Интегралы, получаемые из общих теорем

ЧТО момент количеств движения твердого тела о есть вектор неподвижный в неподвижном пространстве. Отсюда следует, что его длина = V- постоянна. Из общей теоремы мы получили больше, чем второй первый интеграл, а именно, что <т имеет не только постоянную длину, но что ои имеет неизменным свое направление в неподвижном пространстве. [c.186]

Получим теперь интеграл энергии. Это можно сделать непосредственно из уравнений движения либо с помощью общей теоремы ( 6.7). Его можно представить в форме [c.130]

Рассмотрим, например, орбиту, которую описывает планета вокруг Солнца. Дифференциальные уравнения второго порядка, которые приходится интегрировать, можно свести к форме уравнений первого порядка, вводя в качестве новых переменных первые производные. Таким образом, определение орбиты планеты будет зависеть от интегрирования трех дифференциальных уравнений первого порядка между четырьмя переменными два интеграла этих уравнений получаются на основе принципа живых сил и принципа площадей, что сводит вопрос к интегрированию одного уравнения первого порядка с двумя переменными. Так вот, на основании моей общей теоремы это интегрирование может быть приведено к квадратурам. Итак, если угодно применять ее вместе с другими общими принципами механики, то можно сказать, что этих принципов оказывается достаточно, чтобы привести определение орбиты планеты к квадратурам. [c.294]

Формула (20. 5) может быть получена из более общей теоремы Стокса и гидродинамической аналогии с мембраной. Левая часть этой формулы представляет интеграл касательного напряжения, взятый вдоль линии напряжения. [c.154]

Интеграл (31) следует из теоремы об изменении кинетической энергии см. п. 88 левая часть (31) есть кинетическая энергия шара она постоянна, так как работа внешних сил, приложенных к шару, равна нулю). Существование интегралов (32) и (33) следует из теоремы об изменении кинетического момента в ее общей форме (см. формулу (7) п. 87). Действительно, момент внешних сил (силы тяжести и реакции плоскости) относительно точки касания шара и плоскости равен нулю. А так как скорость геометрической точки , которая вычерчивает след шара на плоскости, очевидно, равна скорости центра масс шара, то из теоремы об изменении кинетического момента следует, что кинетический момент Ко шара относительно точки касания остается во все время движения неизменным. Но, воспользовавшись формулой (4) п. 81, легко получить, что [c.323]

Может показаться, что теорема Якоби-Пуассона всегда позволяет по двум известным первым интегралам найти еще один первый интеграл, затем еще один и так далее до тех пор, пока не будет получено количество первых интегралов, необходимое для построения общего интеграла системы (2). Это далеко не так. На практике скобка Пуассона часто может быть либо константой, либо функцией известных первых интегралов. [c.336]

Для того чтобы можно было надеяться получить из двух первых интегралов много или даже все первые интегралы, недостающие для построения общего интеграла, надо, чтобы хотя бы один из двух известных исходных первых интегралов был характерен для рассматриваемой частной задачи, чтобы он как можно полнее отражал физическую сущность именно данной задачи. Если за исходные первые интегралы брать интегралы, вытекающие из основных, общих для всех систем теорем динамики, то вряд ли в общем случае можно надеяться на эффективное применение теоремы Якоби-Пуассона. [c.337]

В областях изменения переменных х, у, где условия теоремы существования не выполнены, могут существовать интегралы, которые не получаются из общего интеграла при частном значении произвольной постоянной, и которые, следовательно, не содержатся в общем интеграле. Эти интегралы называются особыми. [c.222]

Функция у (х, с,,..., С ), тождественно удовлетворяющая диференциальному уравнению п-го порядка г(х, у, у, ..., v< )) = О и зависящая от п произвольных постоянных l,..., Сп, называется общим решением уравнения. Соотношение Ф (v, у. С,,..., С ) = О, определяющее общее решение уравнения как неявную функцию независимой переменной, называется общим интегралом уравнения. Произвольные постоянные могут быть определены. если заданы начальные условия, т. е. при некотором значении Xq независимой переменной X заданы значения функции и её производных JV, ..з д(п —1). Если соблюдаются условия теоремы о существовании и единственности решения (см. стр. 226), то общий интеграл уравнения даёт полное решение задачи об интегрировании диференциального уравнения п-го порядка. В противном случае могут существовать так называемые особые интегралы, которые нельзя получить из общего интеграла при частных значениях произвольных постоянных. [c.224]

Ранее уже отмечалось, что для реологического уравнения состояния в форме (6.9) расчет восстановления требует решения интегрального уравнения относительно неизвестных у К В случае мгновенного восстановления интегральное уравнение вырождается, и даже для истории течения общего вида решение, как было установлено при доказательстве теоремы (7,1), получается непосредственно. Дело, однако, обстоит иначе в случае запаздывающего восстановления. В этом можно убедиться из уравнения, предшествующего (7.7). В нем третий интеграл содержит в подынтегральном выражении неизвестные Поэтому уравнение не имеет простых решений, за исключением частного случая задания .1 в виде одной экспоненты при отсутствии запаздывающего восстановления, как это следует из теоремы (7.6). [c.184]

Обобщение теоремы и интеграла живых сил. Рассмотрим прежде всего структуру выражения для живой силы системы материальных точек в самом общем случае. Выражая декартовы координаты точек системы через координаты Лагранжа, для проекций скорости получим выражения [c.353]

Обобщенная формула Гри а. Прежде, чем мы обратимся к выводу условий равновесия несжимаемой жидкости как системы геометрической, докажем одну аналитическую теорему, дающую возможность выразить объемный интеграл через поверхностный. Эта теорема будет более общая, чем теорема Грина из нее может быть получена последняя. [c.618]

Теореме Пуассона в классических Лекциях по динамике ) Якоби посвящена тридцать четвертая лекция. По словам Якоби, зто одна из замечательнейших теорем всего интегрального исчисления, а в частном случае, когда положено Н— Т- -1, это есть основная теорема аналитической механики . Чтобы, комбинируя некоторый интеграл с ранее известным, получать новый интеграл, надо, указывает Якоби, чтобы он был интегралом, специально принадлежащим рассматриваемой частной задаче. Но первые интегралы, которые отыскивались для какой-нибудь предложенной задачи, были, как правило, те, которые следовали из общих принципов (например, из принципа сохранения площадей) поэтому они не принадлежали специально именно к рассматриваемой задаче и нельзя требовать, чтобы из них должны были выводиться все первые интегралы . [c.518]

Можно было бы подумать, что, кроме известных интегралов и теоремы вириала, в задаче трех тел не удастся получить никакие другие общие результаты, поскольку и в ограниченной задаче исследованы еще не все решения. В самом деле, даже в ограниченной задаче, если два тела конечной массы двигаются не по окружностям, а по эллипсам, то интеграл Якоби не имеет места. Тем не менее работы последних лет (главным образом численное интегрирование общей задачи трех тел, выполненное для широкого спектра начальных условий и масс) позволили сделать определенные выводы о поведении системы трех тел вообще, но не о поведении какой-то конкретной системы. Точно так же статистик страхового общества сейчас может сделать точный прогноз [c.172]

Что касается линейной теории, то я нашел более удобным вместо того, чтобы по отдельности рассматривать различные частные случаи, возникающие в теории упругости, охватить их все сразу в рамках теории сильно эллиптических линейных систем. Разумеется, еще лучше было бы развить более общую теорию эллиптических систем (сильная эллиптичность— частный случай простой эллиптичности), но, понятно, такую программу невозможно было осуществить в рамках сравнительно короткой статьи. Тем не менее сильно эллиптические системы дают достаточную общность и позволяют получить большинство практически важных приложений. В связи с этими системами рассмотрены задачи о распространении и диффузии волн, а также интегро-дифферен-циальные уравнения. Для всех них установлены теоремы существования в, наиболее интересных случаях. Среди многочисленных приложений общей теории отметим здесь теорему существования для одной нестандартной краевой задачи, связанной с равновесием неоднородной>упругой среды. [c.8]

СИСТЕМЫ А. М. ЛЯПУНОВА ). В системах Ляпунова отсутствует малый параметр, на который в квазилинейных системах умножены нелинейные члены. Большей частью это консервативные системы, обладающие в качестве первого интеграла интегралом сохранения полной механической энергии. При известных условиях такие системы допускают периодическое решение, разлагающееся в ряды по степеням начального значения одной из координат в предположении, что это значение достаточно мало. Вопрос о существовании периодического решения в таких системах был связан у Л. М. Ляпунова с вопросом об устойчивости невозмущенного движения системы, определяемого нулевыми значениями координат в одном из критических случаев , именно, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. Устанавливая условия периодичности возмущенного движения системы, можно, следуя Л. М. Ляпунову, получить также в этих условиях условия устойчивости невозмущенного движения в этом довольно часто встречающемся критическом случае. Общая теория нелинейных систем Ляпунова вместе с обобщением этой теории на класс систем, близких к системам Ляпунова, развита И. Г. Малкиным. Из монографии И. Г. Малкина [31] мы и заимствуем изложение теоремы Ляпунова о существовании и форме периодических решений рассматриваемых систем, приводимой без доказательства. [c.545]

Рассмотрим некоторые свойства движения тела в общем случае Эйлера. Интеграл энергии можно получить исходя из того, что работа силы веса в данном случае равна нулю. Так как точка ее приложения не перемещается, а связь идеальная, то очевидно, что из общей теоремы динамики об изменении кинетической энергии Т можно получить интеграл энергии в виде Т = onst, т. е. [c.458]

Чрезвычайно замечательно обстоятельство, на которое мы уже обратили внимание во введении, что из этих интегралов площадей имеют место либо один, либо все три. То обстоятельство, что третья теорема площадей всегда следует из двух других, мы получим как чисто вычислительный результат, как простое следствие некоторого математического тождества. Если имеют место все три интеграла площадей, то можно, не боясь нарушить общности решения, две из постоянных а, 3, взять равными нулю. В само г деле, эти постоянные определяются в каждой задаче условными уравнениями, но каковы бы ни были эти последние, всегда можно так повернуть координатные оси, что в новой системе координат две из постоянных исчезнут. Действительно, пусть новые координаты будут т],, тогда общие формулы иреобразования координат будут [c.31]

Всё, что было сказано до сих пор о простейшем случае вариационного исчисления, можно распространить на самый общий случай, в котором под знаком интеграла стоит функция, содержащая произвольно большое число переменных у, з, и, зависящих от одной переменной х, и сверх того еще производные до какого угодно высокого порядка от этих переменных. Когда такая задача сведена к дифференциальному уравнению первого порядка с двумя переменными, то последнее интегрирование также может быть выполнено. Но, чтобы получить этот результат, необходимо привести некоторые теоремы относительно выражений, которые встречаются при решении линейных уравнений и которые названы Лапласом результантами, Гаус-..лом — определителями и Коши — альтернативными функциями. [c.74]

Теорию крыла конечного размаха позволило создать использование основополагающей теоремы Н. Е. Жуковского о связи подъемной силы с циркуляцией и модели течения с присоединенным вихрем, так что эта теория является логическим продолжением и развитием идей, составляющих фундамент теории крыла бесконечного размаха, В 1910 г. С. А. Чаплыгин в докладе на тему Результаты теоретических исследований о, движении аэропланов сформулировал общие представления о вихревой системе крыла конечного размаха. В 1913 и 1914 гг. им были получены первые формулы для подъемной силы и индуктивного сопротивления. Они были доложены на третьем воздухоплавательном съезде в Петербурге. В дальнейшем основное распространение получила теория несущей линии, предложенная в Германии Л. Прандтлем для крыльев большого относительного удлинения. В рамках этой схемь было получено интегро-дифференциальное уравнение, связывающее изменение циркуляции и индуктивный скос потока. Задача свелась к отысканию различных приближенных методов его решения. В работе Б. Н. Юрьева (1926) был применен геометрический прием, в котором использовалось предположение о том, что распределение циркуляции близко к эллиптическому и что отклонения от этого распределения повторяют форму крыла в плане. Аналитические методы, применявшиеся на начальном этапе развития теории для получения приближенных решений, состояли в требовании удовлетворения основному уравнению в ограниченном числе точек по размаху. Так, в методе тригонометрических разложений В. В. Голубев (1931) заменил бесконечный тригонометрический ряд тригонометрическим многочленом, сведя бесконечную систему уравнений к конечной системе, в которой число неизвестных соответствует числу членов разложения циркуляции и числу точек на крыле. С целью более точного учета формы крыла в плане при ограниченном числе решаемых алгебраических уравнений Я. М. Серебрийский (1937) предложил для решения интегро-дифференциального уравнения использовать способ наименьших квадратов. [c.92]

Его можно получить также, разлагая по степеням z, по теореме Тейлора (Taylor), произвольные функции (р, у>, входящие в выражение решения, которое представляет собой, как мы знаем, общий интеграл дифференциального уравне- [c.149]

Общая теория обобщенных аналитических функций w t, t) была построена И. Н. Векуа [51] в предположении, что козффициенты А В суммируемы со степенью р> 2. В частности, доказаны изолированность нулей и полюсов, справедливость теоремы Сохоцкого — Вейерштрасса для окрестности существенно особой точки, аналог теоремы Лиувилля и т. д. Были получены обобщенная формула Коши и обобщенный интеграл типа Коши. Подобные функции под названием псевдоаналитических изучались Л. Берсом [172] и др. [c.236]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...