Форма квадратичная приведение к каноническому

Рассмотрим особую систему обобщенных координат, в которой кинетическая и потенциальная энергии системы аналитически выражаются положительно определенными квадратичными формами, приведенными к каноническому виду. Такие координаты называются нормальными, или главными. Напомним, что в аналитическом выражении, которым определяется квадратичная форма, приведенная к каноническому виду, нет членов с произведениями переменных. В этом случае положительно определенная квадратичная форма является суммой квадратов. [c.242]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Этот вид является по существу наиболее общим но не надо забывать (п. 24), что квадратичная часть живой силы и функция Т - и предполагаются уже приведенными к канонической форме [c.394]

Квадратичные формы, приведение к каноническому виду 367 Кеплер 183, 199 [c.428]

Пример 43.1. Найта собственные частоты системы с двумя степенями свободы путем приведения к каноническому виду квадратичных форм (43.4) и (43.6). [c.243]

Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду. Начнем с повторения следующей теоремы из алгебры ). Пусть даны две квадратичные формы с п переменными [c.367]

Введение главных координат равносильно одновременному приведению двух квадратичных форм Т и и к каноническому виду. Действительно, Т и и в случае произвольных независимых координат задаются с помощью двух симметричных матриц [c.275]

Общей процедурой отыскания главных осей инерции является известный алгебраический процесс приведения квадратичной формы к каноническому виду. Наиболее просто диагонализация осуществляется в тех случаях, когда тело обладает симметрией в распределении масс, или, как говорят, материальной, сим-мет р и е й. [c.351]

Наиболее общий метод нахождения решения задачи, независимый от наличия или отсутствия у системы вырожденных частот, основан на приведении квадратичных форм (43.4) и (43.6) к каноническому виду с помощью последовательного введения нормальных координат (или одновременного приведения к диагональному виду матриц кинематических т у и динамических кц коэффициентов). [c.243]

Заметим наконец, что параллельно с приведением тензора инерции к виду (50.10) квадратичная форма (50.3) для кинетической энергии вращательного движения твердого тела приводится к каноническому виду [c.287]

Для конечномерных представлений простых алгебр Ли ряд. в (1.39), естественно, обрывается после приведения возникающей квадратичной формы < > (во всех порядках по числу образующих S i) к каноническому виду полное число членов в (1.39) равно размерности г-го фундаментального представления. Окончательное выражение для решений (III. 1.10) представимо в виде [c.153]

Квадратичная форма называется положительно-определенной, если она принимает только положительные значения, обращаясь в нуль, когда все переменные Дi , Х2, —, равны нулю, Для того чтобы форма была положительно-определенной, необхо димо и достаточно, чтобы все коэффициенты формы после приведения ее к каноническому виду были положительны. Этому условию можно дать следующее выражение. Как мы знаем, квадратичная форма может быть приведена к виду [c.50]

Приведением одной из квадратичных форм — кинетической или потенциальной энергии — к каноническому виду достигается значительное упрощение как основной системы (3.13), так и других, связанных с ней уравнений общей теории колебаний. [c.107]

Здесь Ьц, bi2, Ъц, й], 2 не зависят от выбора нормального сечения I, а зависят лишь от координат той точки, через которую проведено нормальное сечение. В то же время эти величины зависят от выбора направлений координатных линий, проходяш,их через данную точку. На поверхности суш,ествуют два взаимно ортогональных направления Tj, To, для которых k принимает соответственно минимальное min и максимальное йтах значения. Из курса математики известно, что любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду, который содержит лишь квадраты переменных. Это приведение эквивалентно преобразованию одних ортогональных координат в другие ортогональные координаты, в которых квадратичная форма обретает канонический вид. Пусть координатные оси aj и совмеш,ены с теми ортогональными осями, в которых упомянутая вторая квадратичная форма приводится к каноническому виду, т. е. в этих осях = О и [c.421]

Приведением квадратичной формы V к каноническому виду по методу Якоби А. Д. Г0рбу110в (1950) и Б. С. Разумихин (1957) из неравенства (12.1) вывели оценку [c.63]

Так как, согласно теореме жнерцин квадратичных форм, число положительных и отрицательных коэффициентов в квадратичной форме, приведенной с помощью вещественного линейного невырожденного преобразования к каноническому виду, гге зависит от выбора этого преобразования и среди множества таких преобразований, как уже отмечалось, существует такое, которое приводит [c.94]

Подобным же образом, как и в только что приведенном примере, можно также показать [8], что суш ествует каноническая система дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона Н, для которой вообще нет никаких сходящихся интегралов д(х, у), кроме самой Н и сходящихся степенных рядов относительно Н. В случае п = 2 для построения такой функции Н можно исходить опять из формул (18) и (19), но нри этом 1/q нужно заменить еще более быстро стремящейся к нулю функцией от q. Точнее, любую функцию Гамильтона с квадратичной частью i xiy + РХ2У2) произвольно малым изменением коэффициентов членов высших порядков можно превратить в такую, которая уже обладает указанным свойством, т. е. у которой отсутствуют другие сходящиеся интегралы. В связи с этим можно упомянуть теорему Пуанкаре [9]. В ней рассматриваются функции Гамильтона H z, 11), которые, кроме z, . .., Z2n, зависят еще от параметра , причем аналитически около точки = 0. Тогда теорема гласит, что при некоторых предположениях относительно H z, 0) и производной H z, 0), которые в общем случае вьшолнены, не существует других сходящихся степенных рядов по 2п + 1 переменным, . .., Z2n и /i, являющихся интегралами системы Гамильтона, соответствующей функции H(z, 11), кроме степенных рядов по самим Н ъ л. Однако в теореме Пуанкаре ничего не говорится о фиксированных значениях параметра jjL. Мы уже упоминали выше, что система Гамильтона в случае линейно независимых собственных значений Ai,. .., Л может приводиться к нормальной форме подстановкой, задаваемой расходящимся степенным рядом, если не существует п независимых сходящихся интегралов здесь мы построили такой пример. Теперь можно было бы думать, что множество чисто мнимых корней (f = 1,. .., гг), для которых преобразование в нормальную форму представлено расходящимися рядами, имеет п-мерную меру Лебега, равную нулю, как это было [c.280]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...