Применение уравнения Шредингера

ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА [c.99]

Если выражающий экспоненту ряд сходится, то (21.1) дает решение уравнения Шредингера, которое полезно для многих применений. Заметим, что в тех случаях, когда ряд не сходится, формула (24.1) может быть тем не менее использована для выработки приемов, с помощью которых может быть найдено приближенное решение. [c.153]

Квантовые уравнения Фу) = О, полученные применением принципа II к Ф-уравнениям первого класса, являются волновыми уравнениями Шредингера. [c.720]

I. Первый метод замены координат состоит в следующем а) вывод классического гамильтониана в декартовых координатах, б) применение постулатов квантовой механики для получения квантовомеханического гамильтониана и в) замена координат в получающемся уравнении Шредингера. [c.132]

При выводе формулы (16) для 6ц мы предполагали, что относительное движение несвязанных атомов подчиняется классическим закономерностям. Однако может оказаться, что и здесь квантовыми эффектами пренебречь нельзя. Для получения точного результата применительно к Ьц необходимо произвести суммирование по квантовомеханическим фазам рассеяния (соответствующие формулы выведены, например, в работах [3] и [9]). Однако непосредственное применение этого метода связано со значительными трудностями, не говоря уже о том, что величины самих фаз рассеяния, как правило, неизвестны, а их отыскание из уравнения Шредингера само по себе представляет чрезвычайно сложную вычислительную [c.388]

Как обычно в квантовой механике, мы ограничимся определением функции Ф(ф, 6), т. е. исследуем ситуацию, когда и источник и точка наблюдения находятся в бесконечности. Тот же аппарат может быть применен и для нахождения функции Грина уравнения Шредингера. [c.68]

Существенным преимуществом представления (5) является возможность применения мощных методов теории КП для отыскания приближенных решений уравнения Шредингера. [c.382]

Поскольку точное решение КВ-уравнения Шредингера для многоатомной молекулы получить не удается, то приходится применять приближенные методы, рассмотренные в п. 2.1. Их применение дает возможность анализировать отдельные частотные диапазоны в КВ-спектре молекул при помощи эффективных операторов. Характерной особенностью такого оператора является то, что множество его собственных значений совпадает с каким-либо подмножеством собственных значений КВ-гамильтониана, а процедура решения уравнения Шредингера с эффективным оператором проще, чем с исходным КВ-гамильтонианом. [c.41]

Опущен еще один раздел теории, частично связанный с первым. Это многочисленные применения теории к интерпретации известных экспериментальных данных и анализ экспериментальных данных в рамках понятий, рассмотренных в данной книге. Эта книга предназначена не для того, чтобы изучать по ней, скажем, протон-протонное рассеяние или рассеяние электронов на ядрах, а для того, чтобы из нее можно было почерпнуть методы, идеи и принципы, при помощи которых можно анализировать подобные экспериментальные данные. Поэтому реальные физические объекты в книге часто заменяются более простыми, однако я надеюсь, что такие упрощения сделаны в разумных пределах. Само использование уравнения Шредингера для описания поведения частиц уже в известной мере является упрощением. Во всяком случае, такой подход, по-видимому, является наилучшим при изучении теоретической физики. [c.10]

Произведем такое разложение волновых функций по OPW и подставим его в уравнение Шредингера. Мы снова увидим, что связаны между собой только OPW, у которых волновые векторы отличаются на вектор обратной решетки. Соответствующие матричные элементы можно найти, если известен потенциал и волновые функции внутренних оболочек. И снова мы получаем систему уравнений, но на этот раз матричные элементы, связывающие и убывают с ростом к — к значительно быстрее, и можно ограничиться гораздо меньшим числом уравнений. Как будет видно в дальнейшем, для многих применений достаточно только двух или трех OPW для полного расчета зонной структуры необходимо 25—30, а для очень точных расчетов — иногда 50 или 60 OPW. Использование OPW позволяет значительно сократить объем вычислений, необходимых для расчета энергетических зон. Подробнее о методе OPW мы будем говорить несколько позже при обсуждении псевдопотенциалов. [c.100]

Второй способ — применение модельных функций теории рассеяния в качестве пробных функций для разложения по ним искомой волновой функции это разложение надо подставить в уравнение Шредингера для Ч , что автоматически приведет нас к псевдопотенциалу. [c.68]

Таким образом, решения уравнения Шредингера находятся в однозначном соответствии с потенциальными течениями идеальной обобщенно баротропной жидкости с функцией давления (7). Эта аналогия физикам хорошо известна. Ее обсуждение и применение к динамике сверхпроводимости содержится, например, в известном курсе лекций Р. Фейнмана (т. 3, гл. 19). В связи со сказанным возникает интересный вопрос имеют ли физический смысл вихревые течения этой воображаемой квантовой жидкости [c.226]

В результате мы получили эффективное уравнение Шредингера (11.33), которому удовлетворяет плавная составляющая ф блоховской функции. Опыт применения метода ОПВ подсказывает, что функцию можно приближенно представить в виде линейной комбинации малого числа плоских волн. Естественно предположить поэтому, что для нахождения уровней валентных электронов для гамильтониана Я + применима теория почти свободных электронов, изложенная в гл. 9. В этом заключается исходный пункт исследований и расчетов по методу псевдопотенциала. [c.212]

Альфа-распад можно рассматривать как первое физическое проявление сильного взаимодействия. Теория этого типа радиоактивности была первой попыткой количественного описания на основе уравнения Шредингера с потенциалом в виде прямоугольной потенциальной ямы, примененного для объяснения эффекта туннелирования частицы через ее потенциальный барьер. [c.228]

Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), по-видимому, является одним из важнейших уравнений оптического типа по имеющимся приложениям в теории волн в плазме, а также и в других областях физики. Особенно интересно применение уравнений типа НУШ в теории элементарных частиц. [c.52]

Следует заметить, что выражения (10.56) и (10.58) являются просто результатом применения преобразования Галилея к уравнению Шредингера. В нашем приближении мы рассматриваем сверхпроводник с током как сверхпроводник в основном состоянии в движущейся системе координат. [c.332]

Заключение. Уравнение (1.13) для колебаний межфазной границы решено методом теории возмущений по малому параметру 1к) в диапазоне значений, в котором можно исследовать соответствие с результатами классической теории капиллярно-гравитационных волн. Однако область применения этого уравнения значительно шире, например оно справедливо и когда толщина межфазной зоны того же порядка, что и длина волны X. В этом случае имеет смысл использовать методы, разработанные для уравнения Шредингера в квантовой механике при фиксированном значении V искать значение к и функцию V, как решение задачи на собственные значения для соответствующего дифференциального оператора. [c.150]

В разд. В2.12 было показано [ср. уравнение (В2.12-9)], что применение произвольного унитарного преобразования к полным операторам и векторам оставляет неизменными соотношения между величинами, имеющими физический смысл. При рассмотрении временного унитарного преобразования тиПа уравнения (82.14-2) эта инвариантность открывает возможность различных интерпретаций ( представлений ) зависимости векторов и операторов от времени, т. е. геометрических и кинематических процессов в Н. В настоящем разделе мы будем пользоваться применявшимся до сих пор представлением Шредингера (оно не характеризуется определенным обозначением) и представлением Гейзенберга (обозначение Н), позднее в разд. В2.21 будет рассмотрено представление Дирака, называемое также представлением взаимодействия. [c.81]

Решением этого дифференциального уравнения и является волновая функция Ч (л , у, г), квадрат модуля которой Ч 2 определяет вероятность обнаружить частицу в точке (х, у, г). При этом если потребовать, чтобы решение ймело физический смысл (было бы однозначно, непрерывно и имело непрерывные первые производные), то при применении уравнения Шредингера к атому водорода автоматически получаются постулаты Бора [c.17]

Прежде всего необходимо указать, что дифференциальные принципы обладают одним общим недостатком. Формулировка этих принципов всегда требует введения особых координат для исследуемой системы. Необходимость введения таких координат придает решению каждой проблемы специфически механический вид. Но дело не только в этом. Физика должна формулировать законы природы так, чтобы они не зависели от произвольного выбора исследователем системы координат. Физический закон, сформулированный нами, должен быть инвариантным относительно той или иной группы преобразований координат. Эти преобразования должны быть выражением каких-то фундаментальных свойств материального мира. Инвариантность является необходимым, хотя и недостаточным условием истинности формулированных нами физических законов. То, что те или иные законы инвариантны лишь по отношению к тем или иным преобразованиям, введенным как логическое обобщение опытных данных (преобразование Галилея — равномерного движения и сложения скоростей, преобразование Лоренца — опыта Майкельсона и т. п.), указывает на определенные границы, на сферу применения этих законов. Так, уравнение Шредингера, которое не инвариантно по отношению к лоренцовым преобразованиям, являясь аналогом уравнений классической механики, ограничено соответствующим образом в объеме охватываемых им явлений. Интегральный же принцип Гамильтона имеет то огромное преимущество, что он может быть сформулирован так, что окажется инвариантным по отношению к любым преобразованиям координатных систем. [c.870]

Рассмотрим ансамбль систем, находящихся в определенном начальном состоянии с собственной функцией Yq. Если мы не будем производить никаких промежуточных измерений, а определим состояние систем ансамбля через длительное время t, то очевидно, что все системы ансамбля окажутся в одном и том же состоянии которое может дать при определении невозмущенного состояния системы некоторое распределение систем ансамбля по собственным состояниям невозмущенной энергии. Очевидно, что это распределение не будет иметь ничего общего с тем распределением, которое получилось бы, если бы производились промежуточные измерения. При наличии промежуточных измерений изменение вероятностей подсчитывалось бы не квантовомеханически, а указанным выше чисто вероятностным образом, и распределение вероятностей при достаточно больших временах, как отмечалось в 2, неизбежно стало бы равномерным. При отсутствии же промежуточных измерений распределение при сколь угодно больших временах возвращалось бы со сколь угодно большой точностью к начальному распределению, так как Т-функция со сколь угодно большой точностью возвращалась бы к начальной Т -функции (см. статью Об описании немаксимально полных опытов , стр. 167). Применение теории возмущений дает здесь, таким образом, принципиально иной результат, чем привлечение точного уравнения Шредингера, так как теория возмущений связывается в этом случае с дополнительным, иногда не указываемым явно, но крайне важным предположением о наличии промежуточных измерений. Все эти обстоятельства достаточно известны, и мы останавливаемся на них лишь ввиду их особой важности для разбираемого нами вопроса. [c.149]

Менее традиционные применения связаны с вычислением коротковолнового приближения для собственных значений и собственных функций операторов Шредингера, Лапласа и Бельтрами — Лапласа [91]. Дальше для определенности будем говорить об операторе Шредингера. Формулы коротковолнового приближения позволяют по решениям уравнений движения классической механической системы строить приближенные решения уравнения Шредингера, описывающего поведение соответствующей квантовой системы. В частности, если классическая система имеет в фазовом пространстве инвариантный тор, удовлетворяющий арифметическим условиям квантования, то формулы коротковолнового приближения позволяют построить по этому тору асимптотику собственного значения оператора Шрёдингера и соответствующей почти-собственной функции . В близкой к интегрируемой системе есть много инвариантных торов, причем они образуют гладкое семейство (п. 2.2). Соответственно, вообще говоря, есть много торов, удовлетворяющих условиям квантования. Это позволяет приблизить большую часть спектра соответствующего оператора Шрёдингера. [c.213]

Ниже будет рассмотрено два примера применения обобщенной схемы КМОЗ к задаче об одномерной системе электронов с локальным взаимодействием (модель Хаббарда) и к задаче об электронном газе, взаимодействующим с примесным магнитным моментом (проблема Кондо). Мы увидим, что в первом случае решение уравнения Шредингера для двух частиц сразу определяет двухчастичную матрицу рассеяния, автоматически удовлетворяющую локальным уравнениям Янга — Бакстера. Схема КМОЗ в этой задаче необходима, главным образом, для учета периодических граничных условий (диагонализация -матрицы). Во второй задаче — о проблеме Кондо — из решения уравнения Шредингера для двух частиц (электрон и примесный спин) находится -матрица. Ее зависимость от спектрального параметра определяется из обобщенных на два сорта частиц (электрон и примесь) уравнений Янга — Бакстера. [c.229]

Таким образом, приближенное решение уравнения (7.3.1) с точкой возврата х = ц задается тремя отдельными разложениями разложением (7.3.9)—в окрестности точки возврата, разложением (7.3.23)—при л > и разложением (7.3.27)—при дг < ц . Сращивание дает связь между постоянными Сц и а , Ь - Впервые эта связь была получена Рэлеем [1912] в исследовании по полному отражению звуковых волн от переходного слоя явное представление он дал только для экспоненциально затухающего решения. Ганс [1915] дал формулы связи для обоих решений Джеффрис [1924] вновь открыл их в применении к функции Матьё. Эта связь была еще раз открыта почти в одно и то же время Вентцелем [1926], Крамерсом [1926] и Бриллюэном [1926] при исследовании уравнения Шредингера. Поэтому в физической литературе название этого метода обычно образуется из букв /С и В позднее к ним стали добавлять букву J в ознаменование вклада, который внес Джеффрис. [c.362]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...