Пути прямой и окольный. Действие по Гамильтону

Пусть Ъи — положение точки в конечный момент времени t движения системы, а 7 , и 7 — кривые, по которым перемещается точка Pi, при движении системы соответственно по прямому и любому из окольных путей (рис. 169). Сравним действие по Гамильтону на прямом и окольном путях. Для этого возьмем на пути 7 точку с у, отвечающую моменту времени где to < t < а также бесконечно близкую ей точку е у, отвечающую моменту t + dt. Проведем траектории а уС у для некоторого вспомогательного действительного движения точек Р у, при котором они за время t — to приходят из начальных положений а у в их положения с у, расположенные на кривой 7 , отвечающей окольному пути. Аналогично, пусть кривые aj ei будут траекториями еще одного вспомогательного движения, при котором точки Р у за время t dt — to приходят из положений а у в положения е у на кривой 7 . И вообще проведем траектории таких вспомогательных действительных движений для всех положений точек Р у на кривой 7 (г = 1, 2,. .., 7V). [c.477]

Таким образом, показано, что если начальное и конечное положения системы достаточно близки, то действие по Гамильтону на прямом пути имеет минимальное значение по сравнению с его значениями на окольных путях, проходимых за то же время ). [c.338]

При любом а в том числе и при достаточно малых а, когда прямой и окольные пути могут быть сколь угодно близкими) величина (22) меньше величины (23), т. е. действие по Гамильтону на прямом пути меньше, чем на окольном, [c.476]

Интегрируя это неравенство от t = to j o t = ti и вводя обозначения 5np и 5ок для действия по Гамильтону на прямом и окольном путях системы, получим [c.479]

Остается подсчитать действия по Гамильтону на прямом и окольном путях [c.664]

Принцип Гамильтона — Остроградского дает только необходимое условие стационарности действия по Гамильтону на прямом пути. Для решения вопроса о характере экстремума следует определить знак второй вариации 6 5. Значение действия по Гамильтону на прямом пути по сравнению с окольными будет минимальным, если Если промежуток времени iт—tY выбрать достаточно малым, то условие 6 5 > О будет выполнено и действие по Гамильтону иа прямом пути будет минимальным по сравнению с окольными путями [c.220]

КПК движение по окольному нути происходит за тот же промежуток в )емени, что и по прямому, то скорость дви>кения по прямому пути будет миинмальноп. Если же дуга MqM будет больше лЛ, то наименьшее. чиачение действия по Гамильтону будет достигаться по дополнительной кратчайшей дуге [c.224]

T. e. действие на построенном окольном пути меньше, чем на прямом. Поэтому действие на прямом пути не имеет минимума. Оно не может иметь и максимума, так как на малых участках прямого пути AqBAiF действие минимально. Таким образом, если фокус, сопряженный с начальной точкой, лежит перед конечной точкой прямого пути, то действие по Гамильтону не имеет на прямом пути ни минимума, ни максимума. [c.480]

Доказанное нами свойство интеграла (35.2) и составляет содержание принципг Гамильтона (Hamilton). Сам интеграл W обыкновенно называют действием по Гамильтону и самому принципу дают такое выражение гамильтоново действие по прямому пути из данного начального положения системы в данное конечное положение имеет ста1[ионарное значение по сравнению с действиями по окольным путям, идущими между теми же [c.361]

Если расстояние между начальной точкой Л1о и конечной точкой Ms (рис. 8.I) будет меньше yiR, то любой окольный путь между sriiXfH точками будет больше, чем дуга большого круга MoMg, Атак к НК движение по окольному пути происходит за тот же промежуток времени, что и но прямому, то скорость движения по прямому пути будет минимальной. Если же дуга A IqAiu будет больше Jti , то наименьшее значение действия по Гамильтону будет достигаться, по до-полните ьноп кратчайшей дуге Ai Ai . [c.224]

Рассмотрим теоретическое обоснование и применение метода Галёркина только к случаю колебаний системы с одной степенью свободы, в общем случае нелинейной. Из курса теоретической механики известен вариационный принцип Гамильтона, который в применении к консервативным системам говорит о том, что при сравнении движения по прямому пути (истинное движение) и по окольному пути (возможное движение, близкое к истинному) действие за некоторое время т [c.169]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...