Принцип Гамильтона. Принцип наименьшего действия

IV. Принцип Гамильтона. Принцип наименьшего действия [c.386]

Ряд важнейших исследований по аналитическим методам решения задач механики принадлежит знаменитому русскому математику и механику М. В. Остроградскому (1801 —1861). Он установил очень важный вариационный принцип динамики — принцип наименьшего действия, позволяющий сводить изучение движения механических систем к некоторой экстремальной задаче. Этот принцип называется принципом Остроградского — Гамильтона, так как независимо от Остроградского и в несколько менее общем виде он одновременно также был дан английским ученым Гамильтоном (1805— 1865). М. В. Остроградский решил также много частных механических задач в области гидростатики, гидродинамики, теории упругости, теории притяжения и баллистики. [c.16]

Для случая идеальных голономных связей Гамильтон установил важный вариационный принцип механики — принцип наименьшего действия. [c.213]

Возвращаясь снова к телеологической стороне этого принципа и принципа наименьшего действия Гамильтона, заметим, что наименьшее действие при известных обстоятельствах может оказаться и наибольшим действием . Дело в том, что требование ... = О соответствует собственно не минимуму а, вообще говоря, лишь экстремуму. Проще всего это можно показать на примере геодезических линий, на поверхности шара, которые являются дугами больших кругов. Если начальная точка О и конечная точка Р траектории находятся в одном и том же полушарии, то дуга большого круга, непосредственно соединяющая эти две точки, будет, правда, короче всех круговых дуг, получающихся от пересечения сферы с плоскостями, проходящими через О и Р, но не через центр шара однако и дополнительная дуга большого круга, которая при противоположном начальном направлении движения проходит от точки О через все второе полушарие к точке Р, представляет собой геодезическую линию, причем эта линия длиннее всех остальных круговых дуг, проходящих от О к Р через второе полушарие. Отсюда [c.276]

Этот пример ясно показывает, в чем именно состоит различие между двумя принципами Гамильтона и наименьшего действия. [c.866]

Вопрос о смысле вариаций в принципах Гамильтона и наименьшего действия рассмотрел в 1896 г. Гельдер [c.220]

В этом случае строгое решение задачи, основанное на волновой теории, практически не отличается от решения, найденного методом геометрической (лучевой) оптики. Установив, как зависит показатель преломления от свойств среды, т. е. от силовых полей, в которых движется электрон, мы можем рассчитать его движение по правилам геометрической оптики. С другой стороны, можно рассчитать движение электрона по обычным законам механики, зная силы, действующие на электрон. На возможность рассмотрения механической задачи с оптической точки зрения указывалось уже давно. Более 100 лет назад Гамильтон (около 1830 г.) показал, что уравнениям механики можно придать вид, вполне аналогичный уравнениям геометрической оптики. Первые можно представить в виде соотношения, выражающего принцип наименьшего действия (принцип Мопертюи, из которого можно получить уравнения ньютоновой механики), а вторые — в виде соотношения, выражающего принцип наименьшего оптического пути (принцип Ферма, из которого следуют законы геометрической оптики, см. 69). Оба эти принципа имеют вполне тождественное выражение, если подходящим образом ввести понятие показателя преломления. Блестящим результатом современной теории является то обстоятельство, что устанавливаемый ею показатель преломления связан с параметрами, характеризующими силовые поля, в которых движется частица, именно так, как требуется для отождествления принципа [c.358]

О различных формах принципа наименьшего действия. На этом вопросе для ясности необходимо остановиться. Принцип Гамильтона имеет вид [c.317]

Итак, принцип наименьшего действия Гамильтона дает [c.319]

Формулировка принципа. — Принцип наименьшего действия, впервые точно сформулированный Якоби, аналогичен принципу Гамильтона, но менее общ и более труден для доказательства. Этот принцип применим только к тому случаю, когда связи и силовая функция не зависят от времени и когда, следовательно, существует интеграл живой силы. [c.225]

Углубленный курс классической механики долгое время считался обязательной частью учебных планов по физике. Однако в настоящее время целесообразность такого курса может показаться сомнительной, так как студентам старших курсов или аспирантам он не дает новых физических понятий, не вводит их непосредственно в современные физические исследования и не оказывает им заметной помощи при решении тех практических задач механики, с которыми им приходится встречаться в лабораторной практике. Но, несмотря на это, классическая механика все же остается неотъемлемой частью физического образования. При подготовке студентов, изучающих современную физику, она играет двоякую роль. Во-первых, в углубленном изложении она может быть использована при переходе к различным областям современной физики. Примером могут служить переменные действие— угол, нужные при построении старой квантовой механики, а также уравнение Гамильтона — Якоби и принцип наименьшего действия, обеспечивающие переход к волновой механике, или скобки Пуассона и канонические преобразования, которые весьма ценны при переходе к новейшей квантовой механике. Во-вторых, классическая механика позволяет студенту, не выходя за пределы понятий классической физики, изучить многие математические методы, необходимые в квантовой механике. [c.7]

Принцип наименьшего действия. Другим вариационным принципом, подобным принципу Гамильтона, является принцип наименьшего действия. Если стремиться к наиболее общему определению, то под действием в механике следует понимать интеграл [c.253]

Согласно равенству (7.39) траектория системы в пространстве конфигураций такова, что, двигаясь по этой траектории с заданной энергией, система проходит путь между двумя ее точками в кратчайшее время (точнее, время этого движения является экстремальным). В данном случае принцип наименьшего действия напоминает известный принцип Ферма в геометрической оптике. Согласно этому принципу световой луч всегда выбирает тот путь, при котором время движения от данной точки А к данной точке В является наименьшим. Нам еще представится случай вернуться к этим соображениям в главе 9, где будет рассматриваться связь между методом Гамильтона и геометрической оптикой. [c.257]

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ ГАМИЛЬТОНА [c.242]

Принцип наименьшего действия Гамильтона 243 [c.243]

Принцип наименьшего действия Гамильтона 245 [c.245]

Гельмгольц, который в своих последних работах использовал преимущественно принцип наименьшего действия в форме Гамильтона, назвал L кинетическим потенциалом . По аналогии с термодинамикой можно было бы назвать L свободной энергией в противоположность термину полная энергия для Т + F. [c.247]

Мопертюи считал свой принцип наиболее общим из всех законов природы. В настоящее время мы скорее склонны признать эту всеобщность за принципом наименьшего действия Гамильтона. Мы уже упоминали на стр. 246 о том, что Гельмгольц положил этот принцип в основу своих исследований по электродинамике. С тех пор интегральные принципы в форме Гамильтона нашли применение в самых различных областях физики. [c.277]

Лучевая оптика является механикой световых частиц их траектории (в оптически неоднородных средах они ни в коем случае не будут прямолинейными) определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями Гамильтона или эквивалентным им принципом наименьшего действия. Напротив, с точки зрения волновой теории световые лучи получаются как ортогональные траектории системы волновых поверхностей. Последние, согласно принципу Гюйгенса, являются параллельными поверхностями. Гамильтон описывал семейство волновых поверхностей с помощью дифференциального уравнения (по необходимости — в частных производных) и распространил этот метод на мно- [c.301]

Несмотря на то, что имеется целый ряд вариационных принципов, связанных с именами Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона, все эти принципы взаимосвязаны, и к ним ко всем подходит название принцип наименьшего действия , если понимать этот термин в широком смысле слова. [c.136]

Введение. Принцип наименьшего действия и его обобщение, произведенное Гамильтоном, переводят задачу механики в область вариационного исчисления. Уравнения движения Лагранжа, вытекающие из стационарности некоторого определенного интеграла, являются основными дифференциальными уравнениями теоретической механики. И тем не менее мы еще не достигли конца пути. Функция Лагранжа квадратична по скоростям. Гамильтон обнаружил замечательное преобразование, делающее функцию Лагранжа линейной по скоростям при одновременном удвоении числа механических переменных. Это преобразование применимо не только к специальному виду функции Лагранжа, встречающемуся в механике. Преобразование Гамильтона сводит все лагранжевы задачи к особенно простой форме, названной Якоби канонической формой. Первоначальные п дифференциальных лагранжевых уравнений второго порядка заменяются при этом 2га дифференциальными уравнениями первого порядка, так называемыми каноническими уравнениями , которые замечательны своей простой и симметричной структурой. Открытие этих дифференциальных уравнений ознаменовало собой начало новой эры в развитии теоретической механики. [c.190]

Довольно любопытна также и другая работа Бернулли. Сравнивая движение частицы в поле заданной силы с распространением света в оптически неоднородной среде, он попытался создать на этой основе механическую теорию коэффициента преломления. Этим Бернулли предвосхитил великую теорию Гамильтона, в которой было показано, что принцип наименьшего действия в механике и принцип минимального времени распространения, носящий имя Ферма, аналогичны в своих выводах, что позволяет [c.386]

Именно Гамильтон, преобразовав принцип Даламбера, впервые дал точную формулировку принципа наименьшего действия. Форма, в которой применяли этот принцип Эйлер и Лагранж, справедлива лишь для консервативных (склерономных) систем. [c.391]

Эго уравнение представляет частный случай уравнения Гамильтона (21) 110. Эти уравнения имеют важное значение в гамильтоновом изложении геометрической оптики. Конечно, физический смысл функции U в волновой теории света другой, там она измеряет время распространения, а не. действие". В соответствии с этим основанием формулы служит тогда вместо принципа наименьшего действия" принцип. наименьшего времени", который сформулировал Ферма ( 111). [c.274]

Оба эти уравнения у Гамильтона носят более определенный характер, ибо он рассматривает обе составные части кинетического потенциала как заранее данные и притом в старой, более узкой форме, тогда как мы здесь разыскиваем лишь самый вид тех движений, которые соответствуют одновременно и принципу сохранения энергии, и принципу наименьшего действия. [c.454]

Подобные общие принципы, в которых выставляется требование, чтобы интеграл некоторой функции состояния, распространенный на время, в течение которого происходит изменение состояния, имел экстремальное значение, иногда обязательно минимальное, выдвигались неоднократно. Эти принципы имели различную форму, соответствующую тем или другим условиям, налагаемым на варьирование, но при правильном выполнении требуемых варьирований все эти принципы приводят к одним и тем же дифференциальным уравнениям для рассматриваемых процессов. Первым из этих интегральных принципов был предложенный Мопертюи принцип наименьшего действия, в котором утверждалось, что при всех происходящих в природе явлениях среднее значение живой силы имеет минимальное значение. Условия варьирования, имеющие при этом место для механических задач, найдены только Лагранжей, и тем самым этот принцип был только им научно обоснован. Эти условия с современной точки зрения могут быть выражены требованием, чтобы полная энергия варьированного движения оставалась равной полной энергии действительного движения. Впрочем, к тем же результатам приводит принцип Гамильтона, при котором имеет место другое условие, а именно, что время не затрагивается варьированием. Это последнее условие имеет то преимущество, что мы имеем возможность присоединить к Я добавочные члены, относящиеся к внешним силам. Поэтому мы оставляем форму Гамильтона, которая теперь при сохранении прежнего условия варьирования гласит [c.465]

Для своих расчетов Гельмгольц избрал гамильтонову форму принципа как наиболее удобную, снабдив ее некоторыми дополнениями, скорее формального характера. Величину, интеграл по времени которой представляет действие Гамильтона, он назвал кинетическим потенциалом . При этом, однако, он еще сохранил предпосылку, что принцип наименьшего действия по существу является механическим но это ограничение в его анализе уже несколько отступило на задний план, так как при рассмотрении многих систем, например гальванических токов, магнитов, ему не надо было входить в рассмотрение их специальных механических свойств. Зато Гельмгольц уже тогда предпринял решительный шаг, заключающийся в том, что кинетический потенциал он не стал выводить из энергии как разность кинетической и потенциальной энергий, что делалось до него, а, наоборот, взял за основу кинетический потенциал в качестве первичной величины и из него определил как все другие законы движения, так и величину энергии. [c.586]

Если Гельмгольц, по крайней мере в принципе, мог придерживаться предпосылки о том, что все физические процессы сводятся к движениям простых материальных точек, то выполнимость этого предположения относительно, например, электродинамических процессов стала с тех пор по меньшей мере сомнительной. Но несомненно, что принцип наименьшего действия полностью доказал свою применимость и плодотворность как раз в области не механической физики, а именно, в электродинамике чистого вакуума. Дж. Лармор (1900 г.), Г. Шварцшильд (1903 г.) и другие, не нуждаясь в каких бы то ни было механических гипотезах, вывели из принципа Гамильтона основные уравнения электродинамики и электронной теории. [c.587]

Сравнение принципа Якоби с принципом Гамильтона. Принцип наименьшего действия в форме Якоби не является непосредственным следствием принципа Гамильтона, так как экстремали е обоих принципах определяются при совершенно различных предположениях. Тем не менее, принцип Якоби может быть получег из принципа Гамильтона, если наложить определенные ограничени5 на рассматриваемую систему. [c.510]

М. В. Остроградский независимо от Гамильтона и в более общей форме установил один из основных принципов механики — принцип наименьшего действия. Ряд важных исследований Остроградского относится к гидромеханике, теории упругости и баллистике. Помимо обширпоии разносторонней научной деятельности, Остроградский вел также большую педагогическую работу, читая свои блестящие лекции во многих высших учебных заведениях. Он поднял преподавание механики и математики в России на высокий по тому времени уровень. Н. Е. Жуковский по достоинству оценил научные заслуги Остроградского, сказав в своей речи, посвященной его памяти Россия может гордиться именем Остроградского, и Москва, сердце России, хранит в стенах своего университета его высокие научные заветы . [c.24]

Уильям Роуан Гамильтон, видный ирландский математик, в статьях Об общем методе динамики , написанных в 1834—1835 гг., для определения движения вводит новые переменные и новые функции, формулируя общий принцип наименьшего действия. "При этом главная функция, зависящая от начальных и конечных координат и времени, равна сумме живых сил (Г) и сил напряжения (Я). Последние, называемые силовой функцией, для стационарных, то есть не изменяющихся во времени, консервативных систем (механических систем, при движении которых сумма Т- П постоянна), выражают полную энергию системы. [c.117]

Формулировка принципа. Ученые искали различные способы сведения уравнений движения к единому началу путем введения интегралов или функций, которые обращаются в минимум для действительного движения системы по сравнению с возможными 6an3KitMH движениями. Эта идея находит свое выражение прежде всего в принципе наименьшего действия (п. 486) затем следует более общий принцип Гамильтона (п. 483), из которого очень просто выводятся уравнения Лагранжа для голономных систем, но в случае систем не-голономных эти рассуждения и выводы становятся уже неверными. Мы займемся здесь принципом наименьшего принуждения Гаусса. Этот принцип, являясь наиболее общим, не вызывает к тому же никаких затруднений при его приложениях. Преимущество принципа состоит и в том, что он имеет простое аналитическое выражение, позволяющее свести нахождение уравнений движения произвольной системы, как голономной, так и неголономной, к нахождению минимума функции второй степени. [c.420]

Вначале мы остановимся на принципе наименьшего действия Гамильтона а рассмотрение исторически более раннего принципа Мопер-тюи отложим до 37. Принцип Гамильтона отличается от принципа Мо-пертюи тем, что в нем не должно варьироваться время. Это значит, что система проходит одновременно как через точку действительной траектории (с координатами ж/.), так и через соответствующую ей точку траектории, получаемой в результате варьирования (пусть координаты этой точки будут Xk + Sxk)- Таким образом, для принципа Гамильтона [c.243]

Принцип наименьшего действия в формулировке Гамильтона утверждает, что действительным движением, реализу-ющижя в природе, является то, для которого это действие принимает наименьшее значение . [c.18]

Я полагаю, что принцип наименьшего действия следует рассматривать как один из наиболее важных принципов механики. В самом деле, мы видим, как молодой Лагранж в одной из статей в Mis ellanea Taurinensia, представляющей собой бессмертную работу, стоящую выше всякой похвалы, в один прием выводит из этого принципа целиком всю аналитическую механику. Принцип возможных скоростей был введен лишь в последующих работах только для проведения методических доказательств. Почему же аналитическая механика, эта неблагодарная дочь, нашла нужным осудить принцип наименьшего действия как бесполезный Если работы Гамильтона и исследования, о которых я говорил выше, добавляют нечто существенное к аналитической механике, то этим мы обязаны как раз этому принципу. [c.290]

Вместо принципа наименьшего действия можно представить другой принцип, который также состоит в том, что первая вариация некоторого интеграла обращается в нуль, и из которого можно получить дифференциальные уравнения движения еще более просто, чем из принципа наименьшего действия. Этот принцип раньше оставался незамеченньш, вероятно, потому, что здесь вместе с исчезновением вариации вообще не получается минимум, как это имеет место для принципа наименьшего действия. Гамильтон был первым, исходившим из этого принципа. Мы воспользуемся этим принципом для того, чтобы представить уравнения движения в той форме, которую им дал Лагранж в аналитической механике. Пусть, прежде всего. [c.307]

Говоря в этой статье о принципе наименьшего действия, я хотел бы, чтобы под этим понимали не только первоначальную форму этого принципа, принадлежащую П. де Мопертюи ), которая, между прочим, лишь много позже (это сделал Лагранж) получила точное определение условий варьирования и полное докаэательство. Я хочу под этим названием, как самым старым и наиболее известным, понимать также различные преобразованные формы этого предложения, которые были развиты из принципа Мопертюи У. Гамильтоном ) Последний составил два дифференциальных [c.430]

Ж. Лагранж первый ясно сформулировал принцип наименьшего действия (1760 г.). Среди всех движений, которые приводят систему материальных точек при постоянной полной энергии из определенного исходного положения в определенное конечное положение, действительное движение производит минимальное действие. Следовательно, возможные движения должны удовлетворять принципу сохранения энергии, зато они могут происходить в любое время. В соответствии с этой формулировкой путь одной материальной точки без приложенной движущей силы таков, что она с постоянной скоростью и в кратчайщее время достигнет цели. В качестве кривой пути получается линия кратчайшей длины, т. е. для свободной точки — прямая линия. К. Якоби и У. Гамильтон показали впоследствии, что принцип допускает и совершенно иные формулировки. Особую важность для будущего представляла формулировка, которую предложил Гамильтон. В ней сравниваемые возможные движения не должны обладать постоянной полной энергией, а вместо этого все должны протекать в одно и то же время. Но в таком случае действие, которое для действительного движения принимает минимальное значение, надо выражать не интегралом по времени от кинетической энергии, данным Мопертюи, а интегралом по времени от разности между кинетической и потенциальной энергиями. В применении к указанному выше примеру материальной точки, движущейся без воздействия движущих сил, принцип из всех возможных кривых дает в качестве траектории ту, на которой точка в определенное время с наименьшей скоростью достигает своей цели, следовательно, опять-таки наикратчайшую линию. [c.585]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...