Действие по Гамильтону минимум

Эти утверждения верны только в том случае, когда на выбор окольных путей не накладываются какие-либо дополнительные условия. Если же при наличии на прямом пути кинетического фокуса ограничиться выбором окольных путей, также проходящих через этот фокус, то на прямом пути будет достигаться минимум действия по Гамильтону, [c.283]

Обратимся вновь к рис. VI 1.3. Из точки А в точку В ведут два прямых пути —по меньшей и по большей дугам большого круга выбор одного из них определяется направлением начальной скорости. Путь по меньшей дуге не проходит через точку Л, и на этом пути действие по Гамильтону достигает минимума путь по большей дуге проходит через кинетический фокус А, и на этом пути действие также достигает стационарного значения, но уже не минимально. [c.284]

Принцип Гамильтона состоит в следующем функции и (), , удовлетворяющие уравнениям Лагранжа, т. е. выражающие истинное движение системы под действием данных сил, удовлетворяют в то же время необходимым условиям того, чтобы действие по Гамильтону могло принять экстремальное значение (максимум или минимум) сравнительно со значениями во всех других возможных близких [c.375]

Принцип Гамильтона состоит в следующем функции и У1, удовлетворяющие уравнениям Лагранжа (выражающие истинное движение системы под действием данных сил), удовлетворяют в то же время необходимым условиям экстремальности действия по Гамильтону, т. е. действие по Гамильтону имеет максимум или минимум сравнительно со значениями во всех других возможных близких движениях системы, переводящих ее из начального положения (при <= о) в конечное (t = tl). [c.405]

Вариация, экстремум, минимум, максимум, производная, условия инвариантности. .. действия по Гамильтону. [c.21]

Действие по Гамильтону принимает что (экстремальное значение...), достигает чего (максимума, минимума...), имеет размерность, зависит от чего (от промежутка времени, от характера движения системы...), является чем (функцией параметра...), вычисляется для чего (для различных движений...). [c.21]

Проведенное рассуждение показывает, что если конечная точка Ai лежит перед кинетическим фокусом, сопряженным с начальной точкой Ао, то действие по Гамильтону на прямом пути A Ai имеет минимум. [c.480]

Принцип Гамильтона (6.16) может быть сформулирован и более кратко [189] действие по Гамильтону 8н имеет стационарное значение, если 68н = 0. Доказывается также (см. работы [177, 208]), что действие 8н в этом случае принимает не только стационарное значение, но имеет при этом только минимум. [c.180]

В вариационном исчислении доказывается, что на самом деле экстремаль действия по Гамильтону обращает его в минимум. [c.119]

Известно, что в точках, в которых функция / х,,. .., х принимает стационарное значение, полный дифференциал й/ равен нулю. Различение характера этих точек стационарности (минимум, максимум, отсутствие минимума или максимума) производится по знаку второго дифференциала (Р/, а в исключительных случаях по членам более высокого порядка. Подобно этому обраш,ение в нуль вариации о5 является лишь необходимым условием стационарности действия по Гамильтону на истинном пути. Установление же характера экстремума связано с рассмотрением знака второй вариации 25, причем минимум действия осуществляется при 8 5 > 0. Ограничиваясь случаем стационарных связей, сравнительно нетрудно установить наличие минимума действия 8 при достаточно малом промежутке времени — 0- этого составим выражение приращения ДА кинетического потенциала при переходе к окольному пути, вычислен- [c.649]

Проведенное геометрическое рассмотрение позволило установить наличие минимума действия по Гамильтону на истинном пути, не проходяш.ем через сопряженный кинетический фокус, и отсутствие минимума на пути, его содержаш.ем. Однако оно не дает средств для разыскания сопряженного данному начальному положению кинетического фокуса и не решает вопроса о его существовании. [c.652]

Если в промежутке времени t, определитель (20) не обращается в нуль (т. е. истинный путь не проходит через кинетический фокус), то действие по Гамильтону имеет минимум и существует единственное решение краевой задачи. [c.660]

На этом примере проведем вычисление, подтверждающее вышеприведенное геометрическое доказательство отсутствия минимума действия по Гамильтону на пути, по которому проходится кинетический фокус, соответствующий начальному положению. Пусть конечная точка прямого пути(48)про- [c.663]

Вариант С = О противоречит (23.18), вариант С фОс учетом О < Т < тг противоречит (23.17). Следовательно, при любом (с учетом (23.15)) нетривиальном варьировании (см. (23.18)) выполняется И "(0) > 0 действие по Гамильтону на прямом пути принимает строгий минимум. [c.107]

Рассмотрим какой-либо прямой путь, идуш,ий из точки А в точку В. Если на этом прямом пути между точками Л и В нет кинетического фокуса, то интересуюший нас экстремум действия по Гамильтону является минимумом. В том же случае, когда между точками Л и 5 на прямом пути располсжен кинетический фокус, то действие по Гамильтону хотя и экстремально на прямом пути, но утверждение, что этим экстремумом всегда является минимум действия, уже не верно в зависимости от условий исследуемой динамической задачи это может быть минимум, максимум или экстремум иного типа ). [c.283]

Пусть точки Ао и А расширенного координатного пространства отвечают начальному и конечному положениям системы (рис. 165). Если точки и А достаточно близки, то действие S на прямом пути имеет минимум. Выясним, насколько близкими должны быть точки Ао и Ai, чтобы на прямом пути действие оста-валось минимальным . На прямом пути AqAi первая вариация 8S действия по Гамильтону всегда равна нулю. Если точка А близка к точке Aq, то в силу минимальности действия вторая вариация 8 S на прямом пути положительна . Будем удалять точку А от точки А . [c.479]

T. e. действие на построенном окольном пути меньше, чем на прямом. Поэтому действие на прямом пути не имеет минимума. Оно не может иметь и максимума, так как на малых участках прямого пути AqBAiF действие минимально. Таким образом, если фокус, сопряженный с начальной точкой, лежит перед конечной точкой прямого пути, то действие по Гамильтону не имеет на прямом пути ни минимума, ни максимума. [c.480]

Подведем итог полученным результатам. Прямой путь, соответствующий начальным данным to = О, жо, жо, содержит в пространстве R t,x) ближайший к начальной точке (О, жо) кинетический фокус (тг, — Жо). Если на интервале [0,Т] фокус отсутствует (Т < тг), то при любом нетривиальном варьировании (граничные точки не варьируются) действие по Гамильтону (23.9) принимает на прямом пути строгий минимум, что соответствует утверждению теоремы 23.3. Если фокусы расположены на границах интервала [0,Т = тг], то существует варьирование x(t,a) = x(t) + а sini прямого пути ж(i), для которого выполняется W (а) = О (проверяется подстановкой в [c.109]

Таким образом, в случае, когда фокусы на границгк и только на границах прямого нути, нрн варьировании M(i) = y t)/ (О < С < оо) нетривиального решения x t) ф О стационарность действия по Гамильтону соответствует точке перегиба. В прочих случаях (ii(i) = y(i)/С, О < С < оо для решения х ) = О или и ) ф y t)l для любого решения) — строгому минимуму (см. (23.43)). [c.116]

Кроме задачи Коши (когда по состоянию системы в заданный момент времени надо найти движение), в механике важное значение имеет краевая задача найти движение 1 х 1), которое в заданные моменты времени о и Ь принимает заданные значения жо и Ж1. В отличие от задачи Коши, краевая задача разрешима не всегда. Наиболее эффективным методом доказательства ее разрешимости является вариационный метод среди кривых с закрепленными концами ищется стационарное значение (обычно минимум) действия по Гамильтону. Например, в отсутствие внешних сил (тогда траектории будут геодезическими метрики на М, определяемой кинетической энергией) краевая задача имеет решение, если все движения нестеснены, т. е. определены на всей оси времени (теорема Хопфа—Ринова). Эти две задачи имеют еще одно существенное отличие краевая задача может иметь несколько различных решений. Простейшим примером служат навесные и настильные траектории снарядов. Более сложный пример доставляет теорема Серра любые две точки компактного риманова многообразия можно соединить бесконечным числом различных геодезических. Единственности решения краевой задачи препятствуют сопряженные точки, где пересекаются бесконечно близкие траектории, выходящие из одной точки. [c.72]

Формулировка принципа. Ученые искали различные способы сведения уравнений движения к единому началу путем введения интегралов или функций, которые обращаются в минимум для действительного движения системы по сравнению с возможными 6an3KitMH движениями. Эта идея находит свое выражение прежде всего в принципе наименьшего действия (п. 486) затем следует более общий принцип Гамильтона (п. 483), из которого очень просто выводятся уравнения Лагранжа для голономных систем, но в случае систем не-голономных эти рассуждения и выводы становятся уже неверными. Мы займемся здесь принципом наименьшего принуждения Гаусса. Этот принцип, являясь наиболее общим, не вызывает к тому же никаких затруднений при его приложениях. Преимущество принципа состоит и в том, что он имеет простое аналитическое выражение, позволяющее свести нахождение уравнений движения произвольной системы, как голономной, так и неголономной, к нахождению минимума функции второй степени. [c.420]

В связи со сказанным становится ясным, почему параллельно с развитием теории программного управления с самого начала построения теории оптимальных процессов ставилась задача о нахождении управляющих сил и сразу в виде функции от текущих координат хг (1) управляемого объекта. При этом получил наибольшее распространение тот подход к рассматриваемым задачам о синтезе, который развивад-ся по пути методов динамического программирования. Этот метод соответствует известным в вариационном исчислении рассуждениям о распространении возбуждений. С точки зрения вариационных принципов механики метод динамического программирования аналогичен введению функции действия и приводит соответственно к уравнениям типа уравнений Гамильтона — Якоби в частных производных. Таким образом, уравнения в частных производных, вытекающие из методов динамического программирования, связаны с обыкновенными дифференциальными уравнениями, фигурирующими, например, в принципе максимума, подобно тому как в аналитической механике уравнения Гамильтона — Якоби для функции 8 свйзаны с соответствующими уравнениями движения в форме Лагранжа или Гамильтона. Основу метода динамического программирования составляет функция V [т, х], которая имеет смысл минимума (максимума) оптимизируемой величины /[т, л (т)] (0 (т< < 1, т> о —текущий момент времени, 1 — момент окончания процесса), рассматриваемой как функция от начальных, временно фиксируемых условий г, х (т) = х, т. е. [c.203]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...