Сферические функции Лапласа

Функции (6, f) суть сферические функции Лапласа, Р ( os т ) — полином Лежандра. [c.249]

Здесь — сферические функции Лапласа, по которым [c.252]

VI. 2. Сферические функции Лапласа. Пусть ф х, у, г) — однородный полином п-й степени. Всего существует [c.894]

Очевидно, что представление сферической функции Лапласа в форме тригонометрического полинома по аргументу А, имеет вид [c.895]

Но сумма степеней Q + да + каждого слагаемого гармонического полинома Pn x,y,z) равна п. Поэтому слагаемые, входящие в выражение сферической функции Лапласа, будут иметь вид [c.895]

VI. 4. Решение внешней и внутренней задач для шара. Предполагается, что заданная на поверхности сферы R = Ro функция удовлетворяет условиям представимости ее рядом по сферическим функциям Лапласа [c.900]

Слагаемые ряда (VI. 4.1)—сферические функции Лапласа Кп(М ) — определяются по заданной на сфере функции /([х, Я) формулами [c.900]

О п р е д е л е и и е. Фг/нк <ии К (0, ф) называются сферическими функциями Лапласа, или сферическими функциями п-го порядка. [c.373]

СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (сферические гармоники)— спец. функции, возникающие, напр., при отыскании ограниченных решений ур-ния Лапласа Ди = 0 в сферич. координатах (г, 0, <р) методом разделения переменных. Введены в кон. 18 в. А. Лежандром и П. Лапласом. Полагая = (г, 9, (p) = JJ(r) У(0, ф), после разделения переменных для К(0, Ф) получаем ур-ние [c.37]

Замечание о сферических функциях. Рассмотрим уравнение Лапласа [c.203]

Перейдем к определению эллипсоидальных функций. Для этого отметим, что сферические функции мы определили как некоторые частные решения уравнения Лапласа, написанного в полярных сферических координатах. [c.197]

Силовая функция тела Т на точку Р единичной массы определяется формулой (5.10), где сферические функции — игреки Лапласа даются формулой (5.9). [c.263]

ЧТО является разложением Лапласа по сферическим функциям двух переменных. [c.288]

Несомненно, гораздо легче иметь дело с колебаниями плоского слоя газа, чем с колебаниями слоя конечной кривизны, но я предпочел привести косвенный и прямой методы исследования ради самой сферической задачи и соответствующего разложения по функциям Лапласа 1), а также потому, что связь между функциями Бесселя и Лапласа, повидимому, не всегда понимается достаточно четко. Теперь же мы можем продолжать независимое исследование плоской задачи. [c.289]

В математическом исследовании малых колебаний жидкой массы около ее сферической фигуры равновесия мы ограничимся типами колебаний, симметричных относительно оси, чего достаточно для нашей задачи. Эти типы колебаний требуют для своего выражения только функций Лежандра более общую задачу, содержащую функции Лапласа, можно рассматривать таким же путем она приводит к тем же результатам. [c.360]

Следует отметить, что в некоторых книгах сферические функции определяются как решения уравнения Лапласа в сферических координатах. Такое определение отличается от данного уравнением (П.4) множителем г , где г — радиальная координата, а функции называются поверхностными сферическими функциями. Как было указано в предыдущей сноске, выбор знака функции не является универсальным для всех авторов. [c.476]

Поскольку ф есть функция только от расстояния г до центра (и от времени t), то, воспользовавшись выражением для оператора Лапласа в сферических координатах, имеем [c.378]

Потенциальная энергия Е (г) в этом случае есть функция расстояния частицы до центра сил. Если от декартовых координат перейти к сферическим, то уравнение (28.1) разделяется. Как известно, оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид [c.173]

Чтобы доказать это утверждение, достаточно доказать, что — объемная сферическая гармоника степени к. Так как функция r Tk однородна по г, остается теперь показать только, что она удовлетворяет уравнению Лапласа. Тогда [c.245]

Если провести вокруг тела сферическую поверхность радиусом Го, то скорость движения жидкости в каждой точке этой поверхности равна некоторой функции времени и имеет направление, совпадающее с направлением радиуса сферы. В этом случае для области пространства, лежащей между Го и г< Х, можно записать решение уравнения Лапласа в виде произведения функции от координаты г и функции времени / = ф(г)/(/). Функция г) (г) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению [c.194]

Волновое уравнение для сферических волн получим из общего волнового уравиения (П.32), записав в нем оператор Лапласа для потенциала скоростей Дф в сферических координатах. Поскольку Ф в данном случае есть функция только одной полярной координаты г, то в выражении (Н.36) для лапласиана ф в сферических координатах отличным от нуля будет лишь первый член, и линеаризованное уравнение (П.32) для этого случая будет иметь следующий вид [c.202]

Записывая уравнения Лапласа в сферических координатах и учитывая, что течение осесимметрично и ф не зависит от получаем для функции ф = ф(г, 0) следующее уравнение [c.190]

Случай s=sl обнимает в качестве вынужденных колебаний также колебания второго рода Лапласа, где возмущающий потенциал есть тессеральная сферическая поверхностная функция второго порядка, именно [c.428]

В случае s = 2 важнейшие вынужденные колебания суть те, у которых потенциал возмущающей силы есть секториальная сферическая поверхностная функция второго порядка. Эти колебания образуют колебания третьего рода Лапласа для них имеем [c.430]

Сферические гармонические функции. Уравнение Лапласа в декартовых координатах имеет вид [c.465]

Уравнение (1) представляет собой обычное уравнение Лапласа У Ф = О, записанное в специальной системе координат, поэтому функции х, у, г, ху, уг, гх и любая сферическая гармоническая функция являются фактически решениями уравнения (1). [c.479]

Подстановка этой функции в уравнение Лапласа в сферических координатах показывает, что она представляет безвихревую систему. [c.78]

Изложение некоторых математических методов решения уравнений Лапласа. Пуассона, волнового уравнения в призматических, цилиндрических и сферических областях. Подробно исследован, в частности, предложенный автором вариант метода разделения переменных, где функции, по которым производится разложение, удовлетворяют однородным граничным условиям — независимо от граничных условий для искомого решения. Большое внимание уделено электростатике, в частности, впервые установлен характер поля на ребре диэлектрических клиньев. Исследованы некоторые нестационарные задачи, фокусировка электронных пучков с учетом пространственного заряда и т. д. [c.270]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

Вероятности оптических переходов между уровнями РЗ-ионов определяются главным образом взаимодействием 4/-электронов с полем лигандов. Поскольку энергия этого взаимодействия мала по сравнению с другими видами взаимодействий (кулоновым и спин-орбитальным), его можно рассматривать как возмущение. Первым шагом при этом является вычисление электрического потенциала V, создаваемого окружающими РЗ-ион ионами решетки в месте расположения данного иона. В приближении внутрикристалличе-ского поля, когда ионы решетки рассматриваются как точечные заряды, этот электрический потенциал определяется уравнением Лапласа АУ=0 и может быть представлен в виде разложения в ряд по сферическим функциям [c.21]

В самом деле, сферические функции, игреки Лапласа , получаются из гармонических многочленов путем замены прямоугольных координат через полярные сферические, по формулам (5.3), что позволяет выразить 2л+ 1 независимых коэффициентов гармонического многочлена п-й степени через 2п+ коэффициентов сферической функции /г-го порядка. Наоборот, заменяя синусы и косинусы сферических кординат в общем выражении для К (0,/.) их значениями в функции х,у,г, мы перейдем от сферической функции к гармоническому многочлену, что опять позволит написать соотношения между коэффициентами обеих функцнй. [c.226]

В данной главе приведены решения скалярных и векторных волновых уравнений для установившихся волновых движений в системах координат, в которых допустимо разделение переменных и которые используются в последуюших главах при изучении дифракционных процессов. Рассмотрены круговая цилиндрическая. эллиптическая цилиндрическая, сферическая, сфероидальная и параболическая цилиндрическая координатные системы. Для первых трех из указанных систем приведены теоремы сложения волновых функций. Даны основные свойства используемых специальных функций. Отметим, что в случае нестационарных процессов в результате применения интегрального преобразования Лапласа по времени волновые уравнения также сводятся к уравнениям Гельмгольца. Следовательно, приведенные в настоящей главе результаты справедливы и для нестационарных задач. Отличие состоит лишь в том, что в нестационарном случае волновые числа будут чисто мнимыми. [c.28]

Рассмотрим сферически-симметричное течение от источника обильности q, помещенного в начале координат. Такое течение представляет собой частный случай осесимметричного (все гидродинамические величины функции только г). Поскольку жидкость несжимаемая, то уравнение неразрывности во всех точках, не совпадающих с началом координат, имеет вид divv = 0. Поскольку течение безвихревое, то v = grad ф и потенциал скоростей ф удовлетворяет уравнению Лапласа. [c.187]

Потенциал скорости простого источника (f = mlr представляет собой сферическую гармоническую функцию, как в этом можно непбсредственно убедиться подстановкой в уравнение (2). Если источник расположен в некоторой точке А на оси х на расстоянии с от начала координат (рис. 309), ТОМЫ имеем ф = wl/i , где R = AP. Эта функция, являясь потенциалом скорости, должна удовлетворять уравнению Лапласа, как это было установлено в п. 15.20 при рассмотрении уравнения неразрывности. Теперь имеем [c.466]

Для вычисления вектора напряженности магнитного поля Земли Й можно воспользоваться методами, изложенными в работе [I]. Известно, что потенциал магнитного поля Земли является решением уравнения Лапласа, причем последнее может быть представлено в сферической системе координат в виде ряда по собственным функциям. Обычно принято разделять поле на внутреннюю и внешнюю части и считать беспотенциальную часть поля нереальной. [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...