Метод понижения порядка

Дается сравнительная характеристика методов понижения порядка матриц при исследовании собственных значений. Указаны вычислительные трудности, возникающие при их использовании, и способы их преодоления. [c.183]

Метод понижения порядка 1 О я) — 225, 226 [c.70]

Методы понижения порядка. Ниже рассматриваются различные виды уравнений порядка выше первого, для которых могут быть указаны способы их интегрирования или хотя бы способы понижения порядка, т. е. сведения задачи об интегрировании исходного уравнения к интегрированию уравнения более низкого порядка. [c.225]

Рис. 13-19. Структурная схема набора для решения линейного дифференциального уравнения по методу понижения порядка производной.

НОЙ. При наборе задачи по методу понижения порядка производной схема набора решающих элементов строится по принципу последовательного интегрирования с суммированием величин после каждого интегрирования на входе суммирующего блока. [c.792]

Решение этого уравнения в работе [92] дано методом понижения порядка [c.65]

В части V добавлены уравнения движения ограниченной задачи трех тел в эллипсоидальных и эллиптических переменных, уравнение Гамильтона — Якоби в этих переменных, изложен метод понижения порядка системы. [c.17]

Рассмотренный пример циклических координат характерен для способа использования первых интегралов с целью понижения порядка рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Общий метод механики в таких случаях как раз и состоит в том, чтобы, используя наличие первых интегралов, отщепить часть уравнений системы и затем использовать независимые квадратуры. [c.271]

Когда некоторые из лагранжевых координат оказались циклическими, можно с помощью соответствующих первых интегралов понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения. Метод Рауса позволяет выполнить понижение порядка системы, сохранив при этом форму уравнений Лагранжа. [c.564]

Достоинством метода расширения заданной системы является возможность существенного понижения порядка систем алгебраических уравнений при решении сложных задач, по сравнению с методами конечных разностей и конечного элемента, так как при использовании метода расширения заданной системы отпадает необходимость в составлении уравнений относительно точек, расположенных внутри и вне рассматриваемой области. [c.149]

Вам хорошо известно, что общий метод варьирования параметров Лагранжа состоит в привлечении интегралов одного уравнения (или группы уравнений) к другому уравнению посредством трактовки постоянных первого уравнения как переменных второго. Рассматривая их таким образом, часто можно выбрать наугад несколько произвольных условий, которые удовлетворят этим новым переменным величинам, особенно в приложениях к динамике, в которых уравнения, интегрируемые первыми, обычно бывают второго порядка, а количество постоянных в их интегралах равно двойному числу зависимых переменных. Принцип, по которому Лагранж выбирал произвольные условия, чтобы удовлетворить своим переменным параметрам, был превосходен и заключался в понижении порядка, так как он вел к возрастанию числа дифференциальных уравнений движения. Я стремился и достиг того же преимущества иметь новые дифференциальные уравнения не выше первого порядка, но пришел к иному выбору параметров, ибо исходил из другой группы первоначальных дифференциальных уравнений, каждое из которых само первого порядка. . . [c.768]

Прежде чем перейти к изложению примеров использования этого метода, необходимо подчеркнуть, что не всегда целесообразно-применять полное уравнение четвертого порядка (3.4). В ряде случаев удается предварительно понизить порядок этого уравнения и существенно упростить решение (и аналитическое и особенно численное). Остановимся сейчас на двух основных случаях понижения порядка уравнения (3.4). [c.85]

Рассмотрим решение нелинейных систем с понижением порядка описывающих уравнений на примере собственного движения нелинейной системы пятого порядка. При этом будем использовать метод гармонической линеаризации нелинейностей [23]. [c.222]

Подготовка задачи к решению на аналоговой вычислительной машине начинается с выбора метода решения. Для данного уравнения наиболее приемлемым является метод последовательного понижения порядка старшей производной. [c.32]

Существует много методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений на АВМ. Рассмотрим три наиболее часто используемых метода. Основным является общий метод, который был использован для решения уравнения динамики (2). По этому методу из дифференциального уравнения, описывающего динамику процесса, определяется старшая производная. Составление схемы моделирования основано на понижении порядка производной путем последовательного соединения интеграторов, понижающих порядок производных. Составим схему моделирования для дифференциального уравнения л го порядка [c.83]

Известны и другие способы понижения порядка модели. В частности, для этого предлагалось отбрасывать собственные значения оказывающие незначительное влияние на динамику объекта [3.14]. Однако ответ на вопрос, какими именно собственными значениями можно пренебречь, далеко не всегда бывает однозначным. Кроме того, этот метод не позволяет скорректировать остающуюся после редукции часть модели. [c.70]

Эквивалентный наблюдатель, описанный в разд. 8.6, восстанавливает все переменные состояния х(к). Однако, если некоторые переменные состояния могут быть непосредственно измерены, вычислять их нет необходимости. Например, в объекте т-го порядка с одним входом и одним выходом одна переменная состояния может быть получена на основании измерения выходной переменной у (к), так что только (т—1) переменная состояния должна быть восстановлена с помощью наблюдателя. Наблюдатель, порядок которого меньше порядка модели объекта, называется наблюдателем пониженного порядка (см. [8.13], [8.15]). Ниже описан метод построения наблюдателя пониженного порядка, изложенный в работах [8.15] и [2.19]. Пусть объект описывается уравнениями [c.173]

В книге рассмотрены основные формы уравнений движения твердого тела, включая движение в потенциальных полях, в жидкости (уравнения Кирхгофа), с полостями, заполненными жидкостью. Приведены условия понижения порядка этих уравнений и существования циклических переменных. Собраны практически все известные к настоящему времени интегрируемые случаи и способы их явного интегрирования. Для исследования широко используются компьютерные методы, позволяющие наглядно представить картину движения. Большинство результатов книги принадлежат авторам. [c.2]

Динамическое значение доказанного утверждения состоит в том, что в отличие от классического и хорошо известного локального понижения порядка методом Рауса по углу прецессии мы получаем все дополнительные слагаемые, возникающие при редукции, в алгебраическом виде. При этом, вследствие (М, 7) = О, приведенная система с двумя степенями свободы описывает движение некоторой изображающей точки (задаваемой ортом [c.224]

При понижении порядка системы дифференциальных уравнений проблемы трех тел до четырех можно использовать произвольные канонические переменные р. Необходимо только выразить через эти переменные интегралы площадей, и понижение порядка будет выполняться с большими или меньшими затруднениями таким же путем, как и выше. Автор показал, как можно составить канонические уравнения движения с тремя степенями свободы для случая плоского движения, если в качестве дг-коорди-нат использовать расстояния трех тел от общего центра инерции при надлежащем выборе соответствующих канонических переменных [321. Этот метод имеет свои преимущества, так как возмущающая функция оказывается алгебраической функцией переменных, в то время как оскулирующие элементы входят в возмущающую функцию трансцендентным образом. Эти преимущества достигаются и в том случае, когда вместо расстояний трех тел от общего центра инерции в качестве координат выбираются взаимные расстояния. Вывод дифференциальных уравнений оказывается точно таким же, что и при использовании в качестве обобщенных координат расстояний от центра инерции. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения в этом случае до восьмого в изящной форме было выполнено Брунсом [33]. [c.230]

Замечание. Поскольку k—q первых интегралов Ф2. . , Ф29. Ф29+1. , Фа коммутируют, то их можно использовать для понижения порядка гамильтоновой системы по Пуанкаре. Размерность локального пространства состояний приведенной системы будет равна 2n—2(k—q), то есть размерности Мс. Более того, в силу теоремы 16, понижение порядка по Пуанкаре и Картану локально дает один и тот же результат, однако факторизация по методу Пуанкаре может быть проведена в целом лишь при более ограничительных условиях. Д [c.107]

Ири наиболее часто применяемом методе непосредственного интегрирования (методе понижения порядка производной) исследуемое ур-ние разрешается относительно старшей производной, и над ее составляющими производится п последовательных операций интегрирования (л — порядок ур-ния). Составляющие старшей производной во входном сумматоре образуются наложением обратных связей и введением независимых переменных н возмущений. Определение коэфф. передачи отдельных решающих элемеитов схемы набора производится сопоставлением коэфф. исходных ур-ний и ур-ний, описывающих структурную схему набора, в к-рых машинные переменные заменены исходными иа основе масштабных нреоира-зоваинй. Составление дифф. ур-ний структурной схемы набора задачи предполагает составленне ур-ний отдельных решающих блоков. [c.270]

Кардашев А. А. Анализ качества систем авторегулирования методом понижения порядка дифференциального уравнения. — Автоматика и телемеханика , 1963, № 8, с. 1073—1083 с ил. [c.317]

Этот метод понижения порядка гамильтоновых систем принадлежит Пуанкаре, который применял его в различных задачах небесной механики. По существу — это гамильтонов вариант понижения порядка по Раусу. Если алгебра интегралов некоммутативна, то метод Пуанкаре использует известные интегралы не полностью. Этот недостаток метода Пуавкаре устранил Картан (Е. artan), изучивший общий случай бесконе.чио-мерной алгебры Ли первых интегралов (см. [23]). Более точно, Картан рассматривает гамильтонову систему (М, Я) с первыми ичтегралами Л,...,fn такими, что Fn.Fj =aij Fi.....Fk). Набор интегралов Fi,...,Fk задает естественное отображение F AI- -/ . В общем случае функции ац / - -/ нелинейны. [c.105]

Секция Пон1нжение пбрядка модели . За исключением метода непрерывных матричных дробей, методы понижения порядка модели в частотной области, применимы только к одномерным системам. В данной секций пользователю предоставляются возможности применить один из следующих методов [c.63]

Секция сПонижение порядка модели . Реализованные в пакете TIMDOM схемы понижения порядка тесно связаны с методами понижения порядка больших систем, называемыми агрегатирование и метод возмущения 12]. Не вдаваясь в математические подробности этих схем, можно определить агрегати-рованную модель (12) для модели полного порядка (13) как модель для укрупненных переменных состояния, например, усредненная сумма первых трех переменных состояния может выступать в качестве одной агрегатированной переменной Zj = (- 1 4 - 2 л з)/3., [c.66]

Возможность понижения порядка линейного дис еренциаль-ного уравнения основана на предположении о том, что высокочастотные составляющие почти не оказывают влияния на расположение границ устойчивости, если выполняется первоначальная исходная предпосылка метода эффективных полюсов и нулей. В этом случае границы устойчивости уравнения п-го порядка [c.221]

Понижение порядка. Важным методом решения урав[ ення F (х, у, у, у",. . ., у ) = О яв.пяется замена пе )е-менны.х, приводящая к уравнениям низшего порядка. [c.213]

Анализ уравнений (8.17)—(8.19) проводят обычно методом редукции, т. е. усечения бесконечной системы. Замыкание усеченных систем может быть выполнено разными способами. Простейший способ состоит в отбрасывании лишних моментов высокого порядка. Более распространен метод замыкания, основанный на гипотезе квазигауссовости, позволяюш,ей выражать старшие мо-ментные функции через моменты более низкого порядка. Чтобы сохранить линейную структуру уравнений относительно неизвестных моментов, следует производить понижение порядка лишнего момента путём выделения вторых моментов фазовых переменных, характеризующих входную случайную функцию. [c.230]

В последнее десятилетие наряду с МКЭ развиваются другие, часто более прогрессивные численные методы. К их числу относится метод граничных интегральных уравнений (МГИУ) и его численная реализация метод граничных элементов (МГЭ). Подробное описание МГИУ выходит за пределы данной книги. Кратко для большинства задач МГИУ, в сравнении с МКЭ, можно характеризовать как более сложный с математической точки зрения, но более быстрый численный метод расчета. Основным преимуществом МГИУ является понижение порядка решаемой задачи на единицу. [c.372]

Понижение порядка. Методом решетгя уравнения F (х, у, у, у",. .., y" ) = Q является замена переменных, приводящая к уравнениям низшего порядка. [c.48]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

При использовании неявных методов решения динамических или квазистэтических задач путем последовательного нагружения для понижения порядка разрешающих матричных уравнений целесообразно применять идею расщепления. В рассматриваемом случае на основе соотношений (2.3.6) организуется следующий итерационный алгоритм на шаге [c.40]

Материал настоящей главы посвящен дальнейшему развитию этой идеи понижения порядка динамических систем, но уже при сохранении не-только свойств устойчивости (или неустойчивости), но и характера переходного процесса. Подобная задача является более общей и сложной и требует более тонких методов исследования. Для решения ее необходимо свести дифференциальное уравнение высокого порядка, описывающее переходный процесс в исходной системе, к дифференциальному уравнению более низкого порядка и притом такому, чтобы переходный процесс, описываемый последним, не отличался от переходного процесса в исходной системе при идентичности возмущений. До последнего времени считалось, что точное эквивалентирование невозможно, т. е. совпадение переходных процессов возможно лишь прибли- [c.268]

Действительно, для главной задачи небесной механики— задачи о движении больших планет солнечной системы, где число плапет равно девяти ), первоначальный порядок уравнений абсолютного движения есть 6-9 + 6 = 60. Если выполнить псе возможные понижения порядка, то мы получим систему уравнений 6-9—6 = 48, для которой мы пе знаем никаких интегралов, а поэтому можем решать ее только приближенными методами. [c.342]

Понижение порядка (лагранжев аспект). Если лагранжева система (М, L) допускает группу симметрий g , то оказывается возможным уменьшение числа ее степеней свободы. Группе g соответствует первый интеграл / который локально всегда является циклическим. Сначала мы рассмотрим классический метод Рауса (Е. J. Routh) исключения циклических координат, а затем обсудим понижение порядка в целом. [c.99]

Рассмотрим теперь понижение порядка, когда момент оФ фО. Мы будем предполагать группу О коммутативной (только в этом случае применим метод Рауса). Более того, будем считать, что расслоение (М, N. рг. С) — главное в частности, группа О действует на М свободно. Кроме факторметрики [c.101]

Теория понижения порядка лагранжевых систем с очевидными изменениями переносится на неголономную механику. Для того, чтобы осуществить факторизацию по группе симметрий неголономной системы, нужно дополнительное предположение об инвариантности связей относительно действия этой грурпы. Примером может служить задача Чаплыгина о качении щара по горизонтальной плоскости (см. пример 5) Эта задача допускает группу поворотов 50(2) шара относи тельно вертикальной прямой, проходящей через его центр Группа 50(2) сохраняет связи и порождающее ее поле яв ляется полем возможных скоростей. Исключение группы по воротов фактически проведено нами в примере 5 методом Пуассона. [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...