Интеграл состояний (статистический)

Очевидно, в состоянии статистического равновесия К (х, х ) может зависеть лишь от разности времен х — х — Ь, в силу чего возможно представление функции К (х, х ) = /С (X, X ) в виде однократного интеграла Фурье. Эту форму записи К будем называть спектральным представлением. Мы увидим, что соответствующий фурье-образ обладает важными [c.23]

Подобно тому как в классической статистике нахождение свободной энергии сводилось к вычислению интеграла состояний, в квантовой оно сводится к вычислению суммы состояний [или статистической суммы ], равной [c.287]

Заметим, что полученный для свободной энергии результат можно рассматривать как следствие структуры классического интеграла состояний, в котором от исходной статистической суммы сохранилось суммирование по дискретным индексам, характеризующим внутренние микроскопические состояния всех N молекул системы [c.486]

Статистический метод. В этом методе принимается, что электроны в атоме распределены с непрерывной плотностью р вокруг ядра. Основная задача заключается в нахождении плотности электронов и распределении потенциала. Полная энергия атома записывается в виде интеграла, который зависит от неизвестной функции р. Распределение плотности р находится из условия минимума энергии. Это позволяет вычислить энергию основного состояния и распределение плотности электронов в атоме. [c.282]

Переход к новому типу каузальной связи, который условно можно было бы назвать <(Квантовым и который характерен для квантовой (нерелятивистской и релятивистской) механики, где уже классические величины заменяются операторами, где вероятность состояния индивидуальной частицы и индивидуального акта взаимодействия имеет, как известно, совсем иной смысл, чем вероятность состояния ансамбля в классической статистической механике, приводит к тому, что положение и роль принципа Гамильтона оказываются в квантовой механике совершенно иными, чем в классической физике. Важная историческая роль, сыгранная принципом и оптико-механической аналогией в начальной стадии формирования волновой механики, объясняется не только тем, что существует реальная связь и предельный переход от механики атома к классической физике, но также и тем, что существуют общие черты в типах каузальной связи макро- и микрокосмоса. Но именно потому, что для энергии и времени, так же как для импульса и соответствующей координаты, в квантовой механике имеют место перестановочные соотношения, а сами они являются уже операторами, классический интеграл Гамильтона (и принцип наименьшего действия) имеет в ней не- [c.873]

В статистике Максвелла - Больцмана с квантованной энергией может быть введено понятие статистической суммы (суммы состояний) 2, аналогичное понятию статистического интеграла. Исключим из выражений [c.216]

По своей структуре член Ii t) аналогичен интегралу столкновений Левинсона (4.5.13), за исключением того, что в формуле (4.5.47) поправки Хартри-Фока включены в невозмущенный оператор эволюции. Новый член Ii (t) учитывает вклад неравновесных корреляций в интеграл столкновений. Даже не производя явных вычислений, легко заметить, что в тепловом равновесии Ii t) и Ii t) точно компенсируют друг друга и, тем самым, полный интеграл столкновений (4.5.46) обращается в нуль. Чтобы убедиться в этом, проще всего вернуться к выражению (4.5.45) для статистического оператора. Мы уже отмечали, что в тепловом равновесии квазиравновесный статистический оператор (4.5.26) переходит в распределение Гиббса Заменяя в (4.5.45) Qq на равновесный статистический оператор и учитывая, что коммутирует с гамильтонианом системы, находим, что д = д . Отметим, что при этом каждый из интегральных членов уравнения (4.5.45) в равновесном состоянии не равен нулю [c.318]

Корреляционная функция под знаком интеграла в формуле (8.4.97) вычисляется в состоянии, которое описывается статистическим оператором (8.4.83) с (3 = (3 г t) и fi = fi r t). Поскольку сверхтекучая жидкость является системой с нарушенной градиентной симметрией, для любых динамических переменных и А2 эта корреляционная функция определяется как квазисреднее [c.204]

Здесь п — число поглощающих молекул, В(Е, Е ) — коэффициент Эйнштейна (переход между двумя состояниями вырожденных уровней Е и Е с поглощением частоты V), g E) и g E ) — статистические веса уровней Е и , V — скорость света в среде, О — статистический интеграл равновесной функции распределения молекул по колебательным уровням исходного электронного состояния. Колебательные энергии начального и конечного уровней связаны с частотой перехода V (рис. 18) соотношением [c.41]

Каноническая статистическая сумма в классической статистической механике выражается через интеграл по фазовому пространству, а не через сумму по квантовым состояниям. Действительно, каждое состояние задается точкой в пространстве, осями которого являются обобщенные координаты ql,.. ., qf и обобщенные импульсы р1,. . ., pf. Благодаря множителю gh f, где постоянная к имеет размерность действия [импульс X длина], [c.84]

При стремлении е к нулю арктангенсы равны п/2 в зависимости от того, больше предел интегрирования, чем , или меньше. Таким образом, если п-е состояние лежит в энергетическом интервале [ 1, 2], то этот член дает вклад в интеграл, равный единице. Если энергия лежит вне интервала, никакого вклада в интеграл не будет. Итак, сумма в выражении (2.89) вносит в интеграл по энергии вклад, равный единице от каждого состояния, попадающего в рассматриваемый энергетический интервал, т. е. является точно плотностью состояний. Зная одну только плотность состояний, уже можно вычислить статистическую сумму, а из нее все термодинамические свойства. Функция Грина дает эту информацию весьма непосредственно. [c.246]

Таким образом, главная задача равновесной статистической механики — вычисление суммы по состояниям (1.4.1) (для систем с непрерывным спектром эта сумма превращается в интеграл, а для квантовомеханических систем — в сумму диагональных элементов матрицы плотности). Результат такого вычисления дает Z и F как функции Т и любых других переменных, входящих в E(s), например магнитного поля. Термодинамические характеристики можно получить затем посредством дифференцирования. [c.17]

Проведенный выше расчет статистического интеграла Zq показал,, что это не только идеальный газ, в котором часТицы не взаимодействуют друг с другом, Ф( ,-, fj) = О, но что это еше и классический идеальный газ, так что полученные выше результаты (в частности, уравнения состояния) имеют теоретическое обоснование [c.74]

К дискретной системе с двоичным способом фиксации состояния в каждом узле пространственной решетки можно свести некоторые физические системы, не являющиеся по своей природе изначально дискретными. Рассмотрим один пример такого рода, связанный с расчетом (или оценкой) статистического интеграла классического неидеального газа [c.338]

Задача 19. Для одномерного идеального газа из твердых сфер радиусом Го (2го = Ь) рассчитать статистический интеграл и определить уравнения состояния системы, находящейся при температуре 0 и имеющей общую длину . [c.402]

В свете всего сказанного выше статистическую сумму 2 по микроскопическим состояниям п в квазиклассическом предельном случае можно записать в виде интеграла по фазовому пространству (р, д) следующим образом [c.338]

Классическая статистическая механика является не самостоятельной наукой, а приближением, справедливым только при условии статистической невырожденности системы. Привлекательность этого приближения несомненна нам не надо решать проблему собственных значений для определения , микроскопические значения энергии известны сразу — это классический гамильтониан Н(р,д), поэтому и распределение по микроскопическим состояниям ш р,д) тоже известно сразу (если не считать его нормировки). Таким образом, все проблемы теории сводятся с математической точки зрения к квадратурам — расчету конфигурационного ЗЛ -кратного интеграла Q. [c.345]

К. у. Б. учитывает только парные столкновения между молекулами оно справедливо при условии, что длина свободного пробега молекул значительно больше линейных размеров области, в к-рой происходит столкновение (для газа из упругих ч-ц сферич. формы это область порядка диаметра ч-ц). Поэтому К. у. Б. применимо для не слишком плотных газов. Иначе будет несправедливо осн. предположение об отсутствии корреляции между состояниями сталкивающихся молекул (гипотеза мол. хаоса). Если система находится в равновесии статистическом, то интеграл столкновений (2) обращается в нуль и решением К. у. Б. будет Максвелла распределение. Найденное для соответствующих условий решение К. у. Б. позволяет вычислить кинетические коэффициенты и получить макроскопич. ур-ния для [c.285]

За последние годы интерес к теории Ван-дер-Ваальса усилился в связи с поисками новых путей развития статистической термодинамики. Распространенный метод вириального разложения по степеням плотности был впервые использован Каммерлинг — Онпесом (1901 г.). После работ Урсела (1927 г.) и Мейера (1937 г.) этот метод стал общепринятым, но его теоретическая обоснованность, по-видимому, преувеличивалась. При вычислении интеграла состояний в статистике Гиббса обычно не учитывается специфика конечных систем, из рассмотрения исключаются поверхностные явления на границе выделяющейся фазы. [c.21]

Среднее (...) берется по равновесному состоянию. Таким образом, коэффициент трения предстлвляет собой интеграл по времени от автокорреляционной функции силы,. Подобные величины играют важную роль в статистической физике более подробно они будут исследованы в гл. 21. Мы уже видели в разд. 13.4, что коэффициенты переноса являются величинами такого типа. Эта автокорреляционная функция представляет собой очень сложный объект в общем случае точно ее вычислить невозможно. Таким образом, основной результат механического вывода состоит в установлении связи макроскопического параметра описывающего диссипацию, с микроскопической корреляционной функцией меж-молекулярных сил. [c.302]

Затем выведем термическое уравнение состояния для газа, поль зуясь выражением для статистического интеграла (18.7) и термодинамическим соотношением (12.7). Свободная энергия неидеального газа равна [c.125]

Интеграл столкновений (4.3.61), впервые полученный в работе [166], напоминает интеграл столкновений Улинга-Уленбека (4.1.86). Отметим, однако, что теперь одночастичные энергии E p,t) содержат поправки Хартри-Фока, а вероятность перехода выражается через Т-матрицу, которая точно описывает рассеяние двух частиц с учетом квантовых статистических эффектов (для фермионов — принципа Паули) в промежуточных состояниях. [c.296]

Статистический интеграл большой системы (в пределе N оо, F-> схз, V = V/N = onst) всегда дает наиболее вероятное макросостояние. При таком подходе к задаче метастабильные состояния жидкости и пара автоматически выпадают, остается только стабильная область [32, 33]. На этом пути нельзя получить уравнения ван-дер-ваальсовского типа, если не вводить очень сильного и ничем не обоснованного ограничения на конфигурационный интеграл [34]. (Например, учитываются только одиночные молекулы и группы, состоящие из двух молекул.) Кац, Уленбек и Хеммер [35] вернулись к идее Ван-дер-Ваальса [c.21]

Описанная выше процедура является стохастически точной, за исключением перехода от интеграла (1) к сумме (4) (вносящего дискретность состояний системы) и тех этапов решения при вычислениях с конечным числом двоичных чисел, где приходится иметь дело с обрыванием и т. д. Однако в большинстве приложений статистической механики, и особенно в статистической механике жидкостей и газов, изучаются системы, в которых М, т. е. число молекул в формуле (2), имеет порядок 10 . Арифметическое вычисление значений функций типа / (х) или и (х) при такой размерности системы, конечно, невозможно. На вычислительных машинах современного типа вычисления возможны при N порядка 1000 или около того. С точки зрения обычной ( макроскопической ) термодинамики системы из нескольких сотен молекул являются субмикроскопиче-скими, поэтому сам подход к изучению поведения больших ( макроскопических ) систем на основе расчетов с несколькими сотнями молекул представляет собой одно из наиболее серьезных приближений применения метода Монте-Карло. Необходимо тщательно рассмотреть это приближение. [c.283]

Ясно, что при температурах, отличных от О К, вариационный метод Мак-Миллана становится непригодным, так как возникает необходимость учета возбужденных состояний. Используя представление квантовой статистической суммы в виде интеграла Винера. Фосдик [30] разработал для ее расчета формальное построение более общего метода Мопте-Карло, однако изложение этого метода увело бы нас слишком далеко в сторону. Здесь достаточно отметить, что метод представляет большой теоретический и практический интерес, по в настоящее время его использование сопряжено со значительными вычислительными трудностями. Пока самой сложной задачей, для [c.319]

Наконец, в третьих. Пусть внутренние движения происходят независимо от трансляционного. Тогда статистический интеграл распадается на произведения 7 = ,ра сл внутр. причем в случае, когда отдельные виды внутренних движений (вращения, колебания и т. д.) не зависят друг от друга (см. гл. 2, 3 данного тома), это распадение на сомножители продолжится, внутр = враш колеб -, э все термодинамические величины, связанные с 1п Z, будут представлены в виде суммы независимых частей. Для трансляционной части, как мы видели, закон соответственных состояний установить можно, причем так как при сделанных выше предположениях объем V входит только в тра сл. а давление р = вд п Х/дУ, то уравнение состояния ж = 7г(т, р) будет нечувствительно к наличию внутренних движений в молекулах. Для теплоемкости будет по-другому, к трансляционной части р) прибавятся Сарзщ, Скшев [c.136]

Вопрос о моделировании реальной физической системы — это вообще один из самых тонких вопросов любой теории. При моделировании же идеальной системы мы дополнительно должны удовлетворить еще и формальному требованию сам смысл привлечения к рассмотрению идеальной системы требует, чтобы эта модель допускала точное рассмотрение вплоть до расчета суммы Примеров таких моделей в статистической механике, к сожалению, очень немного. Самая простая возможность образовать идеальную систему — опустить взаимодействие частиц друг с другом, как это мы сделали в гл. 1 на примере классического газа. При этом интеграл у нас без-особого труда рассчитался до конца, и вся задача сыфала роль неплохого показательного примера. Однако ограничение роли взаимодействия частиц только функциями организатора равновесного состояния идеального газа — это, вообще говоря, роскошь, оправданная лишь при рассмотрении достаточно разреженных систем. Для более плотных сред роль этих взаимодействий становится уже существенной, и их учет перерастает в основную проблему всей равновесной статистической теории. [c.138]

Методы приближенного статистического расчета плнт ра I. Можно определять усилия через прогибы путем интегри] я методом конечных разностей известного из строительной г 1КИ дифференциального уравнения напряженного состояния )й плиты, как показано в учебнике К. К- Муханова [37]. В [c.126]

В главе I (см. задачу 58) мы на мажроокопичеоком уровне сформулировали закон соответственных состояний для систем, фе-номенологичеокие уравнения состояния которых р=р(д, и) включают два параметра, индивидуал изируюш,их данную систему (например, в уравнениях Ван-дер-Ваальса или Дитеричи — это параметры а и Ь). В классической статистической механике мы можем обосновать существование такого закона подобия, не используя при этом готовых уравнений состояния, масштабов критического состояния н даже не рассчитывая статистического интеграла. [c.433]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...