Преобразование Фурье и преобразование Лапласа

I. Преобразование Фурье и преобразование Лапласа [c.291]

Воспользуемся методом совместного применения интегральных синус-преобразования Фурье и преобразования Лапласа. Синус-преобразование Фурье имеет вид [c.172]

Уравнение (4) последовательно подвергаем конечному синус-преобразованию Фурье и преобразованию Лапласа. Тогда для функции блг с учетом краевых условий (5)—(7) получим уравнение [c.407]

Та и Tjo—соответственно начальные температуры жидкости и тела h и — соответственно температуры жидкости и тела при х=0 х, 4 —продольная и поперечная координаты и г)—безразмерные продольная и поперечная координаты Ui —средняя скорость А, и Xj — коэффициенты теплопроводности жидкости и тела а —параметр преобразования Фурье / —параметр преобразования Лапласа в интегральных соотношениях а = Рг [c.289]

Итак, согласно (7)—(10) вся индивидуальность образца заключена в иерархической последовательности матриц которые являются фурье-образами функций корреляции для дипольных моментов ф("р), усеченных с помощью 0-функций. Это усечение обеспечивает причинную последовательность взаимодействий во времени и формально эквивалентно замене преобразования Фурье на преобразование Лапласа. В спектральном представлении умножению на 0-функцию соответствует свертка с 0 (ш) (см. 2.4.7а). Для краткости эту операцию будем называть преобразованием Гильберта (хотя последнему отвечает лишь 1-е слагаемое в (2.4.7а)). При и > 3 в (10) имеется п — 0-функций, чему соответствует многомерное преобразование Гильберта (случай п = 3 см. в [152]). В результате моменты поля (т. е. его спектральные функции) оказываются пропорциональными гильберт-образам спектральных функций молекул, что и приводит к превращению дискретного спектра молекул в сплошной спектр многофотонного спонтанного излучения. [c.154]

Обращение преобразования Фурье или преобразования Лапласа приводит (19.35) к виду (19.30) или (19.33) соответственно при определении и (/, х) здесь отпадает необходимость и в решении обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.91]

Общее решение получается преобразованием Фурье и суперпозицией элементарных решений (13.24) для двух мод со = +PF (х). Для нахождения произвольных функций F (я), входящих в решение, необходимы два начальных условия. Конечно, функция ф в начальных условиях должна удовлетворять уравнению Лапласа, иначе в игру вступят эффекты сжимаемости и быстро преобразуют исходное распределение в некоторое новое эффективное исходное распределение. Д.чя простоты рассмотрим жидкость, первоначально находившуюся в состоянии покоя с ф = 0. Тогда, согласно [c.422]

Система с вязким демпфированием долгое время рассматривалась как единственный тип демпфирующего механизма, для которого тем или иным методом могут быть получены аналитические решения уравнения движения, включая сюда прямой метод и методы, основанные на преобразованиях Фурье и Лапласа. [c.162]

Метод частотных характеристик основан на применении интегральных преобразований для решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Интегральные преобразования Фурье и Лапласа широко используются как для аналитического, так и для численного решения разнообразных теоретических и прикладных нестационарных задач в областях автоматического регулирования, связи, радио- и электротехники, теплофизики и во многих других [Л, 50, 62—65]. [c.98]

Для решения поставленной задачи используем метод совместного применения интегральных преобразований Фурье и Лапласа, [c.156]

Решение системы уравнений (9-1-1) — (9-1-3) при краевых условиях (9-2-1)-1г (9-2-5) можно получить, пользуясь методом совместного применения интегральных преобразований Фурье и Лапласа подобно тому, как это детально было показано в гл. 6, 6-4. Повторим основные этапы метода решения на примере нахождения полей потенциалов молярно-молекулярного переноса в неограниченной пластине. Для удобства последующих выкладок безразмерные потенциалы переноса обозначим через 0г (1=1, 2, 3) Т = 0 -, 0 = 2 Р = 0з. [c.431]

Ввод информации в световой луч осуществляется с помощью транспаранта или пространств, модуляторов света. Оптич. луч, модулированный в каждой точке своего поперечного сечения, позволяет обрабатывать параллельно сразу большой массив данных, представленный в форме двумерной оптич. картинки. Оптич. устройства дают возможность очень просто и быстро реализовать ряд важных интегральных оптаций над двумерными сигналами, таких как преобразования Фурье, Гильберта и Лапласа, нахождение свёртки и корреляции двух ф-ций и нек-рые др. Так, обычная оп-тнч. линза позволяет мгновенно получить фурье-спектр оптич. изображения, падающего на эту линзу. Вводя соответствующие фильтры в фокальную плоскость после линзы, можно значительно улучшить качество оптич. изображения или даже увидеть изображение невидимого фазового объекта. [c.437]

Этот результат связан с формулами обращения для преобразований Фурье и Лапласа его часто называют теоремой Фурье — Меллина . [c.448]

Рассмотренная выше задача очень хорошо иллюстрирует сходство между методами преобразований Фурье и Лапласа в одномерных задачах подобного типа. Во-первых, если в нашем распоряжении имеются соответствующие таблицы преобразованных функций, то работа, которую необходимо проделать при расчетах по одному и другому методу, одинакова. Во-вторых, если таблиц преобразованных функций нет, то в любом случае необходимо провести определенное количество расчетов с интегралами, полученными из формулы обращения. Существенное преимущество преобразования Лапласа для задач этого типа проявляется в связи с граничными условиями, поскольку в нем рассматриваются одинаковым образом все граничные условия. Однако ранее было необходимо использовать преобразование по синусам, так как при X = О была задана температура тела v если бы был задан тепловой поток на граничной поверхности, следовало бы использовать преобразование по косинусам в случае граничного условия третьего ряда ни одно из этих преобразований не подходит и следует разработать преобразование нового типа в случае граничного условия типа Е, приведенного в 9 гл. I, потребуется уже другое преобразование и т. д. [c.449]

Подставив (3.94) в (3.92) и применив к полученному выражению обратные преобразования Фурье и Лапласа, получим [c.120]

При анализе измерительных сигналов их принято описывать либо функциями времени, либо с помощью спектральных представлений, основанных на преобразованиях Фурье и Лапласа. [c.178]

Воспользовавшись преобразованием Фурье ио х, у я Лапласа по т, получим выражение трансформанты температуры [c.179]

Конечные интегральные преобразования. Ограниченность интегральных преобразований Фурье, Ханкеля и отчасти Лапласа, с одной стороны, и острая необходимость в решении задач с конечной областью изменения переменных, с другой, привели к созданию методов конечных интегральных преобразований. Даже в тех случаях, когда эти методы позволяют решать круг задач, который решается классическими методами с помощью рядов Фурье или Фурье—Бесселя, им следует отдать предпочтение. Простота методики решения — ее стандартность — дает методу конечных интегральных преобразований большие преимущества перед классическими методами, хотя математически он эквивалентен методу собственных функций. [c.56]

Решение новой задачи не вызывает особых трудностей. Методика ее решения аналогична методике решения обычных уравнений переноса при граничных условиях второго рода и может быть реализована совместным применением преобразований Фурье и Лапласа. В результате решения мы получим [c.420]

Чтобы рассмотреть два последних условия, необходимо обобщить преобразование Фурье и ввести комплексную частоту 5 = 0 + Выполняя преобразование Лапласа [c.32]

Глава II посвяш,ена интегральным преобразованиям и их применению для решения задач о распространении волн. Рассматриваются преобразование Фурье и некоторые его модификации — преобразования Лапласа и Ханкеля, двойные преобразования (преобразования по двум переменным) и методы обраш,ения. Как показано в 18, в некоторых случаях двойные преобразования обращаются элементарно — отпадает необходимость вычисления интегралов в формуле обращения. В 21 рассматриваются способы описания волн деформаций с помощью рядов Фурье — преобразования Фурье на конечном (переменном) интервале. [c.5]

Основную роль при исследовании рассматриваемых ниже задач играет преобразование Фурье и некоторые его модификации (преобразования Лапласа, Ханкеля) и соответствующие этим преобразованиям ряды, которые также можно рассматривать как (дискретные) формулы обращения для интегральных преобразований с конечными пределами. [c.48]

Если уравнения записаны в цилиндрической системе координат, то может применяться преобразование Ханкеля по радиальной координате, причем, если коэффициенты уравнения в прямоугольной системе постоянны, то преобразование Ханкеля приводит к цели так же, как и двойное преобразование Фурье, которому оно по существу эквивалентно. Если система определена в полубесконечном интервале, то применяется косинус- или синус-преобразование, что соответствует четному или нечетному продолжению на бесконечную область. При некоторых условиях, которые будут обсуждены ниже, преобразования в бесконечных или полубесконечных пределах могут применяться и для ограниченных систем, в общем же случае здесь используются преобразования в конечных пределах. Преобразование Лапласа, как правило, применяется по переменной, означающей время, так как в нестационарных задачах нас интересует процесс при / > О, а граничные условия по / — начальные условия — обычно задаются при 1 = 0. Однако ввиду того, что преобразования Фурье и Лапласа по существу эквивалентны (в отношении функций, продолженных нулем на отрицательные значения аргумента), они оба могут использоваться (и иногда используются) для преобразований по пространственным и временной переменным. [c.85]

Здесь удобно провести синус-преобразование Фурье (5) по у (параметр д), так как заданы четные производные по у при у = 0. По переменной л произведем преобразование Лапласа ( О с параметром 5. В преобразованном уравнении окажутся неизвестные функции — вторая и третья производные от оу по л на кромке х = О, которые определим из условий при л —> оо. По времени также про- [c.92]

Д.Д. = —Q. Что касается точного решения задачи, то, применив к (37Л) интегральные преобразования Фурье и Лапласа, придем к формуле для Лапласова изображения [c.237]

При откачках из несовершенных скважин в потоке большой мощности приходится прибегать к численно-аналитическим решениям, основанным на применении интегральных преобразований Фурье и Лапласа, осуществляемых численным путем на персональных компьютерах [3]. [c.198]

Перечисленные допущения характерны для функционального моделирования, широко используемого для анализа систем автоматического управления. Элементы (звенья) систем при функциональном моделировании делят на три группы 1) линейные безынерционные звенья для отображения таких функций, как повторение, инвертирование, чистое запаздывание, идеальное усиление, суммирование сигналов 2) нелинейные безынерционные звенья для отображения различных нелинейных преобразований сигналов (ограничение, детектирование, модуляция и т. п.) 3) линейные инерционные звенья для выполнения дифференцирования, интегрирования, фильтрации сигналов. Инерционные элементы представлены отношениями преобразованных по Лапласу или Фурье выходных и входных фазовых переменных. При анализе во временной области применяют преобразование Лапласа, модель инерционного элемента с одним входом и одним выходом есть передаточная функция, а при анализе в частотной области — преобразование Фурье, модель элемента есть выражения амплитудно-частотной и частотно-фазовой характеристик. При наличии нескольких входов и выходов ММ элемента представляется матрицей передаточных функций или частотных характеристик. [c.186]

Это уравнение решается в общем виде по типу решения уравнения Фурье, но его решение с учетом зависимости коэффициента диффузии от температуры может быть реализовано или методом конечных разностей (сеток), или с помощью интегрального преобразования Лапласа и в обоих случаях требует машинного счета на ЭВМ. Проще всего оно решается для установившегося режима диффузии, т. е. при наличии постоянного градиента концентраций и постоянства температуры. В этом случае решение принимает вид [c.306]

Применение преобразования Фурье к Лапласа упрощает анализ не только линейных систем, но и нелинейных [c.99]

Отметим, что приведение обратного преобразования Фурье к преобразованию Лапласа при х О, вообще говоря, возможно и без введения комплексной переменной 5, а именно, путем соответствующей деформации пути интегрирования (см. 20). Такой метод принадлежит Каньяру [125]. [c.84]

Решение этой вопомогателвной задачи находится посредством использования интегральных преобразований Фурье и Лапласа. В результате решения мы получим выражения (6-4-15) —(6-4-17) или, вводя тэта-функцию, (6-4-15), (6-4-18 ), и (6-4-18). [c.252]

Посредством совместного применения интегральных преобразований Фурье и Лапласа решение системы уравнений тёпло- и маосопереноса (4-1-2)— (4-1-3) при граничных условиях (6-4-42) и начальных условиях (6-4-3) можно получить в виде [c.255]

L. М. Вгоск [74] получил аналитическое решение задачи о вертикальном ударе тонким клином с помош,ью интегральных преобразований Фурье и Лапласа и с использованием метода Каньяра. [c.380]

В. Paul и С. С. Fu [1.273] (1967) интегрировали классическое уравнение изгиба балки при нулевых начальных условиях и заданном на свободном конце перемещении, линейно зависящем от времени. Применением синус-преобразования Фурье и метода вариации произвольных постоянных построе но решение для изгибающего момента в функциях Френеля На основе предположения, что в начальной стадии дефор мированная часть балки не искривляется, а только повора чивается относительно еще недеформированной части (де формированная ось имеет вид ломаной), получена без реше ния дифференциальных уравнений простая формула для по перечной силы. Сравнение с решением уравнения Тимошен ко обнаруживает хорошее соответствие. Отмечается, что для максимального значения нагибающего момента, которое наступает через большое время после прохождения волновых фронтов, классическая теория изгиба и теория типа Тимошенко должны давать близкие результаты. В дискуссии по этой статье [1.295] (1967) было отмечено, что максимум поперечной силы в балке Тимошенко имеет место в начальный момент времени и поэтому его выражение можно получить применением предельной теоремы преобразования Лапласа к изображению, приведенному в обсуждаемой статье. Сомнительно, что при определении максимального изгибающего момента в заданном сечении и в любой достаточно малый момент времени решение авторов, основанное на классической модели изгиба, будет давать реальную оценку. В ответе авторов отмечается, что эксперименты все же подтверждают применимость классической теории изгиба, хотя теоретически это не доказано. [c.64]

Другие линейные уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно рассмотреть аналогичным обраэом при помощи преобразований Фурье и Лапласа и подходящих асимптотических разложений. Однако существует более простой интуитивный подход, который позволяет не только обойтись без утомительных [c.338]

Такие системы дифференциальных ураглений удобно представить в алгебраической форме, воспользовавшись свойствами преобразования Лапласа или Фурье, а затем записать опюшение левой и правой частей в виде передаточной функции. После факторизации этой функции и наложения условий физической реализуемости обобщенная передаточная функция [c.27]

Вычисление интегралов, необходимых для построения трансформант и оригиналов, можно проводить обычным численным интегрированием, исходя из тех или иных квадратурных формул. Неограниченность контура интегрирования не является серьезным затруднением, поскольку из существования интегралов следует, что можно брать достаточно большой, но конечный участок. Однако такой подход может быть весьма трудно реализуемым, в частности, из-за того, что ядра ряда интегральных преобразований (например, преобразований Лапласа и Фурье) являются осциллирующими функциями. Поэтому разработаны специальные квадратурные формулы, учитывающие структуру ядер [132]. [c.74]

Формулы (4.11) дают й и V — изображения по Лапласу искомого решения задачи для компонент вектора перемещения. Чтобы получить выражения самих оригиналов, необходимо применить к выраягениям (4.11) обратное преобразование Лапласа по р. Для этой цели используем метод Каньяра (в модификации де Хупа [70]), суть которого заключается в том, что интегралы обратного преобразования Фурье по д, представляющие собой выражения й и в (4.11), преобразуются в интегралы, имеющие вид преобразования Лапласа по т, т. е. в интегралы вида [c.475]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...