Действие по Гамильтону вариация

Действие по Гамильтону. Вариация действия [c.271]

В рассматриваемом случае (см. рис. VII.1) как так и — функции а. Поэтому вариация действия по Гамильтону может быть записана так [c.275]

На прямом пути удовлетворяются уравнения Лагранжа системы поэтому все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формуле (61), тождественно равны нулю. Отсюда сразу следует, что на прямом пути вариация действия по Гамильтону равна нулю, т. е. что прямой путь является экстремалью рассматриваемой вариационной задачи — на прямом пути действие по Гамильтону достигает стационарного значения. [c.279]

Обратим внимание теперь на то, что справедливо и обратное утверждение если соответствующая а = 0 кривая из пучка, представленного на рис. VI 1.2, такова, что действие по Гамильтону достигает на этой кривой стационарного значения и при а = 0 вариация действия равна нулю, то эта кривая удовлетворяет уравнению Лагранжа, т. е. является прямым путем. Действительно, если положить равной нулю вариацию действия в левой части уравнения (61) и вспомнить затем, что вариации координат б<7у независимы и могут быть выбраны произвольно, то отсюда следует, что выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла, порознь равны нулю, т. е. что уравнения Лагранжа удовлетворяются всегда, когда в формуле (61) левая часть обращается в нуль. [c.280]

Иг теграл (74) имеет вид действия по Гамильтону, заданного на однопараметрическом семействе кривых, и поэтому можно воспользоваться общей формулой (60) для вариации действии б/. В силу (60) имеем [c.289]

Для построенного таким образом семейства можно рассмотреть действие по Гамильтону и вариацию действия. Для вариации действия по Гамильтону воспользуемся формулой (60). Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что все кривые однопараметрического семейства являются прямыми путями и, следовательно, на них тождественно выполняются уравнения Лагранжа. Поэтому интеграл, стоящий в правой части формулы (60), в данном случае тождественно обращается в нуль, и формулы для приращения функционала содержат только проинтегрированную часть [c.295]

Принцип Гамильтона — Остроградского утверждает, что вариация действия по Гамильтону [c.215]

Принцип Гамильтона—Остроградского дает только необходимое условие стационарности, действия по Гамильтону на прямом пути. Для решения вопроса о характере экстремума следует определить знак второй вариации 6 5, Значите действия по Гамильтону на прямом пути по сравнению с окольными будет минимальным, если 6 S>0. Если промежуток времени ti—U выбрать достаточно малым, то условие б 5>0 будет выполнено н действие по Гамильтону на прямом пути будет минимальным по сравнению с окольными путями ), [c.220]

Равенство (65.42 ) составляет содержание принципа Гамильтона — Остроградского действительное движение системы между ее двумя заданными положениями отличается от кинематически возможных движений, совершаемых за тот же промежуток времени, тем, что для действительного движения вариация действия по Гамильтону (S) равна нулю. [c.99]

Вариация, экстремум, минимум, максимум, производная, условия инвариантности. .. действия по Гамильтону. [c.21]

Каковы свойства изохронной вариации 2. В чем заключается принцип Гамильтона — Остроградского 3. Что собой представляет действие по Гамильтону [c.123]

Операции асинхронного варьирования функции и функционала обозначим так же, как и вариации варьирования обобщённых координат, через А. Напомним, что операция 5 выполняется изохронно. Применительно к функции Лагранжа Ь и функционалу б (действие по Гамильтону) имеем следующие выражения вариаций [c.67]

При совместном использовании синхронных и асинхронных вариаций получен расширенный аналог (обобщение) центрального уравнения Лагранжа. На основе этого уравнения составлено интегральное равенство (называемое здесь центральным интегральным равенством), связывающее действие по Лагранжу и действие по Гамильтону. Полученное интегральное равенство позволяет находить синхронные и асинхронные вариации действия при различных вариантах задания условий варьирования концевых точек траектории. Из центрального интегрального равенства как частные случаи следуют классические принципы стационарного действия и другие интегральные выражения изменения действия при варьировании. [c.106]

Таким образом, равенство нулю изохронной вариации действия по Гамильтону [c.108]

Мерой механического движения в принципе Гамильтона является функционал 8ц, называемый действием по Гамильтону. Чтобы выявить экстремальные свойства действия 8н для реально происходящих движений, нужно выбрать пучок (множество) близких траекторий в пространстве конфигураций и произвести для них вычисления функционала 8ц. Выбор пучка траекторий сравнения играет важную роль для понимания сути принципа Гамильтона. Рассмотрим сначала понятие вариации функции. [c.124]

Так как вариация действия, по Гамильтону, для истинного движения равна нулю, то, учитывая (11) и (12), мы можем написать [c.130]

Известно, что в точках, в которых функция / х,,. .., х принимает стационарное значение, полный дифференциал й/ равен нулю. Различение характера этих точек стационарности (минимум, максимум, отсутствие минимума или максимума) производится по знаку второго дифференциала (Р/, а в исключительных случаях по членам более высокого порядка. Подобно этому обраш,ение в нуль вариации о5 является лишь необходимым условием стационарности действия по Гамильтону на истинном пути. Установление же характера экстремума связано с рассмотрением знака второй вариации 25, причем минимум действия осуществляется при 8 5 > 0. Ограничиваясь случаем стационарных связей, сравнительно нетрудно установить наличие минимума действия 8 при достаточно малом промежутке времени — 0- этого составим выражение приращения ДА кинетического потенциала при переходе к окольному пути, вычислен- [c.649]

Говорят, что действие по Гамильтону имеет стационарное значение, если его первая вариация 65 равна нулю [c.226]

Функции qi=ц,i q ., pi=щ q , рР, ) (г = 1, п) зада-ЮТ уравнения движения гамильтоновой системы в конечной форме. Используя общую формулу для вариации действия по Гамильтону, показать, что преобразование = (pi qj, Pj, 1), р = i qj, Pj, 1) i = = 1, п) является унивалентным каноническим преобразованием, т. е. что движение гамильтоновой системы представляет собой процесс непрерывного канонического преобразования фазового пространства. [c.242]

Далее потребуется формула вариации действия по Гамильтону. Имеется ввиду следуюш,ее путь ( (1) варьируется (включается в семейство для каждого члена семейства вычисляется действие по Гамильтону [c.89]

Для семейства прямых путей формула вариации действия по Гамильтону (21.3)) имеет вид [c.119]

Действие по Гамильтону 3, являясь функцией от ж и i, зависит еще от выбора точки хо, т. е. от п произвольных параметров. Поскольку dt = 0 при t = to, то по формуле вариации действия [c.75]

Таким образом, действительное движение голономной системы отличается от близких к нему окольных движений, совершающихся за то же самое время между теми же крайними положениями, тем, что для него первая вариация действия по Гамильтону, вычисленная за любой фиксированный промежуток времени, равна нулю [c.287]

Если бы мы были вправе рассматривать величины Sqk и Spk как независимые вариации, то непосредственно получили бы уравнения Гамильтона (41.4), приравняв нулю порознь множители при Sqk и Spk-Это, однако, недопустимо хотя qk и pk и входят в Н как независимые переменные, но при вычислении интеграла действия они связаны между собой временной зависимостью, точно так же, как и в равенстве (41.6), вследствие чего мы и должны были проделать интегрирование по частям. Однако если мы возьмем частную производную по р от выражения (41.1) (при фиксированных ), то убедимся, что выражение во вторых фигурных скобках формулы (41.7) тождественно обращается в нуль отсюда мы вполне строго заключаем, что и выражение в первых фигурных скобках формулы (41.7) должно быть равно нулю. [c.291]

О чем в обоих принципах идет речь, я сейчас, по крайней мере, упомяну, рассмотрев еще раз движение шара. Шар при своем действительном движении, являющемся чистым качением, занимает непрерывную последовательность положений. Применение названных принципов требует небольшого изменения движения. Чтобы осуществить последнее, мы прежде всего сдвинем немного каждое из пройденных шаром положений так, что возникнет вторая непрерывная последовательность положений в то же время положения этой новой последовательности находятся в соответствии с положениями первой последовательности. Этим второе движение полностью еще не определено, ибо не указано, что в обоих движениях соответствующие положения проходятся одновременно в принципе Гамильтона это требуется, тогда как принцип наименьшего действия устанавливает нечто другое. Но оба принципа следует здесь применять, считая, что упомянутые малые смещения щара получаются путем одного качения, в то время как Герц в противоречии с этим применил условие, что и второе, т. е. варьированное, движение само является качением без скольжения. Если правильно выполнить вариации, то получается качение шара, которое Герц охарактеризовал [c.540]

Записанный так функционал, определенный на пучке (40), носит название действия по Гамильтону и играет важную роль при исследовании движения а потенциэотьных полях. Из сказанного следует, что движение, удовлетворяют, е уравнениям Лагранжа, представляет экстремаль функционала (48). В следующем параграфе мы докажем приведенную выше теорему Эйлера для однопараметрического пучка специального типа, пока же выведем формулу для вариации действия эта формула потребуется нам в дальнейшем. [c.275]

Это равенство выражает принцип Гамильтона—Остро-градского для г о л о н о м н о й системы в случае существования II о т е Г) н и а л а си л среди всех сравниваемых) путей прямой путь выделяется тем. что для него действие по Гамильтону имеет стационарное значенае (т. в. первая вариация bS па прямом пути равна, нулю). [c.334]

Пусть точки Ао и А расширенного координатного пространства отвечают начальному и конечному положениям системы (рис. 165). Если точки и А достаточно близки, то действие S на прямом пути имеет минимум. Выясним, насколько близкими должны быть точки Ао и Ai, чтобы на прямом пути действие оста-валось минимальным . На прямом пути AqAi первая вариация 8S действия по Гамильтону всегда равна нулю. Если точка А близка к точке Aq, то в силу минимальности действия вторая вариация 8 S на прямом пути положительна . Будем удалять точку А от точки А . [c.479]

Пусть t — то значение i, при котором вариация 8 S вычисленная на окольном пути AqHAi в первый раз обращается в нуль (рис. 170). Следовательно, действия по Гамильтону на путях AqHAi и AqBAi равны с точностью до членов второго порядка включительно относительно [c.479]

Для вывода формулы асинхронной вариации действия по Гамильтону обратимся к интегральному равенству (11). При условиях на концах (12) перепищем (11) в следующей форме [c.109]

Наложим дополнительные ограничения на варации Ьг . Чтобы представить геометрически эти ограничения, рассмотрим движение системы в 5-мерном пространстве конфигураций. Действительному движению системы соответствует некоторая линия ( траектория системы ), проходящая через две заданные точки Л и . Точка А соответствует конфигурации системы в момент и, точка Е — конфигурации системы в момент Метод синхронного варьирования, разъясненный нами выше, есть не что иное, как строго определенная процедура проб. Мы слегка изменяем истинную траекторию системы в пространстве конфигураций и сравниваем величины действия, по Гамильтону, на истинной и варьированной траектории. Мы будем считать далее, что действительная и варьированная траектории ( трубка траекторий сравнения) проходят через заданные начальную А и конечную Е точки в пространстве конфигураций и, следовательно, время движения системы от Л до для всего пучка (множества) траекторий сравнения остается одним и тем же. Фиксация точек Л и в пространстве конфигураций означает также, что вариации координат системы в положениях А и В равны [c.127]

Первое слагаемое есть кинетическая энергия системы (ка1 обычно /г 1 = /г. =0 — фиктивные интервалы (см. гл. 1, 4)). второе — ее тепловая энергия. В прпицппе, для построения уравиений, описывающих эволюцию рассматриваемой снстемы, нужно определить разностный апалог действия по Гамильтону 8,.. вычислить его первую вариацию, приравнять ее пулю и т. д. Однако можпо непосредственно воспользоваться общими формулами, нолученпымн в п. 1, и в частности, уравнениями Лаграпжа (4.6 ) [c.388]

Вариационный принцип Гамильтона—Острофадского формулируется следующим образом функционал действие по Гамильтону принимает стационарное значение на действительной траектории в классе окольных траекторий, т.е. вариация Si lyo] = 0. [c.147]

Интеграл от лагранжиана по времени, входящий в соотпошспие (35), называют интегралом действия. Принцип Гамильтона для консервативных систем может быть сформулирован таким образом истинное движение системы под действием консервативных сил происходит так, что на любых изохронных вариациях, обращающихся в нуль на концах отрезка (t , ti), вариация от интеграла действия обращается в нуль (или, иначе, интеграл действия принимает для истинного движения стационарное значение). [c.38]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФОРМ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСГГИНКИ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ. Условие (9.27) обращения в нуль первой вариации действия по Остроградскому — Гамильтону будет выполнено для формы w x, у), удовлетворяющей уравнению [c.350]

Случай консервативных сил. Принцип Гамильтона приобретает особенно простую и наглядную форму, когда силы, действующие на материальную систему, имеют потенциал U. При этом предположении, как уже было отмечено в п. 7, виртуальная работа L не отличается от вариации (полного дифференциала) ьЦ, которую испытывает потенциал при переходе от естественного движения к синхронно-варьиро-ванному движению. Поэтому, принимая во внимание свойство переместительности операций варьирования и дифференцирования (S и djdt), а следовательно, также и операций варьирования и интегрирования по времени, мы будем тождественно иметь [c.402]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...