Евклидова поверхность

Включения В С С являются примерами непостоянных голоморфных отображений гиперболической поверхности В в евклидову поверхность С и затем в риманову сферу С. Однако, ни одного голоморфного отображения в противоположном направлении не существует. [c.29]

Утверждение немедленно вытекает из примера 2.4 и леммы 2.5, поскольку, если f не принимает двух значений а, Ь, то его можно рассматривать как отображение евклидовой поверхности С в гиперболическое пространство С а, Ь . [c.30]

Динамика на евклидовых поверхностях [c.84]

Некомпактные евклидовы поверхности. Напомним, что есть только две некомпактные поверхности, для которых накрывающей яв- [c.86]

Конформно евклидов случай. (Ср. 19.9.) Для евклидовой поверхности 8,у наиболее простой способ доказательства состоит в изменении весовой функции г/. Например, если выбрать некоторую периодическую орбиту в 5 и заменить г/ весовой функцией г/, которая равна 2г/ на этой орбите и равна г/ вне нее, тогда условие ( ) будет выполняться и на у/, так как нетривиальное разветвленное накрытие 8 — С над 8 будет гиперболическим. Доказательство — как и выше. [c.250]

В случае декартовой системы координат все пространство можно себе представить состоящим из множества бесконечно малых параллелепипедов, ребра которых параллельны осям координат. При преобразовании координат. точек этого пространства к криволинейным координатам эти параллелепипеды, исказившись, обратятся в бесконечно малые ячейки с кривыми гранями и ребрами, образуемыми координатными поверхностями и линиями. Преобразование координат точек, конечно, не изменяет метрики пространства, и последнее остается прежним евклидовым пространством. [c.83]

В теории пологих оболочек, разработанной В. 3. Власовым, вводится две дополнительные гипотезы. Согласно первой гипотезе геометрия срединной поверхности отождествляется с геометрией на плоскости (евклидовой метрикой). Это означает, что выражение квадрата линейного элемента поверхности [c.241]

Однако эти обитатели всегда могут сказать, что законы геометрии на плоскости точно описывают их двумерный мир, а причина указанного несоответствия связана со свойствами линеек, применяемых для измерения кратчайшего расстояния и определения прямой линии. Они могут сказать, что метровые линейки не имеют постоянной длины, а растягиваются и сжимаются, когда их переносят в различные места поверхности. Только в результате непрерывных измерений, выполненных различными способами и давших одинаковый результат, становится очевидно, что наиболее простое объяснение нарушения евклидовой геометрии заключается в том, что поверхность имеет кривизну. [c.26]

Из приведенного выше примера очевидно, что евклидова геометрия дает правильное описание свойств маленького треугольника на обыкновенной двумерной сферической поверхности, а отклонения от евклидовой геометрии становятся все более значительными по мере увеличения размеров. Для того чтобы убедиться, что наше трехмерное физическое пространство действительно является плоским, нам надо произвести измерения с очень большими треугольниками, вершины которых образованы Землей и удаленными звездами или даже галактиками. Однако мы сталкиваемся с такой трудностью наше положение определяется положением Земли, и мы еш,е не имеем возможности передвигаться в космическом пространстве с масштабными линейками, чтобы измерять стороны и углы астрономических треугольников. Как же мы можем проверить справедливость евклидовой геометрии в отношении описания измерений в мировом пространстве [c.27]

Наше определение равенства двух векторов исходит из предположения, что пространство является евклидовым. В пространстве, обладающем кривизной, нельзя однозначно произвести сравнение двух векторов, если эти векторы имеют различные точки приложения. В качестве примера рассмотрим двумерное искривленное пространство, образованное поверхностью обыкновенного трехмерного шара. В этом пространстве мы должны считать прямыми лилиями дуги больших кругов шара, потому что они представляют собой кратчайшие расстояния между точками ). [c.68]

Отметим здесь же, что величины ш ц, w n представляют собой кривизны поверхности xs = w(xi, Ха) в трехмерном евклидовом пространстве tw,i2 — кручение этой же поверхности. [c.81]

Несмотря на то что любую поверхность можно описать уравнением вида (5), не всякую поверхность можно выбрать в качестве поверхности прочности более того, поверхность прочности не может быть мнимой и должна быть односвязной. Условия, которым должны удовлетворять коэффициенты f , Fij,. .. для того, чтобы выполнялись эти требования, изучаются в курсах геометрии. Геометрическая интерпретация полезна при установлении ограничений на Fi, Fij,. .. и при определении главных осей. При плоском напряженном состоянии поверхность прочности является трехмерной, так как определяется тремя компонентами напряжений о, ог и Ос,. Ради краткости изложения мы ограничимся — при рассмотрении геометрических интерпретаций и изучении корней уравнения (5) — лишь плоским напряженным состоянием и трехмерными поверхностями прочности. Метод определения характеристических направлений в и-мерном евклидовом пространстве позволяет распространить полученные ниже результаты на случай трехмерных напряженных состояний и шестимерные поверхности прочности. Развернув уравнение (56) для случая плоского напряженного состояния, т. е. для i,j = 1, 2, 6, получим уравнение поверхности прочности второго порядка [c.451]

Это справедливо для оптически изотропных сред. В анизотропных средах (кристаллах) ортогональность луча и волновой поверхности является не обычной евклидовой, а тензорно обобщенной неевклидовой ортогональностью. [c.301]

Задача 7. Положим в уравнении Френеля vl = V2. Тогда возникнет осевая симметрия вокруг оси 2 и кристалл из двухосного превратится в одноосный . Показать, что при этом одна из. метрик вырождается в метрику евклидова типа, так что одна группа волновых поверхностей превращается в сферы в евклидовом смысле ( обыкновенный луч ). Выражение для расстояния во втором типе геометрии (связанном с необыкновенным лучом ) имеет вид [c.330]

Система с двумя степенями свободы. Для некоторых простых систем с двумя степенями свободы можно указать поверхность (в обычном евклидовом пространстве), которая гомеоморфна всему пространству конфигураций, иными словами, существует взаимно однозначное отображение пространства конфигурации. у на указанную поверхность. Рас-смотрим два простых примера. /q [c.555]

Можно теперь рассматривать Q как евклидово TV-мерное пространство, gf — как косоугольные, а д-р — прямоугольные декартовы координаты. Мы хотим определить геометрическую форму эквипотенциальных поверхностей, которые имеют уравнения [c.359]

Пусть задан носитель грани Gi — некоторая двусторонняя поверхность Qj = / х, у, z) в трехмерном евклидовом пространстве. Поверхность делит пространство на две области, определяемые неравенствами [c.50]

В физ. приложениях М. часто возникают как подмножества в евклидовом пространстве, заданные с помощью ур-ний. Напр., двумерная сфера 5 определяется как поверхность в IR , выражаемая ур-нием = i -мерная сфера определяется как [c.162]

Во всех трех подслучаях поверхность 8 наследует локально евклидову геометрию из евклидовой метрики (1г на ее универсальной накрывающей. Например, состоящая из точек ехр(27гг2 ) = -ш, плоскость с выколотой точкой С 0 имеет полную локально евклидову метрику 2тт (1г = (Такая метрика корректно определена с точностью до умножения на положительную постоянную, поскольку мы можем с тем же успехом использовать на универсальном накрытии и координату вида г = Хг + с, в этом случае (1г = Х(1г. Ср. следствие 1.6.) Будет удобно использовать термин евклидова поверхность для римановых поверхностей, допускающих полную локально евклидову метрику. Термин параболическая поверхность также широко используется в литературе. [c.28]

Пример сфера с тремя выколотыми точками. Если удалить одну либо две точки из римановой сферы С, то мы получим евклидову поверхность, а именно, комплексную плоскость С либо С 0 = /Z. Однако, если удалить из сферы три различных точки, то мы получим поверхность 5 = С О, 1 , которая должна быть гиперболической в частности по той причине, что ее фундаментальная группа неабелева. (Для более элементарного доказательства того, что 5 не входит в наш список негиперболических поверхностей, заметим, что для любого достаточно большого компактного множества К С 8 его дополнение 8 К имеет по крайней мере три компоненты связности. Мы будем говорить, что сфера с тремя выколотыми точками имеет три конца , в то время как любая негиперболическая поверхность имеет не более двух концов. Явная формула для универсального накрытия И С О, 1 задается эллиптической модулярной функцией . Ср. задачу 7-g.) [c.29]

Как было (угмсчено в первой главе, в курсе начертательной геометрии рассматривается два типа отношений между геометрическими фигурами позиционные и метрические. Соответственно этому решаются два типа задач. Изучение теории и алгоритмов решения позиционных задач в трехмерном расширенном евклидовом пространстве направлено на развитие "пространственного мыпьтсния учащихся для дальнейшего чтения и составления чертежей трехмерных объектов как на бумаге, так и на экранах дисплеев. Некоторые из них (построение касательных плоскостей, соприкасающихся поверхностей) имеют непо-среаственпое значение и составляют основу при составлении математических моделей технических форм в процессе их автоматизированного проектирования и воспроизведения на оборудовании с числовым программным управлением. [c.99]

Простейщим примером евклидова пространства двух измерений будет плоскость. Так как основным отличием между поверхностью и плоскостью является кривизна поверхности, связанная с тензором Римана — Кристоффеля, то этот тензор называется также тензором кривизны, как было сказано выше. [c.507]

Топологическая размерность D - всегда равна целому числу. Топологическая размерность относится к топологическому свойству фигур, т.е. к свойству, не изменяющемуся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одинаковую топологическую размерность Дт=1 и одни и те же топологические свойства, т.е. эти линии могут быть деформированы одна в друтую описанным образом. Поверхность (в частности, плоскость или часть ее) - ее топологическая размерность Б евклидовом пространстве йт 2 (двумерный образ) пространство, а [c.154]

На средней поверхности пологой оболочки вследствие малок гауссовой кривизны (k = kik2) геометрию поверхности заменяют евклидовой геометрией на плоскости ее проекции, а уравнение Гаусса (7.21) —приближенным уравнением [c.250]

В последние годы для анализа сложной поверхности статического и усталостного разрушения, наряду с обычной фрактографией, все шире используются методы фрактальной и мультифрактальной параметризации. Дело в том, что большинство сложных объектов и структур в природе обладают фундаментальным свойством геометрической регулярности, известной как инвариантность по отношению к масштабу, или самоподобие. Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же фундаментальные элементы. Эги повторяющиеся закономерности определяют дробную, или фрактальную размерность структуры. Фрактальная геометрия описывает природные фюрмы имтцнее и точнее, чем евклидова геометрия. По определению Б. Мандельброта называется [c.66]

Излагаемая ниже теория деформаций носит чисто геометрический характер и не связана с какими-либо предположениями о свойствах деформируемой среды. Будем рассматривать точечное преобразование евклидова пространства, в результате которого точка М (х) сопоставляется точке М (х ). Будем говорить, что материальная точка М переместилась из точки пространства с радиусом-вектором х в точку с радиусом-вектором ж, хотя для кинематической теории вводить понятие материальной точки не обязательно. Деформация области пространства V задана, если величины Xi заданы как функции от Xi s V. Будем считать эти функции непрерывными и деформируемыми всюду, кроме, может быть, некоторых поверхностей S в объеме V. Будем считать также, что если функции Xi xs) неоднозначны, то можно выделить однФзначную ветвь. [c.213]

Евклида. Для поверхностей неразвертывающихся с ненулевой гауссовой кривизной евклидова геометрия уже не имеет места (например, для сферической поверхности). [c.235]

Для оценки точности и достоверности измерений неровностей поверхности в данной теории эвристически рекомендуют определенный способ использования формулы (59). Он заключается в том, что при определении числа Пд в формулу (59) подставляют среднее значение Л47 и дисперсию DR тех параметров шероховатости (Ra, Rq, опорная линия профиля на уровне и), для которых они определены методами теории случайных функций. Профилограммы шероховатости поверхности при этом интерпретируют как реализации стационарной эргодической случайной функции у (х, ш) с нормальным распределением вероятностей. Переменная X означает вектор пространственных координат, меняющихся в области Т евклидова пространства R , а переменная ш — элементарное случайное событие из некоторого вероятностного пространства. [c.74]

Эта теорема стала теперь гораздо более обш,ей. Раньше ортогональность траекторий и волновых поверхностей рассматривалась лишь в обычной евклидовой геометрии. На самом же деле эта теорема справедлива для той неевклидовой и даже неримановой геометрии, которая внутренним образом связана с данной механической задачей. Поэтому наши прежние рассуждения были справедливы благодаря тому в какой-то мере случайному обстоятельству, что линейный элемент внутренней геометрии был пропорционален евклидову линейному элементу [см. (8.9.1)]. [c.328]

В виде частного приложения мы можем представить себе световые лучи в оптически изотропной, но неоднородной среде с коэффициентом преломления п(х,у,г), меняющимся от точки к точке. Как мы уже видели в п. 18, световые лучи тождественны с геодезическими линиями метрического многообразия, имеющего линейным элементом ds = nds, где ds есть обыкновенный линейный элемент физического (евклидова) пространства. Так как элемент ds отличается только позиционным множителем п от евклидова элемента ds, то обобщенные количества движения р траекторий будут также отличаться только на локальный множитель от направляющих косинусов соответствующей касательной, так что введенное выше условие ортогональности (58) приобретает в этом случае обычный смысл, который оно имеет в элементарной метрике. С другой стороны, как было отмечено в п. 18, п ds есть не что иное, как элемент времени dt, которое требуется свету, чтобы пройти элемент пути ds следовательно, действие сводится к времени распространения света. Таким образом, мы на основании теоремы Бедьтрами — Липшица заключаем, что световые лучи, которые в заданный момент выходят из заданной поверхности oq в направлении, ортогональном к Oq, или, в частности, из единственного центра, остаются всегда ортогональными к поверхности /= onst, каков бы ни был показатель преломления п, т. е. какова бы ни была неоднородность среды. Эти поверхности, представляющие собой геометрические места точек, к которым свет приходит за один и тот же промежуток времени, образуют так называемые волновые поверхности (см. гл. X, упражнение 13). [c.451]

Однородное поле. Перейдем теперь к задаче, упоминавшейся в конп е 27.6. Определим характеристическую функцию и, следовательно, уравнение поверхностей равного действия для задачи о плоском движении частицы единичной массы в однородном поле сил. Пространство конфигураций для этого случая есть пе что иное, как обычная евклидова плоскость, в которой движется частица. Направим ось Оу вдоль поля, а за поверхность нулевой энергии возьмем ось Ох] тогда будем иметь V = — gy ж h — 0. Обозначая через и, v составляюш,ие начальной скорости в точке ( oi Уо)у можем написать [c.558]

Прямые, параллельные Ох, являются, таким образом, следами равнофазных пространств наблюдателя, смещающегося на плоскости х01. Точки. .. а. О, а,. . . прёдставляют собой проекцию их пересечений с пространством неподвижного наблюдателя в момент 1 = 0 эти пересечения двух пространств с тремя измерениями являются двумерны.ми поверхностями и даже плоскостями, потому что все рассматриваемые здесь пространства евклидовы. Сечение пространства-времени, которое для неподвижного наблюдателя является пространством, с течением времени будет представляться прямой, параллельной Ох и равномерно смещающейся по направлению. возрастающих Легко видеть, что равнофазные плоскости. .. а, О, а,. .. [c.650]

Рис. 3. Движение точки по поверхности, гладкой в смысле непрерывной дифференцируемости (для простоты — бесконечной) и гладкой в смысле нешероховатой сила реакции, удерживающая точку на поверхности, ей ортогональна (идеальная связь). Движение системы материальных точек со связями также можно интерпретировать как движение некоторой точки по многообразию положений в евклидовом пространстве высокой размерности

Поверхность текучести выпукла. Напомним, что е приложении к трехмерному евклидовому пространству выпуклая поверхность определяется тем, что каждое плоское сечение ее есть выпуклая кривая, т. е. такая кривая, которая может пересекаться прямой линией только в двух точках. Представление о выпуклой поверхности в девятимерном пространстве вполне аналогично. [c.54]

Леви-Чивиты символ. При этом =(-рГ)= ( —1) sign (g)T, а один из Т и . Г является нсевдотензором (меняет знак при отражении). Тензор и его Д. т. принадлежат ортогональным подпространствам /(.-мерного пространства. Благодаря утому переход к Д. т. hпонятие потока через поверхность и Гаусса — Остроградского формулу, а в евклидовом случае — упростить тензорные выражения. Папр., если — эле- [c.23]

Принципиально иная ситуация с К. г. имеет место в общей теории относительности (ОТО) ввиду того, что пространство-время в aToii теории может обладать сложной тонологич. структурой. В решениях ОТО К. г. могут сохраняться даже при макс. непрерывном расширении любой частичной поверхности Коши, Такие К. г. являются уже свойством пространства-времени в целом. Их существование однозначно связано с отсутствием глобальной причинной предсказуемости. Обычно, говоря о К. г. в каком-нибудь искривлённом пространстве-времени, имеют в виду именно эти К. г. В частности, решения ОТО, описывающие идеализированные вращающиеся или электрически заряженные чёрные дыры, обладают К. г., определённым по отношению ко всему трёхмерному асимптотически евклидову пространству, в к-ром находится чёрная дыра при этом К. г. всегда находится под горизонтом событий чёрной дыры и, т. о., не виден внеш. наблюдателю. Для этих решений нельзя также построить глобальную поверхность Коши. [c.483]

Если имеется 2-мерная поверхность в 3-мерном евклидовом пространстве, то в каждой точке можно провести к этой поверхности касат. вектор, а все векторы, касающиеся поверхности в данной точке, образуют касат. плоскость. В теории М,- понятие касат. вектора и касат. просп1анства необходимо определить внутр. образом, не обращаясь к вложению М. в евклидово пространство. Для этого вектор, касающийся М. в век-рой точке, интерпретируют как задающий нек-рое направление в этой точке и скорость движения по этому направлению. Направление и скорость движения вдоль него можно охарактеризовать при помощи параметризов. кривой, целиком лежащей в М. и проходящей через данную точку. Это и служит основой для определения касат. вектора в произвольном М. [c.163]

Я —10 раз(точные цифры зависят от выбора конкретной теории элементарных частиц и механизма, обеспечивающего раздувание), После столь сильного расширения геометрия пространства внутри раздувающейся области Вселенной становится практически неотличимой от евклидовой геометрии плоского мира, подобно тому как геом. свойства поверхности воздушного шара во мере его раздувания всё меньше и меньше отличаются от свойств плоскости. Раздувание Вселенной приводит к тому, что монополи и др, неоднородности оказываются преим. за пределами её наблюдаемой в совр. эпоху части размером 4 10 см. Это одновременно [c.241]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...