Равновесия положение асимптотически

Что касается общего решения однородной системы q, то оно находится по общим правилам интегрирования линейных однородных уравнений и в рассматриваемом случае движения вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия заведомо стремится к положению равновесия при неограниченном возрастании времени t. В связи с этим движение q t) стремится в пределе к движению q (t), которое обусловлено наличием в правых частях уравнений зависящей явно от времени вынуждающей силы (t). [c.242]

В положении асимптотически устойчивого равновесия, то из формул (69) и (73) видно, что вынужденное движение по модулю может быть сделано сколь угодно малым, если внешнее воздействие мало по модулю. Действительно, в формулу (69) входит как множитель амплитуда А внешней силы, а в формулу (73) — величины Л, являющиеся коэффициентами Фурье в разложении [c.252]

Таким образом, положение равновесия системы асимптотически устойчиво. [c.103]

Теорема. Если в некотором изолированном положении равновесия потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум, то при добавлении гироскопических сил и диссипативных сил с полной диссипацией это положение равновесия становится асимптотически устойчивым. [c.385]

Введем теперь понятие об асимптотически устойчивом положении равновесия. Положение равновесия называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и если, кроме того, при достаточно малых по абсолютной величине начальных отклонениях и начальных скоростях все отклонения и скорости при неограниченном возрастании времени t стремятся к нулю, т. е. если существует такое число 8о О, что [c.200]

В рассмотренных на стр. 190—192 примерах 1, 2 и 3 только в примере 3 устойчивое положение равновесия является асимптотически устойчивым. [c.200]

Таким образом, диссипативные силы, определяемые функцией Релея, не только не нарушают устойчивости положения равновесия консервативной системы, но и делают (в некоторых случаях) это положение асимптотически устойчивым. [c.263]

Возбужденное возмущением состояние системы в определенных случаях может быть новым, сколь угодно близким к первоначальному положением равновесия (покоя) системы (рис. 18.2,г). Относительно такого проверяемого положения равновесия говорят, что оно безразличное или нейтральное. В других случаях вызванное возмущением состояние системы представляет собой движение. Если этим движением является монотонное возвращение к исходному положению системы (рис. 18.2, (3) или затухающие колебания (рис. 18.2, н), то проверяемое положение равновесия является асимптотически устойчивым. Если вызванное возмущением движение является незатухающими периодическими (в частности, гармоническими) колебаниями, то проверяемое положение равновесия устойчиво (рис. 18.2, а), и, наконец, в случае, если движением, вызванным возмущением, является монотонный уход от проверяемого положения равновесия (рис. 18.2, е) или возрастающие по размаху с течением времени колебания, равновесие неустойчиво. [c.284]

Доказано, что если положение равновесия хо(0=0 системы (7.1.13) устойчиво в достаточно сильном смысле по отношению к возмущению начальных условий, то оно устойчиво и при постоянно действующих возмущениях [30]. Например, если положение равновесия равномерно асимптотически устойчиво, то это положение равновесия устойчиво относительно малых постоянно действующих возмущений. [c.459]

Подчеркнем, что уже в линейной системе двух уравнений, положение равновесия которой асимптотически устойчиво по одной, и неустойчиво по другой переменной, при включении или отключении связей возможно изменение на противоположный характера поведения этих переменных асимптотически устойчивая переменная становится неустойчивой и, наоборот, неустойчивая -асимптотически устойчивой. [c.274]

Показать, что положение равновесия системы асимптотически устойчиво при любых значениях параметров 7 О, 7 О, Р > 0. Показать также, что если сила сопротивления — Рг действует не на первый, а па к-й груз к ф 1, к ф п), то при некотором подборе параметров с 7 0, гп1 ф О, Р>0 положение равновесия не будет асимптотически устойчивым. [c.180]

В следующих задачах выяснить, является ли положение равновесия системы асимптотически устойчивым [c.181]

Задача. Доказать, что в гамильтоновой системе невозможны асимптотически устойчивое положение равновесия и асимптотически устойчивый предельный цикл в фазовом пространстве. [c.67]

Устойчивость обеспечивает пребывание системы вблизи положения равновесия при достаточно малых отклонениях, но не гарантирует возвращения в положение равновесия или даже асимптотическое стремление к нему при Между тем ин- [c.218]

Положение равновесия q) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, если, кроме того, суш,ествует такая -окрестность точки qj = q% = О (/ = 1,. .., п), что для всех — [c.218]

Устойчивость равновесия консервативной системы. Потенциальные ямы и барьеры. Рассмотрим теперь условия устойчивости равновесия консервативной системы. Критерии устойчивости, приведенные выше, непригодны для этой цели. Дело в том, что у характеристического уравнения линейного приближения для консервативной системы все корни чисто мнимые ) и асимптотическая устойчивость не может иметь места. Выделить устойчивые положения равновесия в консервативной системе позволяет [c.225]

Теорема. Если в положении равновесия строго диссипативной стационарной системы потенциальная энергия имеет строгий минимум и если это положение равновесия является изолированным, то оно асимптотически устойчиво. [c.230]

Теорема Ляпунова позволяет установить, является ли исследуемое положение равновесия в общем случае устойчивым (либо асимптотически устойчивым) в зависимости от того, можно или нельзя подобрать функцию Ляпунова для конкретной рассматриваемой задачи. Сама по себе теорема не дает каких-либо рекомендаций в отношении того, каким образом можно выяснить [c.235]

Итак, в данной задаче груз переходит один раз через положение статического равновесия и затем асимптотически к нему приближается с другой стороны (больше одного раза груз через положение статического равновесия перейти не может, так как при х = 0 получается только одно значение t, отличное от бесконечности). [c.94]

Определить, будет ли асимптотически устойчиво положение равновесия системы спутник — стабилизатор для значений параметров, определяемых формулами (2.28) и (2.29). [c.103]

Пример 2.11. Для системы с демпфирующей пружиной (см. пример 2.3) выясним, будет ли асимптотически устойчивым ее положение равновесия при значениях параметров задачи, определяемых формулами (2.35), (2.37) (1-й вариант) и (2.35), (2.38) (2-й вариант). [c.107]

Предположим теперь, что стационарная система совершает колебания вблизи положения асимптотически устойчивого равновесия, но в отличие от случая, рассмотренного выше, будем предполагать, что на систему помимо обобш,енных сил, зависящих от обобщенных координат и скоростей, действует также и обобщенная сила, зависящая явно от времени. [c.241]

Рис. 18.2, Интерпретация по Ляпунову устой чивости положения равновесия системы па примере системы с одной степенью сво боды при использовании фазового пространства. Параллелепипед с ребрами 261 п 262 (б-параллелепипед) — область начальных возмущений (начальное возмущение —совокупность д 1 д при / = 0 —отмечено крестиком). Параллелепипед с ребрами 2б и 2в2 (е-параллелепипед)—область отклонений системы от проверяемого на устойчивость положения равновесия при неограниченном возрастании промежутка времени, начиная от момента начального возмущения I — фазовая траектория движеиия, вызванного начальным возмущением системы из положения устойчивого ее равновесия (фазовая траектория —замкнутая линия, не выходящая за пределы е-параллелепипеда) 2 — фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения неустойчивого ее равновесия (фазовая траектория выходит аа пределы 8 Параллелепинеда) 3—фазовая траектория движения, вызванного начальным возмущением системы из положения асимптотически устойчивого ее равновесия (фазовая траектория, не выходя за пределы е-параллелепипеда, неограниченно приближается к началу координат).

Теорема 2. Устойчивое положение равновесия становитс. асимптотически устойчивым при добавлении диссипативных си. с полной диссипацией. [c.586]

Таким образом, производная <1У1(И является знакоопределен-ой отрицательной формой переменных х , х ,, х , Х, Хг,. . кг т. е. положение равновесия системы асимптотически устойчиво. [c.587]

О, заключаем, что при положение равновесия тела асимптотически устойчиво по> 1 при большом 2ю или 220- Геомбтрическая интерпретация этого свойства сводится к следующему для любого е > О найдется <5 > О такое, что решения, начавшиеся внутри <5-каналов произвольной конечной длины, не только не выходят с течением времени за пределы плоскостей 11 = е, но и асимптотически (при г -> оо ) приближаются к плоскости > 1 = О (рис. 2.2.6). [c.115]

Цилиндр массы М может скользить без трения но горизонтальной нанравляюш ей Ох так, что образуюш ая цилиндра во время движения совпадает с О ж. В цилиндре может двигаться поршень массы т. Пространство между стенками цилиндра и поршнем заполнено вязкой жидкостью (коэффициент вязкости равен Р). Цилиндр и поршень соединены с неподвижным стержнем пружинами жесткости с, как показано на рисунке к задаче 13.8. Показать, что положение равновесия системы асимптотически устойчиво. [c.183]

Докажем, что положение равновесия Р асимптотически устойчи при любых начальных возмущениях из области 1 +Х> 0. С этой це возьмем положительно определенную в этой области функцию [c.118]

При ие очень больших по абсолютной величине отрицательных значениях может сразу начаться убывание q t) (кривая 2). При больших по модулю отрицательных значениях Уо функция q t), убывая, может достичь нулевого значения, соответствующего положению равновесия системы, стать отрицательной и, оставаясь отрицательной, асимптотически приближаться к нулю (кривая J). Во всех этих случаях движение является штухающим, иеколебательным, которое иногда называют также апериодическим. [c.443]

При п к движение не является колебательным и с некоторого момента времени начинается так называемое лими-тащюшюе движение, при котором система асимптотически стремится вернуться к положению равновесия. [c.443]

Используя процедуру RGUR, получить необходимые и достаточные уаювия для параметров к- и рассматриваемой системы, при которых ее положение равновесия асимптотически устойчиво (все остальные параметры определяются формулами (2.28)). [c.104]

Пример 2.12. Испо [ьзуяпроцедуру LSHIP, получим для примера 2.2 необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия системы. Для этого обратимся к процедуре [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...