Уравнения прямого метода граничных элементов

Уравнения прямого метода граничных элементов [c.319]

Для нахождения вектора U используется прямой метод граничных элементов. Граничные интегральные уравнения (ГИУ) получим, используя метод взвешенных остатков [2], соотношение которого запишем в виде [c.109]

Легко видеть, что для справедливости написанных выше уравнений для любой системы произвольных перемещений тела как жесткого целого каждый коэффициент диагонального блока размером 2x2 должен быть равен взятой с обратным знаком сумме соответствующих коэффициентов из всех недиагональных блоков. Так как диагональные блоки размера 2x2 составлены из членов, включающих р и сингулярные интегралы, которые можно найти аналитически (хотя это и затруднительно), эта возможность определения компонент диагональных блоков при помощи значений недиагональных блоков является полезным свойством прямого метода граничных элементов. [c.119]

Различие между физическими и математическими формулировками техники граничных элементов можно пояснить, напомнив, что в любой краевой задаче некоторые граничные параметры заданы как условия на границе, тогда как прочие отыскиваются при решении задачи в целом. В физическом подходе, как подчеркнуто выше, вначале отыскиваются сингулярности, которые удовлетворяют заданным граничным условиям, и только затем через эти сингулярные решения вычисляются остальные граничные параметры. Поскольку неизвестные граничные параметры не определяются непосредственно, эта процедура носит название непрямого метода граничных элементов. В математическом подходе промежуточный этап исключается благодаря использованию некоторых фундаментальных интегральных теорем, что ведет к системе алгебраических уравнений, непосредственно связывающей неизвестные граничные параметры с параметрами, заданными на каждом элементе контура. Соответственно эта процедура называется прямым методом граничных элементов. [c.14]

К положительным элементам одномерного варианта МГЭ (простота логики формирования разрешающей системы уравнений, хорошая устойчивость численного процесса, непосредственное определение начальных параметров каждого обобщенного стержня из разрешающей системы и т.д.) добавляются существенно важные для расчета пластинчатых систем факторы. Ядра интегральных уравнений (функции Грина) в МГЭ не содержат сингулярных точек. По этой причине уравнение (6.20) снимает проблему вычисления многомерных сингулярных интегралов. Исключается и проблема построения численного решения в окрестностях угловых точек пластины, что весьма актуально в прямом методе граничных элементов [7]. Как будет показано ниже, этот момент позволяет существенно повысить точность решения задач устойчивости тонких пластин по предложенному алгоритму МГЭ. Использование обобщенных функций для описания нагрузки ц х, у) в (1.20) также приводит к неожиданным результатам. Реальной становится возможность вычисления касательных и нормальных напряжений в точках приложения сосредоточенных нагрузок. В этих точках, в частности, поперечная сила =0,25 (1/Ах) 00 при Ах 00 [3, с. 173]. Здесь можно отметить, что неопределенность в [c.198]

Большое внимание уделено численным методам решения линейных и нелинейных задач механики деформирования упругих, упругопластических и вязкоупругих тел, численным методам решения дифференциальных и интегральных уравнений, а также прямым вариационным методам. В учебнике изложены основные положения метода конечных элементов, что обеспечит лучшую подготовленность студентов к изучению курса строительной механики. Даются понятия о методе граничных элементов. [c.3]

Уравнения (6.2.6) можно преобразовать таким образом, чтобы 2N неизвестных граничных параметров остались в одной стороне равенств, а известные граничные параметры перешли в другую сторону. Если эти уравнения линейно независимы, они могут быть разрешены относительно неизвестных граничных параметров точно так же, как решались системы уравнений в обсуждавшихся ранее методах граничных элементов. Единственное отличие состоит в том, что (6.2.6) позволяет нам найти неизвестные граничные смеш,ения и напряжения прямо по заданным граничным условиям. [c.114]

Уравнения (6.2.6) составляют основу прямого метода граничных интегралов. Для любой краевой задачи половина из 4N параметров этих уравнений (т. е. ui, ul, Oj, Оп для г = 1,. .., N) задается как граничные условия, в то время как другая половина соответствует неизвестным. Коэффициенты влияния определяются в соответствии с геометрией задачи по формулам (6.4.5) и (6.4.6). Следовательно, уравнения (6.2.6) можно использовать для записи системы 2N алгебраических уравнений с 2N неизвестными точно так же, как это делалось в рассмотренных выше методах граничных элементов. Неизвестными в этой системе уравнений являются фактические граничные смещения или напряжения, которые не заданы как граничные условия. [c.120]

Численную процедуру решения задачи, изображенной на рис. 7.16, прямым методом граничных интегралов можно построить аналогичным путем (см. [38]). Составную задачу вновь представим как две отдельные краевые задачи, связанные условиями непрерывности (7.5.1) и (7.5.2). Если граничные элементы с номерами от 1 до Ni лежат на контуре С , а элементы с номерами от + 1 до Л 1 + Л 2 = — на Сг, то на основе (6.2.6) можно записать следующие граничные уравнения для двух подобластей и R -, [c.174]

Ответ на этот вопрос может оказаться неочевидным для читателя данной книги. Ее авторы сознательно фиксируют внимание преимущественно на конструктивной стороне метода, чтобы сразу приобщить читателя к практике разработки программ для вычислительных машин и сразу сделать его активным участником бурного процесса развития МГЭ. Столь прагматический подход составляет особенность и существенное достоинство книги — в ней математический и численный анализы проводятся предельно просто (стр. 8). По этой причине почти не обсуждается связь результатов с граничными интегральными уравнениями (ГИУ) и не всегда выписываются ГИУ, дискретные аналоги которых конструируются и рассматриваются. Естественность и неизбежность создания метода граничных элементов как прямого следствия большой и глубокой теории, связанной с ГИУ, остаются вне поля зрения. Поэтому уместно дать некоторые пояснения. [c.264]

В данной книге варианты метода граничных элементов разделены на три группы прямой, непрямой и разрывных смещений. В прямом варианте, называемом в книге прямым методом граничных уравнений (гл. 6), на границе непосредственно связываются механические величины — усилия и смещения. Часть этих величин (например, усилия) задана, а значения энергетически сопряженных переменных (в частности, смещений) определяются на элементах границы при решении системы линейных алгебраических уравнений, отвечающей приближенно граничному интегральному уравнению. Последнее, как упоминалось, не всегда или не сразу [c.272]

Различия в вариантах МГЭ проявляются прежде всего в приемах вывода соответствующих граничных интегральных уравнений и отчасти в способах обработки результатов их решения. Техника же разбиения границ, аппроксимаций, подсчета коэффициентов, решения уравнений, коль скоро они получены, расчетов для внутренних точек остается одной и той же. Поэтому структура и многие элементы программ, реализующих любой вариант, одинаковы и развитие вычислительной стороны осуществляется для метода граничных элементов в целом. Это отчетливо показано в данной книге, и авторы настойчиво добиваются, чтобы читатель ощутил единый модульный характер вычислительных программ и значительную общность модулей. Сравнивая достоинства вариантов, можно все же отметить, что прямой метод, включая и вариант разрывных смещений в прямой его трактовке, очень привлекателен для механиков и инженеров своей главной чертой — тем, что в нем неизвестные функции являются физически осязаемыми величинами. Это немаловажное достоинство становится особенно ценным в случаях, когда достаточно знать лишь значения усилий и смещений на границе, когда необходимо учесть дополнительные соотношения в угловых и других особых точках, а также в контактных задачах, подобных рассмотренным в 8.2, 8.4, при произвольных условиях, связывающих усилия с взаимными смещениями в соприкасающихся точках границ. С другой стороны, в непрямых вариантах несколько сокращаются вычисления на заключительном этапе — при нахождении напряжений, деформаций и смещений во внутренних точках области по найденному решению ГИУ. [c.274]

В шестой главе разработаны методы численного решения динамических контактных задач с односторонними ограничениями для упругих тел с трещинами. Построены конечномерные аппроксимации основных уравнений и конечномерные пространства метода граничных элементов для функций в пространствах преобразований Лапласа и коэффициентов Фурье. Рассмотрены вопросы ]аппроксимации компонент напряженно-деформированного состояния по времени. Исследованы вопросы, связанные с вычислением коэффициентов Фурье, прямого н обратного преобразований Лапласа. [c.7]

ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ПРЯМОГО И ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛАПЛАСА [c.136]

В дискретных приближенных методах неизвестные функции с самого начала заменяются их значениями в отдельных точках. При этом различными способами получают прямые приближенные решения основных уравнений, и в процессе вычислений постоянно оперируют численными значениями основных переменных. Иногда в качестве недостатка этих методов указывают на то, что нет аналитического выражения ( формул ) зависимости переменных друг от друга, а получаются только численные значения искомых функций в определенных точках (поэтому эти методы называются также сеточными). При применении теории упругости к практическим задачам это обстоятельство часто не является помехой, так как обычно и без того граничные значения, напрнмер, нагрузки, действующей на элементы конструкций, известны по измерениям в конечном числе точек. [c.128]

Подматрицы Ян отражают свойства отдельных подсхем, Ян, Ян — связи между подсхемами, Яи — изменение граничных переменных. Здесь 1=1, 2,...,/—1 (I—1)—число подсхем. Можно показать, что применение метода Гаусса для решения систем ЛАУ с матрицей коэффициентов блочно-диагонального вида с окаймлением приводит к выполнению арифметических операций только с ненулевыми подматрицами, поэтому метод подсхем можно рассматривать как разновидность методов разреженных матриц. Существенное отличие метода подсхем — возможность организации автономных вычислений для каждой отдельной подсхемы в процессе выполнения прямого и обратного хода в методе Гаусса, что позволяет хранить в оперативной памяти только подматрицы Яге, Ян, Ян и Яи, а не всю матрицу Якоби. Алгоритмы формирования ММС зависят от выбранного координатного базиса V и конструируются на основании простых логических правил, разработанных для схем, содержащих многополюсные элементы (фактически происходит переход от подсхемы к многополюснику). Основной особенностью этих алгоритмов является автономное формирование уравнений моделей подсхем. [c.148]

К положрггельным элементам одномерного варианта МГЭ (простота логики формирования разрешаюш,ей системы уравнений, хорошая устойчивость численного процесса, непосредственное определение начальных параметров каждого обобш,енного стержня из разрешаюш,ей системы и т.д.) добавляются факторы, существенно важные для расчета пластинчатых систем. Ядра интегральных уравнений (функции Грина) в МГЭ не содержат сингулярных точек. По этой причрше уравнение (7.20) снимает проблему вычисления многомерных сингулярных интегралов. Исключается и проблема построения численного решения в окрестностях угловых точек пластины, что весьма актуально в прямом методе граничных элементов [29]. Как будет показано ниже, этот момент позволяет существенно повысить точность [c.407]

Введенные выше потенциалы простого слоя, двойного слоя и их производные, как показано в 1, удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости внутри тела при отсутствии объемных сил. Частное решение, соответствующее действию объемных сил, выражается объемным потенциалом с плотностью, равной объемной силе. В связи с этим решение тон или иной краевой задачи теории упругости можно попытаться искать в виде суммы одного или нескольких граничных потенциалов и объемного потенциала. Плотности граничных потенциалов должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничные условия. Для нахождения этих неизвестных строятся интегральные уравнения на границе тела —граничные интегральные уравнения (ГИУ). Если при заданных краевых условиях доказано существование решения построенного интегрального уравнения, то тем самым обоснована использованная формула представления решения. Вопрос обоснования формулы представления решения не возникает, если в качестве ее используется формула Сомильяны, справедливая дл любого регулярного, т. е. принадлежащего классу ( (Q) n (Q)) , поля перемещений, а также для более общих классов перемещений, для которых имеет место формула Бетти. Поскольку плотности потенциалов простого и двойного слоя, входящих в формулу Сомильяны, имеют прямой физический смысл, то соответствующую формулировку метода граничных элементов (МГЭ) называют прямой формулировкой МГЭ. В противоположность этому формулировку МГЭ, использующую другие формулы представления, называют непрямой формулировкой МГЭ. [c.62]

Суть метода механических квадратур заключается в следующем. Представим некоторую двумерную область V в виде М плоских сегментов, а границу S разобъем на N отрезков. Для вектора смещения заранее выбранной характерной точки границы Р можно записать интегральное уравнение (П1.9). Элементы, на которые дискретизируется граница, будем называть граничными элементами (ГЭ). Геометрия элемента в общем случае произвольна, но, как правило, используются ГЭ в виде отрезков прямых, дуг окружностей либо отрезки квадратичных функций. Сегменты, на которые разделена область V, называют ячейками. Обычно ячейки выбирают в виде треугольных или четырехугольных конечных элементов. [c.56]

В последнее время, в связи с бурным развитием вычислительной техники многие исследователи отдают предпочтение численным методам, поскольку они обладают определенной универсальностью и легко поддаются алгоритмизации и реализации на различных языках программирования. Однако при исследовании дигнамики контактного взаимодействия структурно-неоднородных, в том числе многослойных сред, непосредственное использование прямых численных методов (вариационно-разно стный, коллокаций, граничных элементов и т.д.) в значительной мере осложнено осцилляцией ядра интегрального оператора. Это обусловливает необходимость разработки специальных, приспособленных для решения интегральных уравнений с осциллирующими ядрами методов. [c.4]

Речь идет также о методе дискретизации, который появился в последнее время наряду с методом конечных элементов и успешно применяется для решения задач теории упругости. Суть метода состоит в том, что основные уравнения теории упругости, которые описывают поведение неизвестных функций внутри и на границе рассматриваемой области, сводятся к интегральному уравнению. Неизвестные граничные значения связаны с известными значениями на контуре области через граничное интегральное уравнение. Впервые этот подход был применен к решению задачи кручения с помощью так называемых прямых методов теории потенциала (см. [46]) °). Развитием этой работы явился метод интегральных уравнений Риццо [47] для плоских задач теории упругости, который позднее был распространен Крузом [48] на пространственные задачи. [c.141]

Метод граничных интегральных уравнений и граничных элементов с успехом применяется также в задачах механики тел с трещинами [8, 9, 83, 84, 168—171, 213, 214, 235, 267, 384, 439, 450, 459, 472, 479, 483, 484, 496, 521, 528, 529, 537 и др.]. Если использовать прямую формулировку метода граничных интегральных уравнений и в качестве плотности потенциала взять вектор разрыва перемещений на поверхности трещины, то приходим к интегральным уравнениям, ядра которых имеют сильную неинтегрируемую особенность [131, 439 и др.]. При рассмотрении интегралов с такими ядрами используют несколькв-подходов. Если предположить, что плотность потенциала днфферен [c.105]

Многие важные диффузионные проблемы могут приближенно трактоваться с помощью уравнения (V). Упрощения предполагают, что коэффициент ди узии D не зависит от концентрации. Поэтому результаты расчетов можно рассматривать лишь как основу для интерпретации явлений диффузии. Ниже будут подробнее рассмотрены температурная и концентрационная зависимости D. В табл. 55 приведено несколько граничных условий, которые интересны для предсказания концентрации диффундирующего вещества, растворенного в основном металле. Во всех случаях предположено, что коэффициент диффузии D не зависит от концентрации. Случай а относится к примеси концентрации Со в газовой фазе на поверхности основного металла бесконечной толщины. Это одна из наиболее просто решаемых проблем. Случай б несколько более реален в Том смысле, что учтено влияние ограниченной глубины основного металла. Случаи а и б дают одинаковые результаты, если диффузия происходит в течение достаточно короткого времени, т. е, если время диффузии гораздо меньше, чем L ID. В случае в рассмотрена диффузия через покрытие в бесконечно протяженную основу, тогда как в случае г учтена ограниченная протяженность основы. В этих двух случаях (последний из них рассмотрен в приложении) коэффициент К введен для учета того, что концентрация растворенного элемента может быть неодинакова с обеих сторон поверхности раздела покрытие— основа. Случай д трактует диффузию материала покрытия в основной металл. Отметим, что концентрация на поверхности обратно пропорциональна квадратному корню из времени. Наконец, в случае е рассмотрена обратная диффузия в вакуум. Вследствие того, что функцию ошибок erf и), дополнительную функцию ошибок erf и) и экспоненциальные функции можно найти в табулированной форме, расчет диффузии растворенного элемента с постоянным коэффициентом диффузии сравнительно прямой. В приложении рассмотрена типичная по сложности задача. Математическим основанием является метод преобразования Лапласа в его общепринятой форме. Ввиду того, что передача тепла аналогична диффузии вещества, работа Карслоу и Джегера [42] очень ценна, когда встречаются необычные граничные условия, [c.323]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...