ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ДЕФОРМАЦИЯМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ Обобщенный закон Гука

Упругие постоянные кварца. Для малых деформаций и напряжений с достаточной точностью выполняется обобщенный закон Гука, устанавливающий линейную зависимость между деформациями и напряжениями [c.336]

Зависимость между деформациями и напряжениями при плоском и объемном напряженных состояниях (обобщенный закон Гука) [c.53]

Приведенные в первой главе формулы и уравнения справедливы для любой сплошной среды, независимо от того, является она упругой, пластической или находится в любом другом физическом состоянии. Для различных физических состояний сплошной среды физические уравнения различны. Рассмотрим среды или тела, для которых зависимости между деформациями и напряжениями носят линейный характер, т. е. подчиняются обобщенному закону Гука. По упругим свойствам тела разделяются, с одной стороны, на однородные и неоднородные, а с другой — на изотропные и анизотропные. Тела, в которых упругие свойства во всех точках одинаковы, называются однородными, а тела с различными упругими свойствами в различных точках тела — неоднородными. Неоднородность непрерывная, когда упругие свойства тела от точки к точке изменяются непрерывно, и дискретная, когда упругие свойства тела от точки к точке испытывают разрывы или скачки. Тела, упругие свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную точку, одинаковы, называют изотропными, а тела, упругие свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную точку, различны,— анизотропными. В зависимости от структуры тело может быть изотропным или анизотропным и одновременно однородным или неоднородным [91]. В случае однородного упругого тела, обладающего анизотропией общего вида, зависимость между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций в точке линейная [c.68]

Обобщенный закон Гука. Необходимую зависимость между деформациями и напряжениями можно получить только из эксперимента. Наиболее простым является эксперимент на одноосное растяжение, когда а, = ст, а,все остальные составляющие напряжения равны нулю. При малых деформациях 8 < 10— 15% эксперимент хорошо описывается линейной зависимостью ст = = Ег (законом Гука). Постоянную Е называют модулем упругости. [c.14]

Они выражают линейную зависимость между составляющими деформации и составляющими напряжений в изотропном упругом теле и называются обобщенным законом Гука. [c.35]

Между компонентами напряжений и деформаций существуют линейные зависимости, т. е. материал следует обобщенному закону Гука, причем коэффициенты этих линейных зависимостей могут быть как постоянными (однородное тело), так и переменными функциями координат, непрерывными или прерывными (в случае неоднородного тела). [c.13]

Обобщенный Закон Гука для упругих сплошных сред тоже получают как линейную зависимость между тензором напряжений П и тензором деформаций S компоненты которого выражаются [c.573]

До сих пор напряженное и деформированное состояния рассматривались независимо друг от друга и не связывались со свойствами материала. Однако между компонентами напряженного состояния, с одной стороны, и деформированного, — с другой, существует определенная зависимость. В пределах малых деформаций эта зависимость я1 ляется линейной и носит название обобщенного закона Гука. Наиболее простую форму обобщенный закон Гука принимает для изотропного тела. В этом случае коэффициенты пропорциональности между компонентами напряженного и деформированного состояний не зависят от ориентации осей в точке. [c.252]

Обобщенный Закон Гука для упругих сплошных сред тоже получают как линейную зависимость между тензором напряжений П и тензором деформаций 5, компоненты которого выражаются по формулам (36), только вместо вектора скорости и используется вектор смещения и, характеризующий деформацию сплошной среды. Тензор деформаций и обобщенный закон Гука для упругих сплошных сред подробно рассматриваются в теории упругости и курсах сопротивления материалов с элементами теории упругости. Здесь ограничимся только краткими сведениями, относящимся к обобщенно.му закону Гука. [c.556]

Обобщенный закон Гука устанавливает линейную зависимость не только между одним напряжением и соответствующей деформацией, но между компонентами тензора напряжений (<Тп, 022, о зз, 0 1, 023, Оз ) и каждым компонентом тензора деформации (ец, 22, езз, б12, Ё23, 631). [c.124]

Заметим, что пропорциональность ме щу компонентами напряжений и компонентами деформации в каждой точке тела (обобщенный закон Гука) не всегда приводит к заключению о существовании прямой пропорциональности между величинами внешних нагрузок и перемещений, а следовательно, и к закону сложения отдельных действий — принципу независимости действия сил. В отдельных случаях (например, в так называемых контактных задачах, см. [6], [72], [74]), линейная связь между компонентами напряжений и компонентами деформаций приводит к нелинейной зависимости между силами (например, нагрузка на шар) и перемещениями (смятие шара и т. п.). [c.6]

Обобщенный закон Гука выражает зависимость между этими напряжениями и деформациями в направлении каждого из них [c.45]

Формулы (6.51) выражают обобщенный закон Гука для изотропного тела, т. е. зависимость между линейными деформациями и главными напряжениями в общем случае трехосного напряженного состояния. Заметим, что сжимающие напряжения подставляют в эти формулы со знаком минус . Из формул (6.51) легко получить формулу закона Гука для плоского напряженного состояния. Например, для случая О2 = 0 [c.194]

Обобщенный закон Гука. Диаграмма а — е, как уже ранее отмечалось, имеет несколько характерных участков, которым даны соответствующие их содержанию названия. Первый участок, на котором зависимость а — е близка к линейной, назван участком линейной упругости. На этом участке наблюдается линейная зависимость между напряжениями и деформациями (до предела пропорциональности о ц) о = е. Что касается поперечной деформации, то для нее е о = —р.е р. [c.143]

Из опыта следует, что между компонентами напряженного состояния и компонентами деформации в данной точке тела существуют зависимости, называемые обобщенным законом Гука. [c.18]

Следствием наблюдаемых в опытах с изотропными материалами совпадения главных осей тензоров напряжений и деформаций (учтенного при выводе уравнений обобщенного закона Гука) и линейности зависимости между напряжением и деформацией в линейно напряженном образце является подобие диаграмм Мора [c.506]

В отечественной литературе термин обобщенный закон Гука используется в ином смысле,— применительно к линейным зависимостям между компонентами напряжений, с одной стороны, и деформаций, с другой в условиях трехмерного и двумерного напряженных состояний. (К стр. 217.) [c.572]

При составлении системы уравнений, определяющей напряженно-деформированное состояние армированного пластика при поперечном нагружении, используется ряд исходных гипотез и граничных условий. Основным является требование совместности деформирования всех элементарных слоев, из которого следует условие постоянства напряжений в каждом элементарном слое в направлении нагружения и равновесие между напряжениями в компонентах пластика в остальных двух направлениях. В качестве закона деформирования отдельных компонентов используется обобщенный закон Гука. Совместное решение уравнений, соответствующих названным условиям, в результате интегрального перехода к средним напряжениям и деформациям всего пластика дает возможность определить коэффициенты Пуассона в плоскости армирования vm и в плоскости, перпендикулярной направлению армирования vxi, а также модуль поперечной упругости Задача сводится к аналитическому решению [12], однако аналитические зависимости получаются очень громоздкими. В результате ряда преобразований получаем [c.48]

Опыт показывает, что при малых деформациях напряжение пропорционально де( юрмации. Этот факт, установленный Гуком для простейших деформаций, составляет формулировку известного закона Гука, справедливого только для достаточно малых деформаций и напряжений. Применительно к акустике бесконечно малых амплитуд мы можем ограничиться рассмотрением идеально упругих сред, для которых связь между напряжением и деформацией линейна. Поскольку в общем случае напряжение и деформация определяются тензорами второго ранга, имеющими по шесть независимых компонент, то естественным обобщением закона Гука будет линейная зависимость между ними. Тогда обобщенный закон Гука можно сформулировать так компоненты напряжения в данной точке тела являются линейными и однородными функциями всех компонент деформации, т. е. [c.20]

Более общую форму закона Гука для произвольного напряженного состояния называют обобщенным законом Гука. Сущность этого закона сводится к тому, что устанавливается линейная зависимость не только между одним напряжением и соответствующей деформацией, но между компонентом тензора напряжений 5л, Зу, Зг, (ху, (уг, (хх и каждым компонентом тензора деформаций ву, е , дху, ёуг, ёгх- [c.90]

Уравнения обобщенного закона Гука мы приняли без доказательства в том виде, как они даются в сопротивлении материалов. Ниже, в 18—23, приводятся соображения, доказывающие, что эти уравнения дают самую общую зависимость между напряжениями и деформациями в изотропном упругом теле. [c.75]

Присоединим к краевым условиям шесть определяющих уравнений, или уравнений состояния, выражающих, например, для упругого тела обобщенный закон Гука, зависимости между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций для малых упруго-пластических деформаций, уравнения теории На-вье — Стокса в случае движения вязкой жидкости и т. д. В случае движения сжимаемой среды к краевым условиям присоединяется уравнение состояния и уравнение притока энергии. [c.46]

Выше мы принимали металл в области III абсолютно жестким, хотя в действительности в этой области наблюдаются упругие деформации. Для установления зависимости между напряжениями oTz и касательными, действующими на боковой поверхности, будем полагать, что металл в области III находится в упругом состоянии и деформации ер= д= 0, тогда согласно обобщенному закону Гука, найдем [c.76]

Простейшим примером уравнения состояния может служить обобщенный закон Гука для модели линейно-упругой изотропной сплошной среды, формулирующий связь между компонентами тензора деформаций (2.3) и компонентами тензора напряжений (2.9) в виде линейных зависимостей [c.25]

ПИИ материала является одним из существенных моментов, поскольку реальные конструкции, используемые в технике, часто обладают анизотропными свойствами естественного (изделия из древесины) и конструктивного (армированные материалы) происхождения. Зависимость между тангенциальными напряжениями и деформациями в обобщенном плоском напряженном состоянии выражается посредством закона Гука [ 1.23] (принята во внимание статическая гипотеза 2) [c.10]

Пропорциональную зависимость между напряжениями и деформациями называют законом Гука. В обобщенном виде его записывают в виде [1] [c.15]

Тот факт, что при достаточно малых деформациях была обнаружена линейная зависимость между ними и напряжениями в металлах и других материалах, выразившаяся в конце концов в том, что теперь принято называть обобщенным законом Гука (независимо от того, было ли это только аппроксимацией в свете возрастающей точности измерения деформаций), дал мощный инструмент для экспериментального исследования природы деформируемых сплошных тел. Если бы в XVII веке для твердых тел наблюдались исключительно нелинейные зависимости между напряжениями и деформациями, то большинство достижений в развитии физики и особенно техники, имевших место за прошедшие 200 лет, задержалось бы на несколько столетий. Даже в XVII веке было достаточно данных относительно разрушающей тело нагрузки и отсюда нетрудно установить, что если бы Гук действительно достиг имевшейся в его распоряжении [c.217]

В дальнейшем ограничимся при решении задач лишь случаем изотропного тела. Этот случай имеет большое практическое значение. Такие материалы, как литое железо и сталь, по их свойствам в пределах упругости можно без значительных погрешностей принимать за изотропные. Зависимость между напряжениями и деформациями в этом слзгчае выражается посредством двух упругих постоянных, и мы ее без затруднения устцровим, если сделаем следующее вполне естественное допущение. Положим, что в случае изотропного материала направления главных напряжений совпадают в каждой точке с направлениями главных деформаций и, следовательно, угол между двумя взаимно перпендикулярными площадками искажается лишь в том случае, если есть соответствующие касательные напряжения. Выделим из тела плоскостями, нормальными к главным напряжениям, бесконечно малый прямоугольный параллелепипед. В силу сделанного допущения углы этого параллелепипеда при деформации не искажаются и полное изменение формы выделенного элемента определяется тремя главными деформациями вхх, вуу и е (координатные оси х,у, г направим параллельно главным напряжениям в рассматриваемой точке). Соответствующие им напряжения будут Хх, У у и Согласно обобщенному закону Гука каждая из составляющих напряжения представляется линейной функцией составляющих деформации. Например, Хх можно представить в таком виде [c.45]

В своём выводе основных уравнений теории упругости Навье (см. стр. 129) исходил из предположения, что идеально упругое тело состоит из молекул, между которыми при его деформировании возникают силы взаимодействия. При этом принималось, что силы эти пропорциональны изменениям расстояний между молекулами и действуют по направлениям соединяющих их прямых линий. Таким путем Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой константы. Коши (см. стр. 135) первоначально ввел две константы в зависимости между напряжением и деформацией в случае изотропии. В самом же общем случае анизотропного тела Пуассон и Коши допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации (обобщенный закон Гука). В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физического истолкования явления упомянутую выше молекулярнуро теорию, они снизили число постоянных для общего случая до 15. Они показали, что изотропия допускает дальнейшее снижение этого числа, так что окончательно для записи соотношений между компонентами напряжения и деформации необходима лишь одна постоянная, которую и ввел Навье. [c.262]

Приведенные физические урлвнения (обобщенный закон Гука), выражающие зависимость между напряжениями и деформациями, справедливы только в пределах упругости, когда не возникают пластические деформации. [c.80]

Приведенные ранее формулы и уравнения верны для любой сплошной среды, независимо от ее физических свойств. Переходя к упругому телу, мы должны выбрать модель, отражающую упругие свойства, и получить, в дополнение к уравнениям 1 и 2, зависимости между составляющими деформации и составляющими напряжений. Так как мы рассматриваем только малые деформации, то примем за упомянутую модель — сплошное тело, следующее обобщенному закону Гука. Иначе говоря, мы будем рассматривать только такие среды и тела, в которых составляющие деформации являются линейными функциями составляющих напряжений. Эти функции должны быть однородными, так как предполагается, что при отсутствии напряжений составляющие деформации также равны нулю, и наоборот если 8=7 = 0, тоиа = т = 0. [c.22]

В основе деформационной теории пластичности лежат гипотезы, предложенные Хубером [397], Мизесом [423], Хенки [395 и обобщенные на случай материала с упрочнением Надаи [200]. Она предполагает, что для упругопластических тел можно установить зависимости между напряжениями и деформациями, подобно закону Гука для упругих тел. Развитие и обоснование теории малых упругопластических деформаций связано с работами Ильюшина, поэтому часто теорию малых упругопластических деформаций называют теорией пластичности Ильюшина. Здесь принимается, что при простой активной деформации первоначально изотропного материала, свойства которого не зависят от третьего инварианта тензора напряжений, справедливы следующие три гипотезы. [c.42]

Если напряженное и деформированное состояния выражаются через главные напряжения и деформации, то в формулах, выведенных в этом параграфе, следует отбросить члены a j и eij, для которых i ф /. Представленные тут линейные соотношения между напряженным и деформированным состояниями являются обобщением давно известного экспериментального закона. Закон упругости, определяющий зависимость между напряжением и деформацией в одноосном напряженном состоянии, установил Роберт Гук в 1676 г. Многочисленные опыты с удлинением пружин, стержней и с изгибом балок привели его к формулировке закона упругости в форме лапидарного утверждения ut tensio si vis ). Это означает, что деформация пропорциональна нагрузке, которая ее вызвала. [c.110]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...