Большой статистический интегра

Большой статистический интеграл 205 [c.308]

Задача 40. Для классического идеального газа рассчитать статистический вес, Г( , V,JV), если энергетический слой имеет ширину 6S, статистический интеграл Z e, V,N) и большой статистический интеграл ( в, V, fi). [c.125]

Задача 27. По аналогии с интегральным представлением статистической суммы 2, использованным нами в 4 основного текста, большую статистическую сумму тоже можно представить в виде аналогичного интеграла [c.110]

Удельное элементарное усталостное повреждение AD в интервале времени Ai можно выразить в виде произведения R/Ss, где R — функция, связанная с параметрами упомянутых кривых усталости. Она зависит от величин главных напряжений или главных деформаций, реализуемых при описании элемента As, и от других факторов, которые можно включить в ее выражение. В результате оказывается, что суммирование элементарных удельных повреждений АО выражается криволинейным интегралом по траектории главных деформаций, где прибавлены и компоненты Ау. Этот интеграл отражает закономерность увеличивать усталостное повреждение, когда чаще реализуются элементы As при больших значениях главных деформаций (или напряжений). Изучается также статистическая интерпретация траектории и соответствующей долговечности. [c.25]

Содержание книги достаточно полно отражено оглавлением. Несколько больше внимания, чем обычно, уделено статистическим свойствам света и спектральному представлению. Дифракция изложена в рамках интеграла Кирхгофа. На материале геометрической оптики и интерференции в тонких пленках показана эффективность матричных методов. Дифракционная теория формирования изображений, пространственная фильтрация изображений, голография и другие аналогичные вопросы представлены единообразно в рамках Фурье-оптики. Анализ частичной когерентности и частичной поляризации проводится в рамках первой корреляционной функции. [c.9]

К определению требует применения методов статистической термодинамики, например метода большого канонического ансамбля Гиббса. Вычисление фазового интеграла и частичных функций для внутренних образований типа пузырьков или капелек связано с введением модельных представлений и некоторых упрощающих допущений. Это влияет на точность конечных формул, но иногда позволяет избежать более крупных ошибок, которые могут возникнуть при непоследовательном применении результатов статистической термодинамики. [c.60]

При стремлении е к нулю арктангенсы равны п/2 в зависимости от того, больше предел интегрирования, чем , или меньше. Таким образом, если п-е состояние лежит в энергетическом интервале [ 1, 2], то этот член дает вклад в интеграл, равный единице. Если энергия лежит вне интервала, никакого вклада в интеграл не будет. Итак, сумма в выражении (2.89) вносит в интеграл по энергии вклад, равный единице от каждого состояния, попадающего в рассматриваемый энергетический интервал, т. е. является точно плотностью состояний. Зная одну только плотность состояний, уже можно вычислить статистическую сумму, а из нее все термодинамические свойства. Функция Грина дает эту информацию весьма непосредственно. [c.246]

При не слишком малом т распределение р У х х,1а) уже не может быть выражено через эйлеровы статистические характеристики. Однако, если то можно использовать то обстоятельство, что правая часть (9.24) в этом случае может быть представлена в виде суммы ряда интегралов, берущихся по не-пересекающимся интервалам времени продолжительности > Т, и являющихся слабо зависимыми случайными величинами. Поэтому можно думать, что к соответствующей сумме должна быть применима так называемая центральная предельная теорема для слабо зависимых случайных величин, согласно которой распределение вероятностей суммы большого числа таких величин при некоторых широких условиях оказывается очень близким к нормальному. В последние годы центральная предельная теорема была при некоторых условиях доказана и непосредственно для интегралов вида (9.24) (см., например, Розанов (1963), где рассмотрен случай интеграла от стационарной случайной функции близкие теоремы имеются и для интегралов от некоторых нестационарных случайных функций). К сожалению, прямо воспользоваться этими доказательствами все же нельзя, так как фигурирующие в них условия, налагаемые на случайные функций, не могут быть точно проверены в применении к характеристикам реальных процессов ). Тем не менее, эти условия настолько естественны, что было бы крайне странно, если бы распределение вероятностей для смещения К(т) при существенно отличалось от нормального распределения. В некоторых случаях рас- [c.472]

В статистической механике большое значение имеет интеграл Винера от следующего функционала [c.239]

К. у. Б. учитывает только парные столкновения между молекулами оно справедливо при условии, что длина свободного пробега молекул значительно больше линейных размеров области, в к-рой происходит столкновение (для газа из упругих ч-ц сферич. формы это область порядка диаметра ч-ц). Поэтому К. у. Б. применимо для не слишком плотных газов. Иначе будет несправедливо осн. предположение об отсутствии корреляции между состояниями сталкивающихся молекул (гипотеза мол. хаоса). Если система находится в равновесии статистическом, то интеграл столкновений (2) обращается в нуль и решением К. у. Б. будет Максвелла распределение. Найденное для соответствующих условий решение К. у. Б. позволяет вычислить кинетические коэффициенты и получить макроскопич. ур-ния для [c.285]

Статистический интеграл большой системы (в пределе N оо, F-> схз, V = V/N = onst) всегда дает наиболее вероятное макросостояние. При таком подходе к задаче метастабильные состояния жидкости и пара автоматически выпадают, остается только стабильная область [32, 33]. На этом пути нельзя получить уравнения ван-дер-ваальсовского типа, если не вводить очень сильного и ничем не обоснованного ограничения на конфигурационный интеграл [34]. (Например, учитываются только одиночные молекулы и группы, состоящие из двух молекул.) Кац, Уленбек и Хеммер [35] вернулись к идее Ван-дер-Ваальса [c.21]

Задача 40. Для классического идеального газа рассчитать ста тистический вес Г(ё, У, /V), если энергетический слой имеет ши рину бё, статистический интеграл Z(0, V, М) и большой стати стический интеграл (О, V, ,). [c.418]

Значительная часть содержания изложена на основании простых эвристических предстаплений, положенных в основу кинетической теории газов Больцманом. Приложение больцмановской кинетической теории газов к целому ряду конкретных задач составляет содержание первых шести глав. При этом относительно большое внимание уделено плазме. Это, во-первых, связано с важным своеобразием такого газа ионизованных частиц, а во-вторых, со значительной разработанностью кинетической теории плазмы. Обоснованию кинетической теории газов посвящены две главы, в которых на основании статистической механики дан классический и квантовый вывод интеграла столкновений Больцмана, а также изложены положения, позволяющие выйти за рамки обычной больцмановской кинетической теории газов. Соответствующий выход в область неприменимости теории, основывающейся па обычном кинетическом уравнении Больцмана, дается в последних главах книги. Здесь изложены обобщенные интегралы столкновений для дальподействующих си.п, учитывающие влияние многих частиц плалмы на процессе парного соударения, проявляющееся [c.7]

Та2 как при изотропной турбулентности и =и =ш - я и = = и = ш = 0, единственный член, содержащий скорость, достаточен для представления системы, а среднее перемещение частиц, которые проходят через данную точку, равно нулю. Поэтому большое количество таких перемещений в плане будет совершенно симметрично относительно точки и может рассматриваться как множество частиц, распространяющихся неограниченно со временем. Это множество может быть описано статистически в виде среднего квадрата или отклонения радиального расстояния г составляющих его частиц. Рассмотрим следующий определенный интеграл, осредненный для частиц, проходящих через начало координат в момент времени Т и находящихся в движении со времени / = 0 очевидно, что [c.272]

При не слишком малом т распределение р(У т х, о) уже не может быть выражено через эйлеровы статистические характеристики. Однако если т > Г, то правая часть (10.24) может быть представлена в виде суммы ряда интегралов, берущихся по непересекающимся интервалам времени продолжительностью более Т и являющихся слабо зависимыми случайными величинами. Поэтому к этой сумме должна быть применима центральная предельная теорема для слабо зависимых случайных величин, согласно которой распределение вероятностей суммы большого числа таких величин при некоторых широких условиях оказывается очень близким к нормальному. В последние годы центральная предельная теорема была при некоторых условиях доказана и непосредственно для интегралов вида (10.24) (см., например, Розанов (1990), где рассмотрен случай интеграла от стационарной случайной функции близкие теоремы имеются и для интегралов от некоторых нестационарных случайных функций). К сожалению, прямо воспользоваться этими доказательствами все же нельзя, так как фигурирующие в них условия, налагаемые на случайные функции, не могут быть точно проверены в применении к характеристикам реальных процессов. Тем не менее эти условия настолько естественны, что было бы крайне странно, если бы распределение вероятностей для смещения У(т) при т > Г существенно отличалось от нормального распределения. В некоторых случаях распределение для (т) (или хотя бы для отдельных компонент этого вектора) может быть найдено экспериментально с помощью измерения распределения концентрации в различных сечениях облака , создаваемого источником примеси (например, распределения температуры в различных сечениях теплового следа за нагретым телом). Таким образом, удалось и экспериментально показать, что во многих турбулентных течениях распределение для (т) при больших т действительно очень близко к нормальному, причем в частном случае турбулентности в аэродинамической трубе за решеткой оказалось, что оно является почти нормальным при всех значениях т (см., например, Коллис (1948), Таунсенд (1951), Уберои и Корсин [c.494]

Описанная выше процедура является стохастически точной, за исключением перехода от интеграла (1) к сумме (4) (вносящего дискретность состояний системы) и тех этапов решения при вычислениях с конечным числом двоичных чисел, где приходится иметь дело с обрыванием и т. д. Однако в большинстве приложений статистической механики, и особенно в статистической механике жидкостей и газов, изучаются системы, в которых М, т. е. число молекул в формуле (2), имеет порядок 10 . Арифметическое вычисление значений функций типа / (х) или и (х) при такой размерности системы, конечно, невозможно. На вычислительных машинах современного типа вычисления возможны при N порядка 1000 или около того. С точки зрения обычной ( макроскопической ) термодинамики системы из нескольких сотен молекул являются субмикроскопиче-скими, поэтому сам подход к изучению поведения больших ( макроскопических ) систем на основе расчетов с несколькими сотнями молекул представляет собой одно из наиболее серьезных приближений применения метода Монте-Карло. Необходимо тщательно рассмотреть это приближение. [c.283]

Ясно, что при температурах, отличных от О К, вариационный метод Мак-Миллана становится непригодным, так как возникает необходимость учета возбужденных состояний. Используя представление квантовой статистической суммы в виде интеграла Винера. Фосдик [30] разработал для ее расчета формальное построение более общего метода Мопте-Карло, однако изложение этого метода увело бы нас слишком далеко в сторону. Здесь достаточно отметить, что метод представляет большой теоретический и практический интерес, по в настоящее время его использование сопряжено со значительными вычислительными трудностями. Пока самой сложной задачей, для [c.319]

Необходимость эквидистантности зеемановских уровней для установления спиновой температуры путем взаимных переворачиваний спинов, начиная от небольцмановского распределения населенностей, можно сопоставить с аналогичным требованием сохранения больцмановского распределения, когда параметр системы (магнитное поле) изменяется адиабатически. Оба требования являются следствием общего требования статистической механики для существования температуры в большой системе, а именно, ее эргодичности, т. е. отсутствия любых интегралов движения (хорошие квантовые числа в квантовой механике), кроме общей энергии. Ясно, что в системе 5, состоящей из большого числа N одинаковых элементарных систем взаимодействующих друг с другом, неэквидистант-ность их энергетических уровней ведет к существованию для общей системы дополнительного интеграла движения — населенностей Р , индивидуальных энергетических уровней. Действительно, эти населенности можно выразить через средние значения операторов, усредненных по всей системе 5 [c.141]

Предположим для простоты, что любая постоянная компонента поля, например среднее значение потенциала, исключена из рассмотрения, т. е. среднее значение равно нулю. Это среднее значение можно представить в виде интеграла по большодгу, но конечному объему V, в котором определен вектор К, или в виде интеграла по статистическому ансамблю очень большого числа одинаковых объемов в таком ансамбле величина в любой точке пространства принимает все возможные свои значения. Утверждение о равенстве двух указанных интегралов основывается на существовании эргодической гипотезы. [c.136]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...