Скалярные формы уравнений движения

Скалярные формы уравнений движения [c.176]

Уравнения движения в скалярной форме. Уравнения (2.48), (2.49) [c.39]

Дифференциальное уравнение в векторной форме, естественно, эквивалентно трем скалярным уравнениям. В зависимости от выбора осей координат, на которые проектируется основное уравнение динамики (1.1), можио получить различные формы скалярных дифференциальных уравнений движения материальной точки. [c.244]

В обш,их векторных уравнениях равновесия и движения характер поведения внешней нагрузки при выводе уравнений роли не играет. Поведение внешней нагрузки играет суш,ественную роль при записи уравнений, связанных с конкретными базисами, например с базисами е,- или ij- , и особенно при записи уравнений в скалярной форме, которая используется при численных методах решения. Если внешняя нагрузка мертвая и уравнения равновесия стержня записываются в проекциях на неподвижные (декартовы) оси в базисе iy , то проекции сил <7 , [1 не зависят от деформированного состоя- [c.24]

В данном параграфе были выведены основные уравнения движения для наиболее общего случая пространственно-криволинейных стержней в векторной и скалярной форме записи с использованием двух координатных систем декартовой и связанной. [c.39]

Отсюда нельзя еще определить /, поскольку начальная скорость неизвестна. Воспользуемся теоремой об изменении количества движения в скалярной форме. Первое уравнение (15.3) даст нам [c.288]

Решим теперь задачу другим способом, основывая решение не на алгебре квадратичных форм, а на уравнениях движения. Если корни уравнения периодов простые, то уравнение (9.2.2) определяет собственные значения единственным образом с точностью до скалярного множителя условия ортогональности (9.2.34), (9.2.35) при этом выполняются автоматически. [c.153]

В теории пространственных механизмов иногда применяют термин винтовые методы исследования. Этим термином объединены методы, основанные на применении к исследованию движения пространственных механизмов винтового исчисления (см. гл. 9), что дает возможность представить уравнения движения в лаконичной форме, при которой шесть скалярных уравнений в проекциях заменяются одним уравнением относительно бивекторов или винтов. [c.191]

Частные варианты записи уравнения (1.5.29), используемые в МСС, определяются свойствами деформируемой среды и типом пространства, в котором осуществляется ее движение. При этом тип пространства влияет только на вид скалярной формы записи уравнения (1.5.29). [c.137]

С учетом условия осевой симметрии напряженно-деформированного состояния тела уравнение движения упругого тела (1.24) приведем к такой скалярной форме [130] j [c.23]

Система (2 ) представляет собой систему скалярных уравнений движения в форме Лагранжа. [c.619]

Векторные уравнения (7.7) или эквивалентные им скалярные уравнения (7.8) представляют дифференциальные уравнения движения материальных точек всей системы. Число дифференциальных уравнений в векторной форме равно п, а число дифференциальных уравнений в координатной форме равно Зга. Следовательно, общее решение зависит от 6га произвольных скалярных постоянных. Конечно, если все точки движутся параллельно одной плоскости или одной прямой, то число дифференциальных уравнений (7.8) в первом случае будет равно 2га, а во втором га. [c.175]

В теоретической механике разработаны методы, которые позволяют обойти основные трудности, возникающие при использовании дифференциальных уравнений движения материальной системы в форме (7.7) и (7.8). С этой целью прежде всего вводятся некоторые векторные и скалярные величины, характеризующие в какой-то степени движение всей материальной системы (так называемые меры движения). К ним относятся вектор количества и вектор момента количеств движения, а также кинетическая энергия материальной системы. Зная характер изменения этих величин, можно составить частичное, а иногда и полное представление о движении материальной системы. [c.179]

Далее воспользуемся векторной формой записи динамического уравнения движения сплошной среды (3.7), умножив скалярно его левую и правую части на вектор скорости V [c.27]

Уравнение (10.3) может быть преобразовано к более простой форме, если использовать уравнения движения (4.8). Действительно, умножая скалярно обе части (4.4) на t), получим [c.418]

Но не только этим, даже, пожалуй, не столько этим исчерпывается значение вариационных принципов. Они в наиболее краткой форме описывают суть механических и физических явлений, включая в себя не только дифференциальные уравнения, но и граничные условия, отражая в определенной мере направление рассматриваемого физического процесса. Кроме того, характеризуя модель среды в целом, вариационный принцип связан с экстремумом скалярной величины, так что он формулируется независимо от выбора системы координат. Можно сказать, что в этой единственной скалярной функции (функционале) заложена вся информация и о системе дифференциальных уравнений движения, и о физических процессах, описываемых вариационным принципом. [c.438]

Это дифференциальные уравнения движения материальных точек всей системы. Система состоит из п уравнений в векторной форме, которые могут быть записаны и в скалярной форме (в этом случае уравнений будет Зга). [c.174]

В выражении (а) величины Р представляют собой скалярные множители перед функциями os at. Преобразование уравнения движения в условиях к нормальным координатам позволяет записать типичное уравнение движения для соответствующей формы колебаний [c.307]

Молекула НР [И, 18]. В 7 и 8 было показано, что если релаксация спинов I и 3 двух разных сортов ядер вызывается их диполь-дипольным или скалярным взаимодействиями, зависящими от времени соответственно благодаря броуновскому движению молекул или химическому обмену между молекулами, то свободное движение их векторов намагниченности, вызванное релаксацией, описывается системой связанных уравнений (по крайней мере для продольных составляющих). Чтобы облегчить сравнение с экспериментальными результатами, полученными в работах [И] и [18] (где можно также найти теоретические результаты, полученные другим путем), изменим принятые ранее обозначения и перепишем уравнения движения для векторов намагниченности в следующей форме [c.310]

Применим метод обобщенных координат для получения дифференциальных уравнений движения из общего уравнения механики. Метод обобщенных координат приводит к исключительно важному результату. Он дает общий вид дифференциальных уравнений движения в обобщенных координатах, называемых уравнениями Лагранжа (второго рода). Эти уравнения позволяют для каждой задачи на несвободную систему пользоваться наиболее удобными и естественными величинами при описании движения системы, исключая из рассмотрения связи и силы реакции. Лагранжевы уравнения оказываются полезными и для свободных тел и точек, так как имеют инвариантную (скалярную) форму во всех системах координат, а это позволяет легко составить уравнения в наиболее удобной системе координат, не пользуясь громоздкими формулами перехода (например, от декартовых к сферическим). [c.180]

Здесь применена скалярная форма записи закона количества движения [уравнения (1.135) и (1.135а) , так как именно такой формой приходится пользоваться для решения практических задач в рассматриваемых случаях движения. [c.167]

Как уже указывалось, векторная форма записи уравнений равновесия или движения стержня инвариантна по отношению к координатным системам, однако при численных методах решения уравнений всегда переходят к скалярной форме записи уравнений, которая зависит от выбранной конкретной системы координат. От удачного выбора координатной системы существенно зависит зфчфективность решения задачи. Основное отличие ортогональных прямолинейных координатных осей с базисом i, от ортогональных криволинейных с базисом е, (рис. П.4) заключается в том, что базисные векторы i не зависят [c.291]

Ранее мы уже указывали, что движение системы можно представить некоторой непрерывной кривой в пространстве конфигураций. В настоящем случае эта кривая будет действительной траекторией материальной точки в обычном пространстве. Уравнение W = onst представляет семейство поверхностей в этом пространстве, а условие (7.61а) означает, что траектория материальной точки всюду нормальна к таким поверхностям. Это напоминает соотношения между волновыми поверхностями и лучами в оптике. Предположим, что движение материальной точки на самом деле связано таким образом с некоторой формой волнового движения. Если этот волновой режим характеризуется волновой функцией ф, удовлетворяющей уравнению, подобному скалярному волновому уравнению в оптике, то [c.103]

Бесконечно малое произведение П х= йх. йх, (1хзс1х представляет элементарный объем в четырехмерном пространстве Минковского и как таковой является инвариантом по отношению к преобразованиям Лоренца. Следовательно, само выражение принципа (11.1) инвариантно при условии, что X является скалярной величиной. Эта форма принципа Гамильтона принимается как отправной пункт для описания полей. Так как эта форма является только новым вариантом записи использованного ранее принципа, то все полученные прежде следствия и здесь остаются в силе. В частности, уравнения движения (написанные в новых обозначениях) примут вид [c.154]

В ряде работ [74,75] используется другая форма линеаризованных уравнений движения упругой среды в актуальной конфигурации, выраженная через конвективную ироизводную тензора напряжений Коши. При этом потенциал предполагается скалярной функцией инвариантов меры деформации Коши-Грина (Фингера, что одно и тоже) (1.5.1). [c.40]

Уравнение изменения момента количества движения. При рещении задач, связанных с вращательным движением жидкости, часто применяется известная теорема механики об изменении момента количества движения (теорема моментов). Применительно к движению жидкости удобно использовать скалярную форму записи этой теоремы. В такой форме теорема моментов формулируется следующим образом производная по времени от суммы моментов количеств движения системы относительно какой-нибудь неподвижной оси равна сумме моментов внещних сил, действующих на эту систему, относительно той же оси. [c.49]

Уравнение баланса кинетической энергии среднего движения турбулизованной среды. Умножая скалярно уравнение движения (3.1.35) на <УJ> и учитывая несимметричные свойства тензора Леви-Чевита (2.1.20), получим после необходимых преобразований следующую субстанциональную форму уравнения живых сил для осредненного движения смеси (теорему количества движения), аналогичную (2.1.36) [c.126]

Эти уравнения можно решить, представив смещения в виде суммы градиента скалярного потенциала и ротора векторного потенциала, после чего уравнения движения распадаются на два независимых друг от друга уравнения относительно этих потенциалов. Решениями последних являются сферические функции Бесселя и Неймана. В дальнейшем будут получены решения также для неизотропного сферического слоя, где зтот прием уже не проходит. Поэтому для того, чтобы обеспечить по возможности одинаковую форму записи в этих сл)Д1аях, будем решать уравнения (5.83) следующим образом. [c.264]

Решая конкретные задачи, обычно интересуются результатами, которые не зависят от выбора системы координат. Поэтому естественно рассматривать уравнения движения в тензорной форме, позволяющей легко переходить от одной систсхмы координат к другой, и такие соотношения, которые не зависят от выбора системы координат, другими словами, являются инвариантными относительно преобразований системы координат. Простейший пример инвариантов — скалярные величины. Скалярная величина задается одним числом и относится к тензорам нулевого ранга. Вектор задается тремя компонентами в таком виде u= / Rг== /гR Найдем скалярное произведение (и-и) -и Эта величина (квад- [c.9]

Следует иметь в виду, что эта форма записи справедлива лишь для несжимаемой жидкости, т.е. при условии р - onst. И, наконец, уравнению движения (7.15) можно придать более удобную для анализа форму, умножив скалярно его левую и правую части на произвольный направленный отрезок [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...