и, v), у=у(и, и), z=z(u, и). Если один из параметров и или v фиксиро-ва а другой переменный, получим следующие уравнения г— = r(Uo, v), r=r u, Vo), где о, — некоторые постоянные величи-jibi. 3TH уравнения описывают кривые, лежащие на поверхности r=r(u, v) для заданных значений uo или Vo и называемые параметрическими. Например, сфера с центром в начале координат и радиусом й описывается уравнениями z=a os и, х—а sin и os v, у—а sin V sin и, где и и v принимают значения в интервале от О 244 [c.244]

Наряду с классической скобкой Пуассона функций, встречаются более общие скобки (вырождающиеся). Типичный пример — скобка Пуассона функций от компонент М вектора кинетического момента, Р,С = дР дМ1) (дС дМ ) М1, М] . Такие вырожденные скобки можно рассматривать как семейства обычных скобок Пуассона функций на семействах силшлектических многообразий. Однако эти семейства, вообще говоря, имеют особенности (не являются расслоениями) они состоят из симплектических многообразий (листов) разных размерностей, соединенных менаду собой условием гладкости заданной вырожденными скобками пуассоновой структуры на пространстве — объединении. (В описанном выше примере листы — концентрические сферы и их центр.) [c.422]

Заметим, что, выбрав радиус сферы достаточно малым, можно добиться того (при условии, что р — непрерывная функции г и /), чтобы для всех точек г ннутри с( ры р(г, t—R/ ) отличалось от р(г, t) на величину, меньшую любого наперед заданного значения. Следовательно, когда радиус а стремится к нулю, будет все более и более приближаться к значению, соответствующему электростатическому потенциалу равномерно заряженной сферы с плотностью заряда р т. е. для достаточно малых а имеем [c.86]

В теории свободных колебаний упругого твердого тела приходится интегрировать. уравнения колебательного движения при заданных граничных условиях, относящихся к напряжениям и смещениям. Пуассон зб) дал решение проблемы свободных радиальных колебаний упругой сферы, а Клебш по образцу решения Пуассона, построил общую теорию. В эту теорию входит обобщение понятия нормальных координат на случай системы с бесконечно большим числом степеней свободы, введение соответствующих фундаментальных функций и доказательство тех свойств этих функций, с которыми приходится иметь дело при разложении любой заданной фуккции по этим функциям. Спор по вопросу о колебаниях струн, стержней, мембран и пластинок, который происходил как до Пуассона так и при нем, подготовил почву для обобщений Клебша. До появления трактата Клебша Ламе ) предложил другую теорию. Будучи знаком с исследованиями Пуассона о двух типах волн, ои пришел к заключению, что колебания всякого упругого тела должны распадаться на два соответствующих класса в согласии С,этим предположением он исследовал колебания различных тел. То обстоятельство, что его решения не удовлетворяли граничным условиям ля тел, поверхность которых свободна от напряжений, в достаточной мере компрометирует его теорию однако она была окончательно оставлена только после того, как все виды свободных колебаний однородной изотропной среди были изучены, и было доказано, что классы, на которые они распадаются, не соответствуют [c.30]

Сфера, на которой заданы смещения. Формулы (32) предстаоляют собой систему интегралов уравнений равновесия изотропного тела, занимающего область, содержащую начало координат массовые силы предполагаются отсутствующими. Мы можем подчинить эти интегралы заданным условиям на поверхности сферы радиуса а. Если на поверхности задано смещение, то можно предполагать, что функции (и, v, w) для значения г= а представлены в форме сумм повёрхностных гармонически функций такого вида [c.277]

Проблема Римана—Гильберта для круга. Если в предыдущих проблемах сферу заменить на круг, то они решаются следующим образом. Строится матричная функция на универсальной накрывающей над кругом с выколотыми особыми точками, имеющая заданную группу монодромии и регулярные особые точки. Затем проверяется, что она удовлетворяет фуксовой системе уравнений. [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...