ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Скалярные формы уравнений движения из "Основы теоретической механики " Величины XI, Х2, Хз называются криволинейными координатам.и точки. Когда криволинейные координаты выбраны, закон движения г( ) однозначно задается функциями х,( ), г — 1,2,3. [c.176] Переход к криволинейным координатам особенно эффективен, когда имеется априорная информация о траектории точки. Его полезно применять также, когда поле действующей силы обладает той или иной симметрией. Поясним это. [c.177] При фиксированном значении гз точки принадлежат плоскости V, параллельной базисным векторам ei, б2 и находящейся на расстоянии sin от соответствующей им координатной плоскости. При различных значениях гз соответствующие плоскости V пересекаются с координатными сферами по параллелям. В каждой плоскости V величины рсозб, -ф суть полярные координаты точек. [c.179] Учитывая найденное выше выражение для ш/ и то, что масса мате-ригипьной точки всегда постоянна, получаем утверждение теоремы. Система дифференциальных уравнений теоремы 3.6.1 вместе с на.-чальными условиями определяет зависимости криволинейных координат х, Х2, хз от времени. Они задают закон движения материальной точки. [c.182] что обобщенные силы суть коэффициенты при дифференциалах криволинейных координат в выражении для элементарной работы. [c.182] Таким образом, для составления уравнений движения достаточно выразить в криволинейных координатах элементарную работу силы и кинетическую энергию точки. После этого составление уравнений движения сводится к операциям дифференцирования. [c.182] Уравнения движения материальной точки в форме, представленной теоремой 3.6.1, носят название уравнений Лагранмса второго рода. [c.182] Следствие 3.6.1, Полная сила F, под действием которой происходит движение материальной точки, всегда принадлежит соприкасающейся плоскости. Соприкасающаяся плоскость есть линейная оболочка векторов v и F. [c.185] Следствие 3.6.2. Для того, чтобы вычислить нормальную составляющую суммарной силы, достаточно знать лишь скорость v движения точки по кривой. [c.185] Имеем дифференциальное уравнение одномерного движения. [c.185] В точности совпадающее с найденным выше. [c.187] Второй путь решения задачи оказался более экономным Удалось обойтись без явного использования компонент реакции N. исключив их путем проектирования уравнений движения на перпендикулярное к N направление. [c.187] Обратимся к геометрическим методам анализа свойств движения. Обозначим Q Э т — л — пространство координат (криволинейных в общем случае), задающих радиус-вектор материальной точки. Размерность пространства координат Q не превосходит трех. Скорость точки задается набором х = , Qт Пространство скоростей Qт имеет ту же размерность, что и пространство Q. [c.188] Определение 3.6.2. Фазовое пространство есть прямое произведение Q X Qт координатного множества и множества скоростей. Тем самым фазовое пространство всегда четномерно. [c.188] В частности, три координаты радиуса-вектора и три компоненты скорости образуют шестимерное фазовое пространство. Если положение точки в пространстве вполне определено лишь одной координатой (точка движется по заданной кривой), то ее фазовое простр ан-ство двумерно и может интерпретироваться как фазовая плоскость. [c.188] Каждому состоянию материальной точки, представляющему собой некоторый набор координат а и их скоростей соответствует одна и только одна точка фазового пространства (фазовая точка). [c.189] Движению материальной точки в реальном пространстве соответствует движение фазовой точки в фазовом пространстве. Траектория движения фазовой точки называется фазовой кривой. Фазовая кривая может вырождаться в единственную точку. Такая точка называется положением равновесия. [c.189] Если существуют какие-либо первые интегргипы уравнений движения, то эти интегралы выделяют в фазовом пространстве гиперповерхности, которым должна принадлежать фазовая точка в любой момент времени. [c.189] Фазовые кривые обладают рядом специфических свойств. Проиллюстрируем эти свойства на примере фазовой плоскости. [c.189] Вернуться к основной статье