Действие (интеграл действия) по Гамильтону

Действие (интеграл действия) по Гамильтону 36, 38, 245, 247, 248 Декремент колебаний логарифмический 100, 101, 133 [c.476]

На прямом пути удовлетворяются уравнения Лагранжа системы поэтому все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формуле (61), тождественно равны нулю. Отсюда сразу следует, что на прямом пути вариация действия по Гамильтону равна нулю, т. е. что прямой путь является экстремалью рассматриваемой вариационной задачи — на прямом пути действие по Гамильтону достигает стационарного значения. [c.279]

Обратим внимание теперь на то, что справедливо и обратное утверждение если соответствующая а = 0 кривая из пучка, представленного на рис. VI 1.2, такова, что действие по Гамильтону достигает на этой кривой стационарного значения и при а = 0 вариация действия равна нулю, то эта кривая удовлетворяет уравнению Лагранжа, т. е. является прямым путем. Действительно, если положить равной нулю вариацию действия в левой части уравнения (61) и вспомнить затем, что вариации координат б<7у независимы и могут быть выбраны произвольно, то отсюда следует, что выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла, порознь равны нулю, т. е. что уравнения Лагранжа удовлетворяются всегда, когда в формуле (61) левая часть обращается в нуль. [c.280]

Для построенного таким образом семейства можно рассмотреть действие по Гамильтону и вариацию действия. Для вариации действия по Гамильтону воспользуемся формулой (60). Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что все кривые однопараметрического семейства являются прямыми путями и, следовательно, на них тождественно выполняются уравнения Лагранжа. Поэтому интеграл, стоящий в правой части формулы (60), в данном случае тождественно обращается в нуль, и формулы для приращения функционала содержат только проинтегрированную часть [c.295]

Интеграл называется. .. действием по Гамильтону. [c.21]

Если бы мы были вправе рассматривать величины Sqk и Spk как независимые вариации, то непосредственно получили бы уравнения Гамильтона (41.4), приравняв нулю порознь множители при Sqk и Spk-Это, однако, недопустимо хотя qk и pk и входят в Н как независимые переменные, но при вычислении интеграла действия они связаны между собой временной зависимостью, точно так же, как и в равенстве (41.6), вследствие чего мы и должны были проделать интегрирование по частям. Однако если мы возьмем частную производную по р от выражения (41.1) (при фиксированных ), то убедимся, что выражение во вторых фигурных скобках формулы (41.7) тождественно обращается в нуль отсюда мы вполне строго заключаем, что и выражение в первых фигурных скобках формулы (41.7) должно быть равно нулю. [c.291]

Этот интеграл называется действием по Гамильтону. Так как L — функция то для вычисления величины S нужно задать функ- [c.474]

Будет ли действие принимать экстремальное значение на прямом пути, т. е. будет ли значение интеграла (16), вычисленное на прямом пути, наименьшим или наибольшим по сравнению с его значениями на окольных путях Ответ на этот вопрос будет получен в следующем пункте, а сейчас рассмотрим пример, показывающий, что в некоторых случаях действие по Гамильтону на прямом пути имеет меньшее значение, нежели на окольном. [c.474]

Опыт показывает, говорит Гамильтон, что во всех случаях, когда мы имеем дело с распространением света в каких-либо средах при самых разнообразных условиях, траектория луча оказывается подчиненной одному основному соотношению. Это соотношение гласит, что путь распространения света от одной точки к другой всегда оказывается таким, что если его сравнить с другими бесконечно близкими линиями, при помощи которых могут быть соединены эти точки в мысли и в геометрии, то некоторый интеграл, или сумма, называемый часто действие и зависящий по определенным правилам от длины и положения траектории и среды, в которой распространяется свет, меньше всех подобных интегралов для других соседних линий ). [c.809]

Нетрудно убедиться, что интеграл уравнения (42.21) представляет собой попрежнему действие по Гамильтону. Действительно, из уравнения (42.21) следует [c.453]

Решение. Составим интеграл действия по Гамильтону, используя те же координатные функции, что и Б предыдущих примерах, [c.247]

Во втором приближении Оц принимаем согласно (17.346), а производные от VI и V2 согласно (17.347)2 и (17.348). Интеграл действия по Гамильтону при этом приобретает вид ( I [c.248]

Интеграл действия по Гамильтону / на постоянный множитель тср/2(в отличается от функционала [c.348]

Принцип Гамильтона утверждает, что движение системы на промежутке времени [ о, ] должно быть таким, чтобы интеграл, называемый действием по Гамильтону (мера механического движения). [c.72]

Действие по Гамильтону и его свойства. Можно по-разному подходить к задаче интегрирования канонических уравнений Гамильтона. В частности, ее можно связать со свойствами некоторого интеграла, взятого вдоль интегральной кривой. [c.469]

Ограничение содержания аналитической динамики изучением непрерывных групп преобразований, по отношению к которым известные динамические показатели движения механической системы являются инвариантными показателями. Эта тенденция вызывается тем, что с помощью бесконечно малых преобразований, оставляющих действие по Гамильтону инвариантным до дивергенции, можно получить первые интегралы канонических уравнений, используя теорему Нетер. А канонические преобразования с заданным гамильтонианом преобразованной системы, как уже было отмечено, позволяют составить уравнения в частных производных, полный интеграл которых определяет искомые первые интегралы. Усилению этой тенденции способствует еще и возможность интерпретации самого движения механической системы как последовательность бесконечно малых преобразований координат и импульсов системы. [c.43]

Интеграл в левой части (6) является криволинейным по траектории (в пространстве координат-времени) из начального положения в конечное. Интегралы в равенстве (6) называют действием по Гамильтону [c.26]

Таким образом, изменение действия механической части системы Четаева отличается от изменения действия по Гамильтону-Остроградскому на интеграл по времени от величины, пропорциональной виртуальной работе принуждений реакций . Коэффициент пропорциональности удовлетворяет равенству (29). [c.127]

Экстремаль действия по Гамильтону будет экстремалью функционала, в котором вместо функции Лагранжа стоит произвольная дифференцируемая и монотонная функция от функции Лагранжа. В частности, на действительных траекториях минимальным будет интеграл [c.119]

Определение. Интеграл (16) носит название действия по Гамильтону. [c.198]

Согласно доказанной теореме, мыслима следующая процедура нахождения в расширенном конфигурационном пространстве кривой г(0, которая определяет действительное движение системы. Надо найти такую кривую r(i), удовлетворяющую (4), (5), чтобы по отношению к любым допустимым кривым t, т) (x(i, 0) = г(0) интеграл действия принимал стационарное значение на кривой r(i) = t, 0). Такой способ выделения действительного движения носит название вариационного принципа Гамильтона. [c.198]

Таким образом, каждой задаче рассматриваемого класса соответствует некоторая функция Лагранжа L(q, д, а траекториями движения являются кривые в на которых интеграл действия по Гамильтону (функционал) принимает стационарное значение по сравнению с близкими кривыми. В вариационном исчислении такие кривые называются экстремалями функционала. Это не произвольные кривые в они описываются уравнениями (6). [c.224]

Составим теперь кинетический потенциал I/ = 7" — П, а затем интеграл действия по Гамильтону (4.5), отбросив при этом несущественную постоянную По [c.233]

При фиксированном значении в настоящее время этот интеграл называется действием по Гамильтону. (Прим. ред.) [c.339]

Результат варьирования д(1,а) прямого нути отобразится в пространство новых переменных Действие по Гамильтону Ш а) есть вычисление одного и того же интеграла в разных переменных, поэтому в новых переменных функция (а) останется прежней. По-прежнему а = О есть стационарная точка W(a), поэтому в силу принципа Гамильтона образ д ) прямого пути q t) есть решение уравнений Лагранжа, а функция Лагранжа Ь совпадает с функцией, стояш,ей под интегралом в новых переменных. Подсчет этой функции приводит к результату [c.94]

Здесь V — поле на М, зависящее от 1. Если фазовый поток этой системы сохраняет действие по Гамильтону, то уравнения Лагранжа (5.7) имеют интеграл [c.58]

Интеграл (9) называют действием по Гамильтону по отношению к данному семейству. [c.102]

ИЗ. Сравнивая (lOi), (Юз) и (8), получим, что р° = а, q° = v. Поэтому результат, изложенный в 105, можно рассматривать как частный случай результата, указанного в 109, когда полный интеграл (6) уравнения (5) представляет собой действие по Гамильтону (9), удовлетворяющее условию (И). По существу в 105 и 109 изложены одни и те же идеи, так как в обоих случаях речь идет о выборе канонического преобразования, которое переводит данную гамильтонову систему (li) в другую гамильтонову систему (1г), для которой функция Гамильтона К у, i) = = К и, V, I) обращается тождественно в нуль. [c.103]

Интеграл (7г) называется действием (по Гамильтону), а интеграл (7з) — изоэнергетическим действием, соответствующим данной кривой д = Разумеется, интеграл (7г) (но не (7з)) можно рассматривать и тогда, когда кривая 5 = д(0 не удовлетворяет соотношению Т — II = к. [c.153]

Определенный интеграл от функции Лагранжа по времени носит название действие по Гамильтону. Размерность действия для механических систем равна произведению размерностей энергии и времени. Действие по Гамильтону будем обозначать через 5 [c.247]

Следовательно, действие по Гамильтону в фазовом пространстве представляет собой интеграл от функции Л по времени (функционал), вычисленный в пределах от tx до [c.302]

Принцип относительности Галилея дает нам группу преобразований, которая не изменяет характер движения, а значит, не меняет и функцию Лагранжа и интеграл от этой функции, т.е. не меняет действие по Гамильтону. Эти преобразования координат и времени включают 1) сдвиг системы отсчета в пространстве 2) изменение начала отсчета времени 3) поворот системы координат в пространстве 4) равномерное прямолинейное движение системы отсчета. По теореме Нетер каждое из этих преобразований приводит к определенному закону сохранения. [c.292]

Доказанное нами свойство интеграла (35.2) и составляет содержание принципг Гамильтона (Hamilton). Сам интеграл W обыкновенно называют действием по Гамильтону и самому принципу дают такое выражение гамильтоново действие по прямому пути из данного начального положения системы в данное конечное положение имеет ста1[ионарное значение по сравнению с действиями по окольным путям, идущими между теми же [c.361]

Интеграл от лагранжиана по времени, входящий в соотпошспие (35), называют интегралом действия. Принцип Гамильтона для консервативных систем может быть сформулирован таким образом истинное движение системы под действием консервативных сил происходит так, что на любых изохронных вариациях, обращающихся в нуль на концах отрезка (t , ti), вариация от интеграла действия обращается в нуль (или, иначе, интеграл действия принимает для истинного движения стационарное значение). [c.38]

Решение. Запишем интеграл уравнения движения в виде i7=Asin(ei+a) Если выбрать q так, что q = 0 при /=0, то а=0 и q=A sin kt. Действительному перемещению осциллятора соответствует дуга синусоиды А sin kt (рис. 3.5.1). Вычислим действие по Гамильтону S по дуге ОЕВ и по какой-либо дуге сравнения, например по хорде OFB, и докажем, что Soeb .Sofb. [c.120]

Заменание. Если действие по Гамильтону инвариантно по отношению к некоторой группе, содержащей преобразование времени, то первый интеграл, доставляемый обсуждаемой теоремой, малополезен, поскольку он оказывается зависящим от времени и, следовательно, не позволяет понизить порядок автономной системы ( 27). [c.283]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Отсюда вытекает эквивалентность интеграла действия и относительного интегрального инварианта в рассматриваемом случае ). Значение интеграла действия определяется прежде всего тем, что он является каноническим импульсом в переменных действие — угол (см. 1.2в). Помимо этого, он оказывается адиабатическим инвариантом движения, т. е. остается приблизительно постоянным в случае медленного, по сравнению с периодом колебаний, изменения гамильтониана со временем. Адиабатическое постоянство действия подробно рассматривается в 2.3 и имеет фундаментальное значение для понимания регулярного движения в системах с гамильтонианом, зависящим от времени, и в системах с несколь-ки.ми степенялш свободы. [c.31]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...