Сферические координаты . Ш.9. Тела вращения

Чтобы убедиться в этом, заметим прежде всего, что при предположении г = 0, т. е. когда исключается вращение вокруг гироскопической оси, положение гироскопа в пространстве будет вполне определено направлением в любой момент гироскопической оси или, другими словами, значениями, выраженными в функциях от времени, сферических координат 0 и х (широты и долготы) вершины (п. 27) и, кроме того, начальным положением тела относительно подвижных осей. [c.114]

В настоящее время основные результаты по установившейся дифракции волн на конечных телах вращения получены, в основном, в сферической системе координат. В сферических координатах переменные разделяются для скалярного и векторного волновых уравнений, и полные на сферических поверхностях ортогональные системы волновых функций не зависят от волнового числа. Это дает возможность получить точное решение [c.64]

Рассмотрим безграничную упругую среду, содержащую неоднородность (полость, включение) в виде тела вращения, ограниченного поверхностью 5 (рис. 3.3). Поверхность S получена в результате вращения вокруг оси Oz плоскости с отверстием, для которой известна отображающая функция. Введем три безразмерные, отнесенные к Го, системы координат с центром в точке О прямоугольную (хь Xz), сферическую (г, 0, ф) и ортогональную криволинейную (р, у, %), причем а поверхность р = 1 совпадает с поверхностью 5. В плоскости х Ог отображающая функция имеет вид [c.65]

Рассмотрим процедуру решения краевых задач, предполагая, что правые части граничных условий разложены также в ряды по е. Из (3.58) следует, что уравнения в каждом из приближений совпадают с уравнениями в сферической системе координат. Учитывая, что вторые слагаемые правых частей (3.56), (3.57) определены из предыдущих приближений, получаем, что в каждом приближении необходимо удовлетворять граничным условиям как бы в сферической системе координат, когда правые части граничных условий будут изменены, поскольку, например, (р, 7, и) получено из (г,0, ф) формальной заменой г, 0, ф на р, у, к. Таким образом, задача дифракции на конечных телах вращения сведена к последовательности задач дифракции на сферических телах с изменяющимися граничными условиями в каждом из приближений при одинаковых однородных уравнениях во всех приближениях. При этом выражения для операторов полностью совпадают с выражениями [c.68]

Напряженное состояние таких тел вращения, как цилиндр или сфера, удобно изучать в цилиндрических или сферических координатах (см. рис. 5 и 7). [c.153]

Основные уравнения статической и квазистатической задач термоупругости рассматривались выше в декартовых координатах. Одиа-ко эти задачи для тел вращения, ограниченных цилиндрическими и сферическими поверхностями, удобно рассматривать в цилиндрических и сферических координатах. Рассмотрим основные уравнения задач термоупругости в этих координатах. Все формулы приведем в развернутом виде, не применяя индексного обозначения и правила суммирования по повторяющимся индексам. [c.49]

В телах вращения осесимметричному температурному полю соответствует осесимметричное напряженное состояние, которое в цилиндре или сфере удобно изучать в цилиндрических или сферических координатах (см. рис. 4 и 6). [c.218]

Допустим сначала, что возмущающего тела нет совсем. Обозначим потенциал силы тяжести (в которую включена и центробежная сила вращения Земли) через (г, ср, ф). Здесь через л, ср и ф обозначены сферические координаты точки, а именно, через г — расстояние до центра Земли, через ср — широта точки, через ф — западная долгота. [c.526]

Задача о кручении тела вращения не рассматривается в этой книге. Мы обратимся ко второй задаче и рассмотрим её в применении к симметрично нагружённой сфере, а в главе 7 — к случаю симметрично нагружённого цилиндра. Естественно ввести в плоскости меридиана полярные координаты R, i тогда R, i>, ср будут сферическими координатами точки. Отсчитывая угол О от оси z — от полюса сферы, имеем [c.327]

Для более детального выяснения характера движения тела в случае Лагранжа рассмотрим траекторию точки пересечения оси собственного вращения г с поверхностью сферы единичного радиуса, центр которой в неподвижной точке. Обозначим точку пересечения оси г с поверхностью сферы через Р, ее сферические координаты будут углы 0 и гр (напомним, что угол 0 мы здесь отсчитываем от положительного направления оси уз). Запишем уравнение (6.115) в виде [c.408]

Последние три из уравнений (1) определяют движение тела относительно системы координат 0 т]С (относительное движение тела), т. е. движение тела вокруг полюса О, который занимает в этой подвижной системе координат неизменное положение. Это относительное сферическое движение таково, что в каждый данный момент существует проходящая через полюс О мгновенная ось вращения ОР, вокруг которой тело вращается с некоторой мгновенной угловой скоростью и) и с мгновенным угловым ускорением е. Если последние три из уравнений (1) заданы, то модуль и направление вектора ш, а также и вектора е могут быть определены по формулам, выведенным в 75. [c.396]

Циклические координаты, описывающие перемещения или вращения, играют, важную роль при исследовании свойств системы. Поэтому они заслуживают того, чтобы на них остановиться несколько подробнее. Если координата, описывающая перемещение системы, является циклической, то это означает, что перемещение системы как твердого тела не отражается на ее динамических характеристиках. Вследствие этого, если система инвариантна относительно перемещения вдоль данного направления, то соответствующее количество движения сохраняется постоянным. Аналогично, если циклической координатой будет координата, описывающая поворот (и поэтому будет оставаться постоянным кинетический момент системы), то система будет инвариантна относительно вращения вокруг данной оси. Таким образом, теоремы о сохранении количества движения и кинетического момента тесно связаны со свойствами симметрии системы. Если, например, система обладает сферической симметрией, то мы можем сразу утверждать, что все составляющие ее кинетического момента будут оставаться постоянными. Если же система симметрична только относительно оси г, то неизменным будет оставаться только кинетический момент L , и аналогично для других осей. С зависимостью между постоянными, характеризующими движение, и свойствами симметрии мы еще несколько раз встретимся. [c.66]

Когда источником возмущения является колебание твердого тела параллельно его оси вращения, то различные сферические функции сводятся к простым кратным зональной функции Р ([а), которую можно определить как коэффициент при е в разложении (1—по восходящим степеням е. (Вид этих функций приведен в 334.) Когда же твердое тело симметрично не только относительно оси, но также симметрично и относительно экваториальной плоскости (пересечение которой с осью принято за начало координат), то разложение получающегося возмущения по сферическим функциям будет содержать только члены нечетного порядка. Так, например, если колеблющимся телом является круглый диск, совершающий колебания перпендикулярно к его плоскости, то разложение будет содержать члены, пропорциональные ([х), Р-з(Н ), и т. д. В случае сферы, как мы видели, ряд сводится полностью к первому члену, и этот член вообще будет преобладающим, [c.241]

Осесимметричное состояние будем рассматривать в цилиндрической и сферической системах координат. В цилиндрической системе координат ось z направим вдоль оси вращения тела. По определению компоненты напряжений, деформаций и перемещений не зависят от угла 0 и зависят лишь от г, г, причем [c.49]

Постоянство момента количества движения относительно нормали к неизменной плоскости предполагает определенные оговорки. Солнце и планеты являются не материальными точками, а сферическими (или почти сферическими) телами, каждое из которых вращается вокруг некоторой оси, и это вращение должно изменять момент количества движения системы. Если бы эти тела являлись твердыми сферами, плотность каждой из которых была бы функцией лишь расстояния от центра сферы, то момент количества движения системы оставался бы постоянным и неизменную плоскость можно было бы определить и она была бы действительно неизменной. Эти условия не выполняются строго для большинства планет и выполняются только приближенно для Солнца. Кроме того, даже вращательный момент количества движения некоторых планет (например. Земли) подвергается прогрессивным изменениям вследствие прецессии и приливного трения. Например, вследствие прецессии ось Земли изменяет свое положение относительно основной плоскости, и, следовательно, составляющие ее момента количества движения относительно осей координат непрерывно изменяются. Что же касается приливного трения, то оно постепенно замедляет вращение Земли, хотя и с очень незначительной скоростью. [c.75]

Рассмотрим бесконечное пространство, которое имеет неоднородность в виде тела вращения, ограниченного поверхностью Г (см. рис. 3.5). Поверхность получена в результате вращения вокруг оси Охз плоскости с отверстием, для которого известна конформно-отображающая функция. Введем три системы координат с центром в точке О прямоугольную (. ь Х2, х ), сферическую (р, 6, ф) и криволинейную ортогональную (р, у, к), где х=ф. Все координаты будем считать безразмерными, отнесенными к Го. В плоскости XsOri отображающую функцию представим в форме [c.120]

Для удовлетворения граничным условиям на поверхности тела вращения, отличной от сферической, необходимо вычислить в системе координат (р, Y. х) компоненты Стр и через юлноюй потенциал. Следуя [31, 37,44], поступим следующим образом представим все искомые величины в виде рядов по параметру е [c.121]

Схема напряженного состояния. Поковки, получаемые в ре зультате выдавливания — обратного и прямого, радиального и редуцирования, в большинстве представляют собой тела вращения с осевой симметрией. Заготовки, предназначенные для получения этих поковок, также обладают осевой симметрией. Приложение внешней нагрузки и течение металла при этих операциях также сохраняют осевую симметрию. Следовательно, схема напряженного состояния в произвольной точке заготовки на стадии свободного истечения является осесимметричной, рассматриваемой в цилиндрической или сферической системе координат. При этом касательные напряжения в меридиональных площадках в условиях осесимметричного напряженного состояния равны нулю, т. е. Гp0=t20—toг="0 а все остальные напряжения не должны зависеть от координаты 0, т. е. Зр=Ср(р, г) 0 = (рэ-2 ) а =а (р, z) и Грг Грг(ру г). Для вьшол 1ення условий осесимметричного течения необходимо, чтобы скорость течения г7е=0, а скорости течения г7р и были функциями координат Р, г, т. е. Ур=г7р(р, 2) и г7г = г г(р, г). [c.15]

Итак, любое движение свободного твердого тела можно сосгавить из поступательного движения вместе с подвижной системой координат и сферического движения относительно этой системы координат. Для относительного сферического движения можно ввести угловую скорость о) и угловое ускорение Ё, которое является первой производной по времени от (7), как в случае вращения тела вокруг неподвижной точки. [c.320]

Пусть тело Р вращается в системе координат Охгуггг вокруг оси 22 с угловой скоростью 6)2, а система координат ОхаГ/агг вращается вокруг оси 21 неподвижной системы с угловой скоростью 6)1 (рис. 14.2). Точка О остается неподвижной, поэтому результирующее движение тела будет сферическим. Обозначим через й угловую скорость этого движения. Наша задача состоит в том, чтобы найти угловую скорость абсолютного движения тела, зная угловые скорости (О1 и Ша составляющих вращений. [c.251]

Если в твердом теле только одна точка неподвижна и тело произвольно вращается около этой точки, то такое движение называется сферическим. Оно состоит из вращения вокруг произвольных осей вращения, которые, однако, всегда проходят через неподвижную точку О. Представим себе в точке О, как в начальной точке координат, систему координат X, у, 2 и выразим вектор угловой скорости ш через его прямоугольные составляющие ш,, (03 мы увидим таким образом, что имеются ОО различных сферических движений. Вращению твердого тела вокруг неподвижной точки соответствуют таким образом три степени свободы. Ось меняет свое положение по отношению к твердому телу и по отношению к неподвижному пространству. Если представить себе, что следующие одно за другим положения осей вращения зафиксированы в коордт натнач системах одна из которых связана с твердым телом, а другая — с пространством, то получим два полюсных конуса с общей вершиной, причем конус, связанный с телом, будет катиться по полюсному конусу, находящемуся, по отношению к пространству, в неподвижности. Общая образующая обоих конусов в какой-нибудь момент времени называется мгновенной осью вращения. [c.286]

Итак, рассмотрихм тело Т (одномерное, двумерное или трехмерное), обладающее указанной геометрической и механической симметрией относительно некоторой оси, которую примем за ось аппликат системы координат Охуг. За начало координат примем произвольную точку, лежащую на этой оси, и будем сначала пользоваться сферическими полярными координатами г, 0, X, к которым присоединим еще расстояние точки до оси вращения р, причем очевидно, что p = rsin0 (рис. 30). [c.231]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...