Гиперболическое отображение

Дадим эквивалентное определение гиперболического отображения А гиперболично, если Я = 0 или, что то же самое, если К = Я+ Я . [c.39]

Рис. 1,8.1. Гиперболическое отображение тора

Заметим, что все отображения Т М. естественно продолжаются на НиКи оо , если положить T —d/ ) = oo и Т(оо) — а/с (или Г(оо) = оо, если с=0). Прим ы преобразований Мёбиуса zh- —1/г, zt- z + b ( еЖ) и zf- az (а > О). Они представляют собой соответственно три типа преобразований Мёбиуса с точки зрения внутренней геометрии плоскости Лобачевского эллиптические (прямые аналоги евклидовых вращений), с одной неподвижной точкой внутри плоскости, параболические, без неподвижных точек на плоскости и не имеющие инвариантных геодезических, и гиперболические, без неподвижных точек, но с единственной неподвижной геодезической (осью). На Н параболическое отображение имеет единственную неподвижную точку в Ru oo , а гиперболическое отображение имеет две неподвижные точки в KU oo . И параболические, и гиперболические отображения представляют собой аналоги параллельных переносов в евклидовой плоскости. [c.216]

Напомним, что для линейных отображений А R"—>R" множество вс собственных значений А обозначается через sp(A) (определение 1.2. Если А — гиперболическое отображение, мы определяем наименьшие i рости сжатия и растяжения для А по следующим формулам [c.246]

В п. 2.5 в мы ограничились только линейными двумерными подковами они возникали при рассмотрении пересечения образа /(Д) прямоугольника Д под действием диффеоморфизма / с самим множеством Д в предположении, что / — аффинное гиперболическое отображение на каждой компоненте связности множества Дп/ (Д). Теперь мы определим подковы более высоких размерностей и порожденные нелинейными отображениями. Из этого определения будет ясно, что конструкция кодирования из п. 2.5 в переносится на наш случай дословно. [c.279]

Теорема. Локальная связность. Если множество Жюлиа гиперболического отображения связно, то оно и локально связно. [c.242]

Лемма. Границы компонент связности множества Фату. Если 17 — односвязная компонента связности множества Фату гиперболического отображения, то граница 817 локально связна. [c.242]

В случае hi > 1 решение уравнения (4.40) получается из (4.41) заменой тригонометрических функций на гиперболические и oi на oi = 1/Я 1 — 1. В результате имеем функцию соответствия для точечного отображения в виде [c.102]

Функциональные инварианты возникают в С -классификации отображений прямой, имеющих более одной гиперболической неподвижной точки (Г. Р. Белицкий и др.). Рассмотрим диффеоморфизм интервала, имеющий две гиперболические неподвижные точки — притягивающую и отталкивающую. В окрестности каждой из этих точек диффеоморфизм единственным образом включается в гладкий поток. [c.75]

При достаточно малых h отображения A-+, Aj- сжимающие, a отображения A++, A+ гиперболические —они растягивают в направлении z и сжимают в Направлении у. Отсюда можно вывести следующие результаты [c.131]

Основное содержание работы связано с изложением иной концепции построения сеток, развиваемой, главным образом, в работах российских ученых в течение 30 лет [1]. Главная особенность подхода связана со специальным способом формализации критерия (Р), приводящему к нелинейному вариационному функционалу, в который входят как первые, так и вторые частные производные функций, реализующих отображение. Этот непрерывный функционал появляется естественным образом после рассмотрения дискретного функционала, минимизирующего меру относительной погрешности неравномерной сетки по сравнению с равномерной. Такая формализация приводит к системе уравнений Э-0 четвертого порядка, гиперболической в широком смысле. Это позволило рассмотреть новые более широкие типы краевых условий, а также разработать эффективные алгоритмы и программы построения сеток для весьма сложных областей. Экономичные и эффективные процедуры расчета сеток связаны с применением итерационных процессов, использующих как специальную нестационарную модификацию уравнений Э 0, так и прямые геометрические способы минимизации дискретных функционалов, формализующих все три критерия оптимальности. [c.513]

В случае нормы (1.32) это означает, что каждое из вспомогательных отображений Г, сжимающее. В общем случае, если отображение Т преобразует в себя некоторую выпуклую область С, то отображение Т имеет в области С неподвижную точку. Если дополнительно отображение Т еще и сжимающее, то эта неподвижная точка единственная и седлового (гиперболического) типа. Область С, определяемая неравенствами [c.133]

Гиперболические конформные отображения [c.127]

Мы начнем с краткого описания основных задач, связанных с /г-конформными отображениями, которые представляют собой гиперболический аналог обычных конформных отображений. В главе I мы говорили о том, что дозвуковой режим газовых течений характеризуется эллиптичностью, а сверхзвуковой — гиперболичностью соответствующих систем уравнений с частными производными. В то время как конформные отображения связаны с простейшей эллиптической системой — системой Коши —Римана, /г-конформные отображения связаны с простейшей гиперболической системой [c.127]

И) ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 129 [c.129]

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 131 [c.131]

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [c.133]

Например, пусть в описанной выше постановке /о — конформное отображение, а fi удовлетворяет в Di гиперболической системе (12) пусть V=V x,y) и а = а(д , г/) —характеристики отображения fi, а Vq и о = О — предельные значения этих характеристик при х- —оо. Сглаживающий процесс для отображения fi можно организовать, скажем, так. Заменяем характеристики V и а функциями [c.158]

Алгоритм А естественно считать эллиптическим, если для соответствующих ему отображений f = А D) справедливы вариационные принципы теории конформных отображений. Гиперболические алгоритмы определяются так, чтобы для соответствующих отображений влияние локальных вариаций границы области сказывалось лишь в зонах, ограниченных кривыми, которые называются характеристиками алгоритма. Накладывая на алгоритмы целесообразные дополнительные свойства, можно выделять те или иные классы отображений. [c.160]

Несмотря на то, что неизвестно, плотны ли гиперболические отображения, справедлива следующая теорема о структурной устойчивости на множестве Жюлиа, так называемой /-устойчивости, доказанная Сулливаном, Манэ и Садом, а также в несколько более слабой форме М. Ю. Любичем 129]. [c.225]

Замечание. Здесь слово гиперболический упомянуто в связи с гиперболической геометрией или геометрией Лобачевского и Бойяи. (Ср. следствие 2.10 ниже.) К сожалению, термин гиперболический имеет в голоморфной динамике как минимум три существенно различных широко распространенных значения. Мы можем говорить о гиперболической периодической орбите (с множителем, не лежащим на единичной окружности), или о гиперболическом отображении ( 19), или о гиперболической поверхности, как здесь. Чтобы избежать путаницы, используя это слово в данном геометрическом смысле, я буду писать более точно — конформно гиперболично, сохранив термин динамически гиперболично для остальных двух случаев. [c.28]

Теорема. Гиперболические отображения. Рациональное отображение степени (1 2 динамически гиперболично тогда и только тогда, когда замыкание посткритического множества Р отображения / не пересекается со своим множеством Жюлиа или тогда и только тогда, когда орбита каждой критической точки сходится к притягивающей периодической орбите. На самом деле, если / гиперболично, то каждая орбита в его множестве Фату должна сходиться к притягивающей периодической орбите. [c.240]

Замечание. Гиперболические отображения обладают и многими другими важными свойствами. Каждая периодическая орбита гипербо- [c.240]

Иными словами, если имеется бесконечное число компонент связности множества Фату, занумерованных в любом порядке как С/1, С/2,. .., то диаметр 17 в сферической метрике должен стремиться к нулю при j 00. (Однако гиперболическое отображение с несвязным множеством Жюлиа может иметь бесконечное число компонент связности множества Фату с диаметрами, отграниченными от нуля. См. пример Макмуллена на рисунке 2а. Автору неизвестно ни одного подобного примера со связным множеством Жюлиа, даже в негиперболическом случае.) [c.245]

Гаусс, К.Ф. 42, 282, 289 Геодезическая 34, 40, 237 Гиперболическая поверхность 28, 74 Гиперболическое отображение 23, 240 Голоморфный 11 Грётш, X. 10, 267 [c.318]

Произвольные формы. Кикукава разработал и применил методы решения задач для отверстий и закруглений заданной произвольной формы ). По этому методу последовательные улучшения начального конформного отображения производятся до тех пор, пока не будет достигнуто адекватное приближение к заданной форме области. Подробные результаты получены для задач о концентрации напряжений в растягиваемой пластинке со следующими возмущающими факторами 1) отверстие ромбовидной формы с круглыми закруглениями по углам, 2) двойной вырез в полосе, причем каждый из вырезов имеет две параллельные прямолинейные стороны, соединенные полуокружностью, что придает вырезу форму буквы U, 3) закругленная в виде че верти окружности галтель в месте перехода пластинки от конечной ширины до ширины бесконечной. Результаты для случая 2) очень близки к результатам Нейбера для двойного гиперболического выреза (см. 64). [c.213]

При 8>0 отображение /е имеет две гиперболические неподвижные точки. Как показано в п. 5.8, конечногладкая классификация таких отображений имеет функциональный модуль — диффеоморфизм окружности в себя. Локальному семейству (22) соответствует класс эквивалентности ростков по е в нуле семейств диффеоморфизмов окружности [c.76]

Пример. Пусть Ki и /Tj—два квадрата на плоскости со сторонами длины 1, параллельными координатным осям, и центрами (1, 0) и (3, 0). Рассмотрим отображение f . KxUKi R2 отображение /1 (j , -А ((j , у)-faj —суперпозиция переноса на вектор и гиперболического поворота Л R R2, X, у)- Юх,0, у) (рис. 41), ai = (—1, 1), а2 = ( —3, 3). Множество точек плоскости, на которых определены все (положительные и отрицательные) итерации отображения /, гомео-морфно отображается на пространство последовательностей нз двух символов следующим образом точке Р соответствует последовательность аь(Р), причем аь(/ )= , если и только если f P)( Ki. Нетрудно доказать, что это отображение — гомеоморфизм очевидно, он сопрягает отображение / со сдвигом а. [c.113]

Рис. 46 a., Отображение соответствия для гиперболического седла, б. Образ я прообраз отображения последования, соответствующего гомоклинической

Изложенный здесь подход к решению волновых задач с условиями на движущихся границах тесно связан с методом iJ-конформных отображений для уравнений гиперболического типа [3.25]. К настоящему времени математическая теория iJ-конформных отобра- [c.95]

На основе точных решений интегральных уравнений первого рода, содержаш,их в качестве ядер эллиптические функции Якоби (см. 1.4), получено точное решение контактных задач теории упругости о чистом сдвиге штампом (в общем случае деформируемым) цилиндрического тела, представляюшего собой в сечении область, ограниченную координатными линиями ортогональной линейной системы координат на плоскости, коэффициенты Ламе которой удовлетворяют некоторым условиям [168]. Сюда относятся декартовы, полярные, биполярные, параболические, гиперболические и другие координаты. Аналогичные задачи в случае полосы изучались в работе [44], здесь же предложена схема построения точного решения рассматриваемых задач путем конформного отображения полосы на конечную область. [c.153]

Значительную известность получило гиперболическое точечное отображение, названное впоследствии подковой Смейла , которое является структурно устойчивым (грубьш) и одновременно имеет бесконечное множество различных седловых (не-устЬйчивых) неподвижных точек. [c.85]

Описанное локальное поведение характеризует аналитические отображения. Можно доказать, что если некоторое непрерывное отображение f локально взаимно однозначно в плоской области D всюду, кроме изолированных точек, в которых оно имеет характер целой степени, то существует непрерывное и взаимно однозначное преобразование D, которое преобразует f в аналитическую функцию. Отметим еще, что гиперболически аналитические отображения обладают в известном смысле противоположными свойствами. В самом деле, как видно из формул (15) предыдущего раздела, их якобиан g (л - - у) (х — у) может менять знак [c.73]

Б. В. Шабат, О гиперболических квазиконформных отображениях (в сб. Некоторые вопросы математики и механики , к семидесятилетию М. А. Лаврентьева, Новосибирск, 1970). [c.161]

Заключительные замечания. Теоремы существования и единственности решения поставленной задачи представляют собой обобщение соответствующих теорем теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа [15]. Теорема существования будет локальной, поскольку в общем случае минимизируемые функционалы являются многоэкстремальными. Более того, для существования решения требуется свойство полной непрерывности отображения X —> К Х), которое в общем случае можно только постулировать. Проблема доказательства полной непрерывности для рассматриваемых здесь нелинейных прямых краевых задач, описываемых вариационными или квазивариационными неравенствами, по-видимому, пока не решена. [c.483]

Предположим, что при е = О гамильтонова система вполне интегрируема существуют п аналитических интегралов Fi,..., Г , попарно находящихся в инволюции и почти всюду независимых. Так как гиперболический тор TJ нерезонансный, и поверхности Лд состоят целиком из асимгпчэтических траекторий, то функции Fj постоянны на Л . Таким образом, Aq содержатся в некотором замкнутом множестве [z Fi(z) = i,..., F (z) = с ], причем, согласно результатам 9 гл. И, точка с = (сь..., с ) G R" является критическим значением отображения F — R". [c.254]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...