Функция Гамильтона положительная

Рассмотрим частный случай, когда наши голономные связи не зависят явно от времени. Живая сила Т будет определенно положительной квадратичной формой от производных Зи. функция Гамильтона [c.217]

Для интересующего нас случая полными уравнениями возмущенных движений будут канонические уравнения движения с функцией Гамильтона Н = Т — U. Если в положении равновесия и = О, то Н, очевидно, представляет собой определенно положительную функцию 9s, Рв- Но при этом dH/dt = 0 следовательно, на основании теоремы Ляпунова положение равновесия, где U имеет изолированный максимум, будет устойчиво. Вопрос об обращении теоремы Лагранжа представляет собой важную и трудную зада гу. [c.237]

Теперь рассмотрим случай вращений, когда переменная h интеграла энергии удовлетворяет неравенству h> Так как при замене р на —р, а на — функция Гамильтона (13) не изменяется, то будем рассматривать только случай вращений при положительных р. Пусть при = О имеем = О, р = ро > 0. Тогда [c.377]

В общем случае любая невырожденная собственная функция гамильтониана образует базис одномерного представления группы симметрии гамильтониана (как доказано в приложении 5.1 в конце этой главы), и поэтому можно классифицировать невырожденную собственную функцию в соответствии с одномерным представлением группы симметрии. Особое внимание следует обратить на действие Е говорят, что собственная функция, симметричная относительно этого оператора, имеет положительную четность, тогда как функция, антисимметричная относительно него, имеет отрицательную четность. [c.73]

Рассмотрим более подробно случай, когда собственные числа Л1,..., Л вещественны и отличны от нуля. Тогда равновесие, очевидно, неустойчиво. Не ограничивая общности, можно считать, что все числа Л положительны. Будем предполагать, что среди них нет равных. Тогда в подходящих канонических координатах х,у функция Гамильтона приводится к виду [c.130]

Теорема 1 [97]. Предположим, что квадратичная форма Но положительно определена. Тогда гамильтонова система с функцией Гамильтона Но -Ь Hi имеет полный набор формально аналитических по первых интегралов, независимых при е = О, в том и только том случае, когда точки множества А расположены на d п прямых, ортогонально (в метрике (, )) пересекающихся в начале координат. [c.200]

Рассмотрим гамильтонову систему с двумя степенями свободы и конфигурационным пространством М, являющимся гладким двумерным многообразием. Предположим, что функция Гамильтона Н = = Н д,р) на фазовом пространстве принадлежит классу является строго выпуклой по импульсу т. е. матрица Нрр д,р) положительно определена, и Н д,р) оо при 9 ос. [c.147]

Для движущейся системы функция Я подлежит еще ограничениям, вытекающим из ее определения] она должна состоять из функции одних только координат из которой вычитается существенно положительная однородная квадратичная функция скоростей q , коэффициенты которой также могут зависеть только от координат р,. Введение обозначения Я прежде всего является только формальным упрощением точно так же введение термина кинетический потенциал не обогащает нашего знания, но только содействует более краткому выражению мысли, когда мы хотим облечь принцип Гамильтона в словесную форму. Существенное значение этой функции можно усмотреть только из того обстоятельства, что теперь становится возможным, выйдя за пределы видимых явлений движения, придать уравнениям, выражающим законы термодинамики и электродинамики, те же формы, которые принцип Гамильтона дает для динамики весомых масс при этом, конечно, Я не подчиняется уже только что упомянутым ограничивающим условиям, но является подлежащей определению в каждой области функцией величин р, и q , определяющих состояние системы. Два ряда параметров р, и q не должны непременно находиться в полном взаимном соответствии могут существовать некоторые q, а соответствующие р отсутствовать, и наоборот. [c.465]

Использование обобщенных координат — одно из преимуществ формализма Гамильтона—Якоби. Что же касается уравнений Лагранжа, то их особенное преимущество состоит в том, что все вычисления сводятся к составлению выражения для кинетической энергии, выраженной в функции /, д,д, а к простым дифференцированиям. При рассмотрении принципа Гамильтона надо допустить, что систему можно заставить перейти от того же начального к тому же конечному положению, что и в действительном движении, с помощью некоторого фиктивного движения (бесконечно мало отличающегося от действительного), не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения динамики, но сохраняя связи. Интеграл Гамильтона может обратиться в нуль для всех вариаций, совместимых со связями, лишь в том случае, если сумма под знаком интеграла постоянно равна нулю. В противном случае, изменяя знаки всех 3 одновременно, можно выбрать их так, чтобы сумма под знаком интеграла была все время положительна, а следовательно, интеграл не был бы равен нулю. При 17 = 0 из принципа Г амильтона получим [c.868]

В качестве примера применения принципа Гамильтона исследуем преобразование уравнений Лагранжа при заменах переменных. Система (19.3) определена функцией Лагранжа Ь(1,ц,д). Всевозможные решения д(1) системы при помощи неособенной замены переменных t, д <—> , д преобразуются в функции д ). Спрашивается будут ли функции д ) решениями уравнений Лагранжа (19.3), порожденных некоторой функцией Ь 1,д,д)1 Положительный ответ на этот вопрос дают следующие рассуждения. Возьмем произвольный прямой путь д 1) в исходных переменных и произвольным (с учетом [c.93]

Стационарные конфигурации могут быть интерпретированы как особые точки гамильтониана на орбите (т.е. на СР ). В качестве гамильтониана можно взять функцию Н = к — Zj . Это положительная функция, которая обращается в нуль на подмногообразии коллапса . [c.145]

Если, напротив, все циркуляции положительны, используя идею Паль-мора [13], можно найти нижнюю предельную оценку числа относительных состояний равновесия. Гамильтониан стремится к нулю на диагонали А, а все критические точки гамильтониана Н лежат на компактном подмножестве пространства — А. Если гамильтониан представляет собой функцию Морса (все критические точки являются невырожденными), то нижнюю предельную оценку числа этих критических точек и их индексов можно рассчитать, используя числа Бетти пространства — А. [c.348]

Система имеет функцию Гамильтона Я(д ,р , ), причем матрица [д Н/ др1дрк)] является матрицей положительно [c.202]

Предположения, в которых все это удается сделать, состоят в том, что невозмущенная функция Гамильтона (I) аналитична и невырождена, а возмущающая функция Гамильтона еН (/, (р) аналитична и 2я-периодична по угловым переменным (р. Присутствие малого параметра е несущественно важно лишь, чтобы возмущение было достаточно мало в какой-нибудь комплексной окрестности радиуса р вещественной плоскости переменных ф меньше некоторой положительной функции М (р, Но)). [c.373]

Уже из механики системы материальных точек мы знаем способ простого описания их сложного колебательного состояния. Для системы с 5 степенями свободы вводится 5 новых обобщенных координат (нормальные координаты) так, чтобы функция Гамильтона, которая при малых колебаниях есть определенно положительная квадратичная функция, диагонализировалась.. Это означает, что уравнения движения в нормальных координатах распадаются на 5 уравнений для независимых осцилляторов. При таком (формальном) способе описания возбужденное состояние, лежащее близко к основному состоянию, описывается как возбуждение небольшого числа этих независимых осцилляторов. [c.14]

Закончим двумя существенными замечаниями. Переход к нормальным координатам и полученное благодаря этому разделение функции Гамильтона на независимые нормальные колебания оказались возможными потому, что функция Гамильтона (31.1) — определенно положительная квадратичная форма. Всякая такая форма может быть диагонализирована. В связи с (30.9) мы, просто приняв во внимание периодичность решетки, уже смогли сделать переход к квантовой механике и ввести фононы. Теперь появление элементарных возбуждений не связано со свойствами решетки. Разделение всех соу на ветви, которые могут быть представлены в -пространстве зоны Бриллюэна, во всяком случае является следствием периодичности. Если бы мы не ограничились [c.140]

Формула (27.15) концентрирует в себе исследование вопроса о каноничности нреобразования (27.12) и в случае положительного ответа дает связь между функциями Гамильтона. При практическом использовании формулы (27.15) требуется сделать в ней переход к некоторым независимым переменным и, приравнивая коэффициенты при однаковых дифференциалах в левой и правой частях, получить (2п + 1) условие. Решение конкретного вопроса, связанного с каноническими нреобразованиями, приводит к целесообразности конкретного выбора 2п независимых координат из набора 4п координат д,р, д,р. [c.148]

Для положительных интенсивностей в канонической форме редукция выполнена К. М. Ханиным [104]. К сожалению предложенный им метод решает задачу лишь в принципе , и приводит к весьма сложным уравнениям и функции Гамильтона, что не удобно при проведении численных расчетов и аналитических исследований. Он также не допускает естественного обобщения на случай отрицательных интенсивностей. [c.30]

Последнее уравнение имеет действительное решение, если величина (rj, Isf ) положительна, чего всегда можно добиться соответствующим выбором знака (Г в функции Гамильтона (2.1). В самом деле, из уравнения Хе = имеем систему уравнений относительно действительной и мнимой частей вектора е [c.42]

Ясно, что dVidt = О, а функция V определенно-положительна, если уравнение F3 (i >) = О не имеет корней. Отсюда следует, что положение равновесия pj = р2 = рз = О устойчиво (для системы с укороченной функцией Гамильтона Н — й). [c.179]

И К возможности перехода электронов в эти состояния из обычных состояний с положительной массой, причём эти переходы могут осуществляться как под влиянием соответственного внешнего поля, так и вследствие спонтанной или индуцированной внешним излучением, эмиссии света. ( 5.) Так как опыт не даёт нам частиц с отрицательной массой, то это следствие нужно рассматривать как недостаток теории. Независимо от этой трудности существует ещё другая трудность, возникающая, когда применяют теорию излучения к взаимодействию электрона со своим собственным полем. Тогда оказывается, что не существует стационарного решения с конечной энергией для общей системы, состоящей из электрона и квантованного электрического поля. Это происходит потому, что та часть оператора Гамильтона, которая описывает взаимодействие частицы с внешним полем, представляет собой, по принципу соответствия, аналогию классического взаимодействия точечной частицы с её собственны.м полем, а собственная энергия такой частицы будет и по классической теории бесконечно большой. Правда, формально можно, хотя и не без некоторого произвола, избежать появления этой бесконечности, изменив функцию Гамильтона таким образом, чтобы она отражала в духе принципа соответствия взаимодействие частицы конечного размера с полем ( 8) однако, при этом мы не смогли бы сохранить релятивистскую инвариантность теории. Указанная трудность препятствует развитию дираковской теории излучения в строгое и непротиворечивое релятивистское рассмотрение проблемы многих тел. [c.234]

Если же функция Н не является знакоопределенной или зависит от времени, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому невозмущенное движение не может быть асимптотически устойчивым в системах, описываемых дифференциальными уравнениями Гамильтона, возможна либо устойчивость, либо неустойчивость. Следовательно, если линеаризованные уравнения не дают строгого решения вопроса об устойчивости (как, например, в случае установившихся движений при наличии у характеристического уравнения хотя бы одного корня с положительной вещественной частью), то возникает необходимость рассмотрения нелинейных членов в уравнениях (1), т. е. мы имеем критический случай теории устойчивости. [c.543]

Только благодаря TOifj, что мы взяли э.шменты невозму1ценной задачи как раз в форме, которую дает метод Гамильтона, мы смогли так упростить дифференциальные уравнения, что в каждое из них входит только одна производная от возмущаюп1,ей функции и что коэффициент при этой производной приводится к положительной или отрицательной единице. Этот выбор элементов имеет огромную важность поэтому при определении движения планет по методу Гамильтона мы подробно выяснили геометрическое значение введенных там произвольных постоянных. [c.254]

При определении волновой функции основного состояния мы ветре чаемся с некоторой трудностью. В случае ферромагнетика мы могли реализовать основное состояние только одним способом, а именно направив все спины в одном, преимущественном направлении, которое мы введем в виде оси г. Для установления основного состояния могло служить пренебрежимо малое магнитное поле, которое в операторе Гамильтона могло быть учтено аддитивным членом. Таким же способом мы и теперь можем определить преимущественное направление, которое опять назовем осью г. Однако при этом всегда еще остается возможность выбора— какие ионы решетки, бывшие до установления спинов одинаковыми, отнести к подрешетке со спином + и какие — к подрешетке со спином — Эти возможности вырождены относительно друг друга. Для того чтобы выделить одну из них, т. е. стабилизировать состояние, надо ввести малое, конечное магнитное поле (анизотропное поле), которое для ионов одной подрешетки будет положительно, для ионов другой подрешетки — отрицательно. Такие поля, малые по сравнению с обычными внутренними полями (см. ниже), наблюдались также экспериментально. Их можно учесть в операторе Г амильтона с помощью аддитивного члена типа [c.167]

Для того, что6ь4 перейти к уравнениям Гамильтона в целом, будем предполагать, что гладкая функция L TNXR- -R выпукла по скоростям, т. е. матрица положительно определена [c.35]

Мы рассмотрим случай, когда Ф = -vT, где — известная положительная функция времени (например, = onst > 0). Применяя преобразование Лежандра, перейдем от уравнений Лагранжа (6.1) к обобщенным каноническим уравнениям Гамильтона [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...