Состояние движения асимптотически устойчивое

Для широкого класса операторов с помощью (7.1.1) и (7.1.2) можно показать, что при внешних нагрузках, исчезающих с течением времени, невозмущенное движение асимптотически устойчиво, т.е. возмущения при t со стремятся к нулю. Это, однако, не означает, что возмущения остаются произвольно малыми в любой момент времени. При некоторых условиях амплитуды возмущений на этапе переходного процесса могут стать достаточно большими. Таким образом, на практике критерий устойчивости должен заключаться в назначении верхней границы для тех или иных параметров напряженно-деформированного состояния. Этот подход идентичен концепции устойчивости на конечном интервале времени. [c.511]

Выше были описаны локальная структура и локальные бифуркации состояний равновесия и периодических движений. Наибольший непосредственный интерес среди них представляют устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. Только они могут быть установившимися движениями динамической системы, ее состояниями равновесия и периодическими движениями. Каждое устойчивое состояние равновесия и устойчивое периодическое движение имеет свою область притяжения. Возможен случай, когда эти области притяжения почти целиком заполняют все фазовое пространство. Под словами почти целиком имеется в виду, что вне этих областей могут быть лишь точки, не образующие областей, с общей нулевой мерой, например отдельные точки, линии или поверхности размерности, меньшей, чем размерность пространства. Для двумерных систем именно такова структура фазового пространства в общем случае. Для многомерных систем это не так. Однако было бы естественным выделить из них подкласс динамических систем с такой структурой — класс динамических систем, установившимися движениями которого могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения и почти все остальные движения являются асимптотическими по отношению к одному из них. Оговорка почти не имеет прямого смысла, поскольку в такой динамической системе нет реализуемых движений, отличных от устойчивых состояний равновесия и периодических движений и асимптотически приближающихся к ним. Она имеет чисто математический смысл, который, однако, имеет совсем другое, очень важное отношение к реальному поведению динамической системы. Эти исключительные и нереализуемые движения отделяют друг от друга движения, приближающиеся к различным установившимся движениям. В этом и состоит их [c.268]

V по времена вычисленная в силу уравнений движения) имеет в этом же состоянии экстремум противоположного типа, то рассматриваемое положение равновесия устойчиво. Если при этом экстремум производной также является строгим, то положение равновесия асимптотически устойчиво. [c.206]

В некоторых приведенных выше примерах рассматривалось более сильное условие, нежели условие устойчивости, а именно, чтобы траектории, начинающиеся вблизи от точки О, приближались к этой точке при этом движение системы затухало и изображающая точка стремилась к состоянию покоя в особой точке. В подобных случаях говорят об асимптотической устойчивости. Равновесие называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво в обычном смысле и если, кроме того, существует положительное число X такое, что если г (0) < х, то г (t) О при t оо. [c.371]

Возбужденное возмущением состояние системы в определенных случаях может быть новым, сколь угодно близким к первоначальному положением равновесия (покоя) системы (рис. 18.2,г). Относительно такого проверяемого положения равновесия говорят, что оно безразличное или нейтральное. В других случаях вызванное возмущением состояние системы представляет собой движение. Если этим движением является монотонное возвращение к исходному положению системы (рис. 18.2, (3) или затухающие колебания (рис. 18.2, н), то проверяемое положение равновесия является асимптотически устойчивым. Если вызванное возмущением движение является незатухающими периодическими (в частности, гармоническими) колебаниями, то проверяемое положение равновесия устойчиво (рис. 18.2, а), и, наконец, в случае, если движением, вызванным возмущением, является монотонный уход от проверяемого положения равновесия (рис. 18.2, е) или возрастающие по размаху с течением времени колебания, равновесие неустойчиво. [c.284]

Асимптотически устойчивое множество траекторий L в фазовом пространстве динамич. системы наз. аттрактором, если оно 1) компактно и неразложимо на отдельные структурные элементы 2) инвариантно относительно Т Т L = L 3) оператор Т рекуррентен на L, т. е. для сколь угодно больших времён (о>0 траектория y t) = T x произвольной точки xsL при r>fo пройдёт в сколь угодно малой окрестности точки х, В случае замкнутых траекторий последнее требование означает бесконечнократное прохождение системой каждой точки траектории, т. е. периодич. движение (в силу теоремы Коши см. Коши задача). Примеры аттракторов асимптотически устойчивые стационарные состояния для ур-ния (4) — это точка. с = 0] устойчивые предельные циклы странные аттракторы (отвечающие стохастическим колебаниям в нелинейных диссипативных системах). [c.254]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

Нетрудно видеть, что множество предельных точек Z . ограниченной фазовой траектории x(i) не пусто и состоит из фазовых траекторий. Однако физически, т. е. с учетом неизбежных малых возмущений, приближение фазовой траектории к предельному множеству Ха будет наблюдаться лишь в том случае, когда — предельное множество не только для фазовой траектории x(i), но и для всех других фазовых траекторий, близких к Х . Если множество Ха обладает этим свойством асимптотической устойчивости, то оно является аттрактором. Простейшие аттракторы — это асимптотически устойчивые состояния равновесия и периодические движения. [c.124]

В отличие от систем управления с прямой связью системы управления с обратной связью позволяют не только уменьшить влияние внешних возмущений на выходную переменную, но и снизить влияние изменения параметров объекта на качество управления по регулируемой координате. Для иллюстрации этого хорошо известного свойства [10.1] рассмотрим регулятор с прямой связью и регулятор с обратной связью, изображенные на рис. 6.1 и 6.2 соответственно. Далее будем использовать следующие обозначения Ор (г) — передаточная функция объекта управления, Оц(г) — передаточная функция регулятора с обратной связью, Оа (г) — передаточная функция регулятора с прямой связью. Обе системы синтезированы для номинального вектора параметров объекта Вд, так что при одном и том же сигнале управления у(к) выходные сигналы у (к) в обеих системах будут идентичны. Предположим, что объект Ор(г) является асимптотически устойчивым, в результате чего после затухания свободных движений в системах перед подачей сигнала управления оба объекта находятся в одинаковом установившемся состоянии. Передаточная функция замкнутой системы с обратной связью в номинальной рабочей точке определяется соотношением [c.199]

Это означает, что при достаточно малом б фазовая точка ( 1, Ит, 1, г 2(/г-т)), движение которой описывается уравнениями (2.28), до тех пор пока переменные. .., Пщ принадлежат области асимптотической устойчивости С, не покидает 28В окрестности поверхности состояний равновесия, что доказывает первое утверждение теоремы. [c.276]

Существуют строгие доказательства асимптотической устойчивости стационарных состояний диссипативных систем по Ляпунову. В терминах и понятиях теории трения и изнащивания В.В. Шульц [33] сформулировал частный принцип самоорганизации фрикционного контакта следующим образом устойчивой будет лишь та форма поверхности изнашивающегося контакта, которая соответствует энергетическому минимуму в заданном относительном движении при установившемся про- [c.496]

Как мы уже говорили, мы будем делать различие между интегральными кривыми и фазовыми траекториями, так как одной интегральной кривой может соответствовать несколько существенно различных движений или, иначе говоря, несколько различных фазовых траекторий. Например, в рассматриваемом случае, задавая определенное значение константы С, мы еще не фиксируем единственную траекторию, так как в нашем случае каждая интегральная кривая проходит через особую точку и, следовательно, состоит из трех фазовых траекторий (две из них соответствуют движениям, асимптотическим к состоянию равновесия, третьей является само состояние равновесия). В нашем случае все интегральные кривые проходят через особую точку. Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол у = Слг" (а 0) проходит через начало координат, носит название узла. Нетрудно видеть, что состояние равновесия, соответствующее в нашем случае особой точке — узлу, является устойчивым по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Устойчивое состояние равновесия, которое соответствует особой точке типа узла, мы в дальнейшем будем называть устойчивым узлом. Как мы убедимся в дальнейшем, узел может быть и неустойчивым, для чего достаточно, чтобы к было отрицательно. Как и в случае фокуса, физический смысл этого обстоятельства заключается в том, что если состояние равновесия в системе без трения с одной степенью свободы устойчиво, то прибавление положительного трения, т. е. трения, на преодоление которого должна затрачиваться работа, не может нарушить устойчивости (даже более того — положительное трение сообщает положению равновесия абсолютную устойчивость). [c.66]

Теорема 10. Невозмущенное движение (состояние равновесия) нелинейной системы асимптотически устойчиво, если определяемая соответствующими уравнениями в вариациях линейная система асимптотически устойчива устойчиво ее состояние равновесия). [c.94]

Мы рассмотрели фазовые траектории, расположенные вне выделенных окрестностей, и обнаружили, что их поведение описывается конечным числом гладких точечных отображений. Рассмотрим теперь фазовые траектории, расположенные внутри этих выделенных окрестностей. В окрестностях устойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории асимптотически приближаются к соответствующему состоянию равновесия или периодическому движению. Внутри окрестностей неустойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории выходят из этих окрестностей. В окрестностях седловых состояний равновесия или периодических движений все траектории, кроме траекторий, принадлежащих интегральным многообразиям, проходящим через состояние равновесия или периодическое [c.276]

Нам остается рассмотреть еще случай отрицательного Действительные значения х имеют тогда противоположные знаки. Систему можно так вывести из смещенного положения, что она будет асимптотически приближаться к состоянию покоя в конфигурации равновесия но если только не удовлетворено специальное соотношение между смещением и скоростью, движение стремится беспредельно возрастать. При этих условиях равновесие должно рассматриваться как неустойчивое. В этом смысле устойчивость требует, чтобы обе величины и х были положительными. [c.95]

Отметим также следующее при а — 1 все траектории медленных движений в областях (//) и 111) выходят на полупрямую Гд, поэтому все точки О имеют последующие 5, причем в силу доказанного утверждения 2) = = П (0) если же о — 1, то последующие имеют только те точки 5, для которых где — координата той точки полупрямой Г1, которая преобразуется в точку / = 0 полупрямой Г2 (точкам соответствуют полутраектории I, не выходящие на полупрямую Г2 и асимптотически при приближающиеся к устойчивому состоянию равновесия (о, а) см. рис. 586). [c.869]

Фазовые траектории представляют собой, таким образом, отрезки радиальных лучей между двумя окружностями радиусов R и 1 +1 I = О, 1, 2,. ... Попав в соответствии с начальными условиями на один из этих отрезков, например в точку М (рис. 133), изображающая точка будет двигаться по нему в ту или другую сторону, асимптотически приближаясь или к окружности радиуса или к окружности радиуса у, на которых подынтегральная функция в уравнении (12.42), как и сам интеграл, обращается в бесконечность. Сторона направления движения изображающей точки определяется характером устойчивости равновесных состояний в особых точках на окружностях радиусов 1 = й . По отрезкам радиальных лучей изображающая точка движется от неустойчивых равновесных положений к устойчивым, совершая эти свои движения в каждую сторону за бесконечный промежуток времени. Особая точка в начале координат — узел. Если этот узел неустойчивый, то направления движения изображающей точки по соответствующим отрезкам будут такими, как показано на рис. 133. В этом случае первая окружность радиуса В = Ву будет геометрическим местом устойчивых равновесных положений, вторая — радиуса В = В2 — неустойчивых и т. д. [c.510]

Механизм проявления устойчивости привычен и ясен, возможно, благодаря внедрению в наше сознание интуиции, опирающейся на теорему Брауэра и принцип сжатых отображений Банаха. Асимптотическая устойчивость всегда влечет за собой устойчивые равновесия или устойчивые периодические движения. Асимптотически устойчивое ограниченное движение — это либо устойчивое состояние равновесия или устойчивое периодическое движение, либо движение, асимптотически приближающееся к одному из них. Механизм проявления неусто11чивоста много сложнее и непривычнее. Для того чтобы его понять, нужно прежде всего отбросить представление о физической реали -зуемости движения как о требовании его устойчивости — сохра нения близости невоэмущенной и возмущенной фазовых траекторий. Близость траекторий может не сохраняться, более того, траектории могут локально экспоненциально разбегаться. Отдельные фазовые траектории при этом физически пе реализуемы, но они реализуемы как некоторая совокупность движений, обладающих определенной общностью. Представить себе все это не просто, и, возможно, поэтому геометрический образ, состоящий из таких фазовых траекторий, получил название странный аттрактор — странное притягивающее множество. [c.44]

Каждому значению С соответствует своя и тегральная кривая. Ось ординат и ось абсцисс тоже интегральные кривые, отвечаюцще зна ниям С=сю и С=0 соответственно. Начало к ординат - особая точка, в которой все интегр ные кривые касаются оси абсцисс. Особая то представленная на рис. 2.1, называется узло Нетрудно определить направление движен изображающей точки по интегральной крив При < О, < О изображающая точка с чением времени приближается к началу координат, что видно из (2. В этом случае имеем устойчивый узел, а состояние равновесия асимптотически устойчиво. Если же А,, > О, А,, > О, то изображающ точка по соответствующей параболе удаляется (с ростом /) от начала ординат в этом случае особую точку ( =Т1 =0), являющуюся неустойч вым положением равновесия, называют неустойчивым узлом. [c.52]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

При осмысливании этого парадокса возникают два вопроса первый и главный — почему нет перемешивания второй — почему система не приходит к какому-либо равновесному состоянию (например, последовательности солитонов), а периодически колеблется Прежде чем ответить на эти вопросы, напомним, что рассматриваемые системы консервативны, т. е. в фазовом пространстве соответствующих им конечномерных моделей (из N взаимодействующих гармоник) не может быть ни асимптотических устойчивых состояний равновесия, ни каких-либо других аттракторов (предельных траекторий или множеств траекторий, возможных в системах, где есть сжатие фазового объема). Однако в фазовом пространстве таких систем, как мы увидим в гл. 22 и 23, даже при небольшом числе N возможно существование хотя и не притягивающих, но занимающих достаточно большую область в фазовом пространстве множеств, устроенных очень сложно, движение внутри которых и отвечает нашим интуитивным представлениям о перемешивании. Обсуждаемые нами сейчас системы принадлежат к классу вполне интегрируемых систем, в которых существование подобных сложных (перемешивающих) областей в фазовом пространстве невозмож- [c.421]

Определение устойчивости невозмущенного движения по Ляпу нову не предполагает обязательного возвращения системы в не возмущенное состояние, хотя и не исключает возможности такс го возвращения. В этом отношении устойчивость по Ляпунов] отличается от общепринятого представления об устойчивости, 1 котором существенным образом предполагается наличие в возму щенном движении восстанавливающих сил, возвращающих сис тему через более или менее продолжительный промежуток вре мени в невозмущенное состояние. А. М. Ляпунов поведение сис темы, в котором она в возмущенном движении безграничю приближается к невозмущенному движению, рассматривал ки частный случай устойчивости и ввел для него наименовани асимптотической устойчивости. [c.414]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...