Вероятностные характеристики стационарных случайных функций

Вероятностные характеристики стационарных случайных функций [c.90]

Решение уравнений при нестационарных колебаниях. В предыдущем параграфе были рассмотрены случайные силы и вызванные ими случайные колебания, когда вероятностные характеристики сил и компонент вектора состояния стержня [Z (e, т)] во времени не изменялись. Такие случайные колебания называются стационарными случайными колебаниями. Они возможны, когда время переходного процесса много меньше времени рабочего режима. Кроме того, стационарные колебания возможны только в том случае, когда уравнения колебаний стержня есть уравнения с постоянными коэффициентами, а нагрузки, действующие на стержень, представляют собой стационарные случайные функции. [c.158]

Очень часто в реальных задачах большой практический интерес представляет переходный режим колебаний от момента приложения нагрузки до выхода системы на установившийся режим (стационарный режим, если он возможен) или до определенного момента времени. Например, если на стержень действует внезапно приложенная случайная по направлению и модулю сила и требуется выяснить, как будет двигаться стержень после ее приложения, то считать движение (колебания) стержня стационарными нельзя даже в том случае, если сила является стационарной случайной функцией. В общем случае случайные силы, действующие на стержень, могут быть любыми, в том числе и нестационарными, случайными функциями, у которых вероятностные характеристики зависят от времени. В этом случае вероятностные характеристики решений уравнений колебаний стержня (в том числе и уравнений с постоянными коэффициентами) также зависят от времени, т. е. являются нестационарными. Это существенно осложняет решение, так как воспользоваться спектральной теорией нельзя. [c.158]

Определение вероятностных характеристик решения. В гл. 6 были рассмотрены случайные колебания пространственно-криволинейных стержней. Для случая колебаний прямолинейных стержней приведенные в гл. 6 соотношения существенно упрощаются. Но проще получить для этого частного случая все необходимые соотношения, рассмотрев, например, уравнение (7.167). Рассмотрим стационарные случайные колебания на примере стержня, приведенного на рис. 7.19,6. Сила Р есть стационарная случайная функция с известными вероятностными характеристиками, в частности известна ее спектральная плотность 5р((о). Рассмотрим случайные колебания стержня с учетом сил вязкого сопротивления [c.216]

Во многих реальных ситуациях вероятностные характеристики случайных функций достаточно однородны во времени такие случайные функции называют стационарными. Большинство названных выше возмущающих сил практически в течение достаточно большого времени можно считать стационарными случайными функциями времени. Очевидным исключением являются кратковременные сейсмические нагрузки. [c.230]

Второй случай отличается от первого тем, что здесь факторы третьей группы являются случайными величинами, вызывающие рассеивание амплитуды гармоники, характеризующей погрешность формы. Анализ вероятностных характеристик показал, что суммарная погрешность в данном случае представляет собой также стационарную случайную функцию. Однако суммарный закон распределения погрешности размеров и формы в отличие от первого случая является гауссовым (п. 11.4). [c.247]

Наличие вероятностных характеристик (11.48), (11.52), (11.53), а также формул (11.7), (11.10), (11.16), позволяющих рассматривать суммарную погрешность размеров и формы как стационарную случайную функцию при изготовлении цилиндрических деталей, упрощает процесс наладки станка, делает его менее тру- [c.396]

Случайным (иногда — стохастическим или вероятностным) процессом называют физический процесс, который характеризуется изменяющейся во времени случайной величиной. Для различных наблюдений над случайным процессом, производимых при одинаковых условиях опыта, получают случайные сигналы выходной величины процесса, которые в каждом отдельном случае не могут быть предопределены. Для случайного процесса могут быть определены лишь функции распределения вероятно.сти значений х ых(() в различные моменты времени. Случайный процесс может быть стационарным и нестационарным, В последнем случае вероятностные характеристики процесса являются функцией времени. [c.746]

Метод спектральных разложений для процессов, удовлетворяющих условиям стационарности, позволяет довольно просто находить вероятностные характеристики производных случайного процесса. Например, по известным взаимным спектральным плотностям (а) находят взаимные корреляционные функции обобщенных скоростей и ускорений [c.292]

Вероятностные характеристики компонент вектора / считаются известными в частности, известны их спектральные плотности Sf. ((о). В более общем случае, когда компоненты t) зависимы, должны быть известны и взаимные спектральные плотности Рассмотрим более подробно случайные возмущения (/). Выясним в частности, при каких дополнительных условиях центрированную стационарную случайную функцию fk t) можно представить в виде интеграла Фурье [c.69]

Первые четыре главы настоящего учебника посвящены изложению основных положений теории вероятности и случайных процессов. Рассматриваются случайные величины и случайные функции и их вероятностные характеристики функции распределения плотности вероятности, математические ожидания и дисперсии. Приводятся различные виды законов распределения, встречающихся в практических задачах. Рассмотрены нестационарные и стационарные случайные процессы, имеющие большое прикладное значение при анализе колебаний механических систем. Приведены основные результаты спектральной теории стационарных случайных функций и использования спектрального представления стационарных случайных функций при анализе установившихся колебаний. Изложена теория марковских процессов. [c.4]

Вероятностные характеристики производных стационарных случайных функций [c.100]

Пример 3.10. Дана стационарная случайная функция Х(() с вероятностными характеристиками т = Q, (т) = е" I I. Требуется найти взаимную спектральную плотность стационарной функции и ее первой производной. Выражение для взаимно корреляционной функции (3.29) [c.116]

Рассмотрим нестационарные колебания системы при действии стационарного кинематического возбуждения (рис. 5.12). Точечная масса т находится на конце упругого элемента измерительного прибора, жестко связанного с основанием, которое случайно смещается в вертикальном направлении. Вертикальное смещение является стационарной случайной функцией с известными вероятностными характеристиками [c.194]

Рассмотрим задачу 10.2, воспользовавшись теорией случайных процессов. Для этого имеющуюся информацию о случайном моменте (поле возможных значений) дополним вероятностными характеристиками Mf,, связав их с принятым ограничением на Mf,i Mf, < Ь). Предположим, что является стационарной случайной функцией с неизменным во времени нормальным законом распределения (рис. 10.17) и корреляционной функцией в виде [c.431]

Суммарная погрешность базовых жестких деталей. В общем случае представить отклонение формы в виде второго слагаемого формулы (1), т. е. как сумму простейших гармоник большого числа, затруднительно. Задача комплексной опенки отклонений формы упрощается, если их рассматривать в совокупности как единую стационарную случайную функцию. Напомним, что при исследовании стационарного процесса на любом участке контура детали получаются одни и те же вероятностные характеристики. [c.114]

Эти разумные соображения, однако, несколько расплывчаты и не вполне убедительны. Для большей основательности можно привлечь теорию случайных полей упругие модули исходной неоднородной среды — стационарные случайные функции А(г) с заданными вероятностными характеристиками (математическими ожиданиями и корреляционными функциями), разыскиваются вероятностные характеристики напряжений. Этот подход, однако, пока не получил должного развития. Зато создана блестящая теория периодических композитов (о ней — следующая глава). [c.304]

Функции Хо (t), I/o t) и t) — случайные, стационарные (в общем случае стационарно связанные) функции времени с заданными вероятностными характеристиками (заданы функции плотности распределения вероятностей, корреляционные функции или спектральные плотности со средними значениями, равными нулю). [c.257]

Понятие стационарного случайного процесса. Процесс U (t) называют стационарным, если все его вероятностные характеристики инвариантны относительно выбора начала отсчета времени. В частности, математическое ожидание и одномерная плотность вероятности этого процесса не зависят от времени, а двухмерная плотность вероятности и моментная функция второго порядка зависят от разности аргументов 2 — но не от каждого аргумента в отдельности. Если накладываются только ограничения на одномерные и двухмерные распределения, то процесс называют стационарным в широком смысле. Стационарные случайные процессы служат удобной моделью для реальных процессов, свойства которых достаточно медленно изменяются во времени. [c.271]

Стационарные и стационарно связанные многомерные процессы. Многомерный случайный процесс называют стационарным, если все его компоненты стационарны, или стационарно связанным, если все его взаимные вероятностные характеристики инвариантны относительно выбора начала отсчета времени. Взаимная корреляционная функция Kjh (ii, стационарного и стационарно связанного процесса зависит лишь от разности — Л = т. При этом свойство симметрии (25) принимает вид K,k (т) = Kk, (-Т). [c.275]

Стационарные пространственно-временные случайные поля. Здесь и ниже ограничимся рассмотрением скалярного поля Поле U (х, i), t е. (—оо. оэ) называется стационарным, если его вероятностные характеристики не меняются во времени. Моментные функции порядка / > 1 зависят от разностей t — t, f — t и не зависят от выбора начального момента наблюдения. Стационарное пространственно-временное поле и (х, t) называют эргодическим, если одна его достаточно продолжительная реализация содержит всю информацию о вероятностных свойствах поля. В этом случае моментные функции определяют путем осреднения соответствующих произведений сначала по времени, а затем по множеству реализаций. [c.278]

Широкое распространение имеют случайные процессы, которые протекают во времени приблизительно однородно и имеют вид непрерывных случайных колебаний относительно некоторого среднего значения, а вероятностные характеристики процесса не зависят от выбора начала отсчета времени, т.е. инвариантны относительно сдвига по времени. В соответствии с этим случайная функция X(t) называется стационарной, если вероятностные характеристики случайной функции X t+t ) при любом f тождественно совпадают с соответствующими характеристиками X(t), что имеет место только в том случае, когда математическое ожидание и дисперсия случайной функ-ции не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов f - t). Стационарный процесс можно рассматривать как протекающий во времени неограниченно долго. В этом смысле стационарный процесс аналогичен установившимся колебаниям, когда параметры установившихся колебаний не зависят от начала отсчета времени. [c.90]

Статистическая обработка результатов замера микропрофилей дороги позволяет получить вероятностные характеристики случайной стационарной функции h (t), т.е. W , и Kf (т), и, что особенно важно, спектральную плотность 5 , (ш). Получить вероятностные характеристики воздействия дороги на машину, справедливые для всех типов дороги, нельзя, поэтому условно дороги разбивают на ряд классов в зависимости от средней квадратической высоты неровностей. Более подробные сведения о статистических характеристиках дорог и методах их получения содержатся в специальной литературе. В частности, корреляционные функции воздействия дорог Kf (т) на машину могут быть аппроксимированы функцией вида [c.199]

О преобразователе стохастичности уже говорилось. Подводя итог, отметим, что преобразователь стохастичности преобразует поступающее на его вход случайное воздействие в некоторое другое случайное воздействие, причем так, что вероятностное описание случайности выхода, по крайней мере, спустя некоторое время, определяется вероятностным описанием случайности входа, и с исчезновением стохастичности входа выход также теряет своЮ стохастичность. Именно этот и только этот случай изучался до последнего времени [104, 193, 194, 216, 299, 310, 320, 342]. Он интенсивно исследовался при рассмотрении случайных колебаний механических и радиотехнических систем. Таковы все приведенные выше примеры. Основной задачей этих исследований считалось отыскание характеристик и описание стохастичности выхода по заданным характеристикам и стохастическим описаниям входа. В некоторых случаях эта задача решалась просто. Так, в рамках корреляционной теории стационарных случайных процессов спектральная функция выхода линейной дина- [c.61]

Параметр (4) в общем случае является переменным, т. е. величина рассеивания случайных погрешностей изменяется во времени (или в функции какого-либо другого параметра). Вместе с тем, на практике встречаются процессы, протекающие при постоянных значениях (/) и (). При этом вероятностные характеристики случайной функции не зависят от значения t. Такие процессы изменения функции X (t) называются стационарными случайными процессами. В этом случае величина поля рассеивания случайных погрешностей является постоянной. [c.27]

Условие стационарности, очевидно, означает, что физический процесс, численной характеристикой которого является функция u t), является установившимся, т. е. что все условия, вызывающие этот процесс, не меняются со временем. В применении к характеристикам турбулентности условие стационарности означает, что рассматриваемое турбулентное течение — установившееся в обычном гидродинамическом смысле все его осредненные характеристики (в частности, распределение средней скорости и средняя температура), так же как и все внешние условия (например, внешние силы, положение ограничивающих течение поверхностей), остаются неизменными во времени. Установившиеся течения сравнительно просто реализуются в лаборатории в случае же природных турбулентных течений обычно трудно гарантировать неизменность всех осредненных характеристик течения (например, в атмосфере среднее поле ветра обычно довольно неустойчиво и к тому же имеет явно выраженный суточный и годовой ход). Однако и здесь при рассмотрении мгновенных значений гидродинамических характеристик в течение сравнительно небольших промежутков времени (скажем, порядка нескольких минут или десятков минут) соответствующие случайные функции часто можно считать стационарными. Таким образом, и в этих случаях вероятностные средние значения характеристик течения часто можно находить при помощи временного осреднения для этого требуется, чтобы временные средние значения при Т- оо сходились к вероятностным средним и чтобы средние за такое время Г, в течение которого рассматриваемый процесс еще можно считать стационарным, были уже достаточно близкими к предельным значениям, отвечающим оо. [c.199]

Одна группа подобных ограничений позволяет выделить широкий класс стационарных процессов. Вероятностные характеристики таких процессов инвариантны к временным сдвигам, ж, следовательно, выборочные функции 1 ( ) t Т обладают свойством некоторой стационарности. Характер инвариантности может быть при этом различным, и поэтому для случайных процессов ( ) в принципе существуют различные понятия стационарности. Так, например, стационарным в узком смысле называется процесс ( ), для которого при произвольном п и произвольно выбранных моментах времени i = 1, 2,. . ., совместное распределение случайных величин i ( 1 + т), 1 ( 2 + т),. . ., I tn + т) не зависит от временного сдвига т, т. е. [c.14]

В рамках анализа таких явлений целесообразно использовать свойства одного обобщения стационарных случайных процессов и рассматривать задачу о выбросах энергии как задачу определения вероятностных характеристик процесса пересечения случайной функции заданного уровня. [c.204]

Стационарные случайные функции, для которых можно по одной реализации установить вероятностные характеристики, называют случайными функциями, обладающими эргодичес-ким свойством, или просто эргодическими стационарными случайными функциями. Эргодическое свойство заключается в том, что каждая отдельная реализация случайной функции дает [c.96]

S—число резервуаров F (i) — стационарная случайная функция времени с заданными вероятностными характеристиками т — масса бистемы без жидкости X ( ) определяем по формуле (1.56). [c.166]

Для стационарных случайных процессов вероятностные характеристики от времени не зависят, т. е. mx= onst Dx— onst, а корреляционная функция зависит только от разности моментов времени т —t=ti [c.145]

Характеристики процессов различных классов. Нормальный (гауссовский) стационарный случайный процесс полностью характеризуется лишь тремя вероятностными характернстикамн, не зависящими от времени средним значением т , дисперсией а- и корреляционной функцией второго порядка ( ) спектральной плотностью S (со), связанной с К2 (т ) преобразованием Фурье [c.97]

Стационар Ешв случайные процессы, для которых можно по одной реализации установить вероятностные характеристики, называют эрго-дическими стационарными случайными процессами. Для таких процессов среднее значение функции по времени (на достаточно большом интервале наблюдения) приближенно равно среднему значению по множеству наблюдений, т.е. [18] [c.396]

При анализе воздействия на ИПТ входных сигналов (основного и помехосоздающих) предполагалось, что закономерности изменения их от времени заранее определены, т.е. эти воздействия являются детерминированными. Более точно, все входные сигналы в реальных условиях нежестко заданные, и их следует считать случайными функциями времени. Типичный пример — изменение температуры и скорости движения потока газа или жидкости при турбулентном нестационарном режиме его течения. При турбулентном движении скорость и температура в выбранной точке потока неупорядоченно изменяют -я, пульсируют около некоторых средних значений. Эти пульсации наб да.ются и в случае, когда средние скорость и температура потока по стоянны во времени, г.е. течение является стационарным и изотермическим. Для турбулентного потока понятие его истинной температуры тер,чет свою ценность, и при ее количественном определении используют вероятностные характеристики, применяемые в теории случайных (стохастических) процессов. [c.73]

В [78] В. А. Кз ликовым рассматривается задача косвенных измерений точечных вероятностных характеристик (математического ожидания и среднего квадратического отклонения) изменяющихся величин, модель которых — случайный стационарный эргодический процесс, представляющий собой функцию других случайных стационарных эргодических процессов. Эта функция в общем виде подобна (4.2), но вместо величин (как в (4.2)), рассматриваются случайные процессы. В [78] рекомендованы методики расчета среднего квадратического отклонения и интервальной характеристики погрешностей измерений указанных измеряемых величин — математического ожидания и среднего квадратического отклонения изменяющихся величин, представляющих собой линейные или нелинейные функции других изменяющихся величин. [c.200]

Выражение (1.1) показьшает, что случайный процесс будет стационарным во времени и в пространстве, если выражения для функций распределения любого порядка не зависят от времени или координат начала отсчета. Если вероятностные характеристики случайного процесса этому условгао не удовлетворяют, т. е. их функции распределения зависят от времени и координат начала отсчета, то такой процесс следует считать нестационарным. Условия стационарности и нестационарности по времени и пространству могут удовлетворяться либо одновременно, либо порознь. Это означает, что могут существовать процессы стационарные во времени, но нестационарные по пространству или наоборот. [c.6]

Следует отметить, что приведенное определение эргодичности не является единственно возможным и общепринятым. Так, Э. И. Цветков [61] определяет стационарный процесс аналогично определению, данному вьш1е, а эргодическим называет такой процесс, вероятностные xapaIfтepи-стики которого не зависят от номера реализации. При таком определении возможно существование нестационарного, но эргодического процесса. Стационарность и эргодичность становятся двумя независимыми признаками случайного процесса. Желание распространить понятие эргодичности на нестационарные процессы обосновано ввиду необходимости построения замкнутой системы определений в теории измерений вероятностных характеристик случайных процессов. В частности этим определяется введение В. И. Тихоновым [52] усредненных по времени средних математических ожиданий и средних корреляционных функций для случайных нестацио- [c.9]

Из приведенного рассмотрения основных свойств корреляционных функций нестационарных случайных. цессов видно, что особенности локальных и ji Rhhx корреляционных функций не очень отличаются от соответствующих свойств корреляционных функций для стационарных процессов. Что же касается текущих корреляционных функций и их очевидных обобщений для неоднородных пространственных корреляционных функций, то они существенно отличаются от своих стационарных аналогов. Как замечает Э.И. Цветков [61], отмеченная особенность указывает на то, что текущие (временные и пространственные) вероятностные характеристики являются носителями информации о собственно нестационарных свойствах процесса, в то время как локальные отражают их свойства как процессов неэргодических. [c.28]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...