Локально компактное топологическое пространство

ТОПОЛОГИЯ, определенная на пространстве В , Подмножество s4 топологического пространства называется относительно компактным, если его замыкание в компактно. Топологическое пространство называется локально компактным, если каждая его точка обладает открытой окрестностью, которая относительно компактна. [c.79]

ГЛ. 5, 4, п. 3] в ш ТОПологии. Рассмотрим далее линейное пространство 21 как подмножество пространства, сопряженного (двойственного) с пространством, сопряженным с 21 (т. е. рассмотрим элементы пространства 21 как линейные функционалы на 21 ). Пространство 21 полно в 21 в том смысле, что из равенства (х Л) = 0 для всех Л е 21 следует заключение о равенстве нулю элемента х - Таким образом, 9Г, если его снабдить -топологией, становится локально выпуклым топологическим линейным пространством [91, гл. 5, 3, п. 3]. Множество в -топологии является компактным подмножеством локально выпуклого топологического пространства и, следовательно, содержит некоторые крайние точки [91, гл. 5, 8, п, 2]. Это позволяет дать ответ на заданный нами ранее вопрос о существовании чистых состояний. Кроме того, поскольку множество выпукло, по теореме Крейна — Мильмана [91, гл. 5, 8, п. 4] оно совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек (т. е. с пересечением всех замкнутых выпуклых подмножеств пространства 2[ , содержащих крайние точки множества 6). Обозначим через множество всех чистых состояний на 21 (иначе говоря, 6 —множество всех крайних точек множества <5). Предположим теперь, что для некоторой пары (Л, В) элементов алгебры 2[ и всех выполняется неравенство (ф ЛХ(р В). Поскольку [c.85]

Так как конечномерное гладкое многообразие обладает естественной локально компактной топологией, теория гладких динамических систем естественно использует понятия и результаты топологической динамики. Другая, более глубокая, причина зависимости дифференциальной динамики от топологической состоит в том, что при изучении асимптотического поведения гладких динамических систем часто возникают весьма сложные негладкие явления, которые в других ситуациях были бы отброшены как патологические. В частности, некоторые важные инвариантные множества гладких систем, например аттракторы (см. определение 3.3.1), могут не обладать никакой гладкой структурой, и, следовательно, такие множества должны исследоваться с другой, негладкой, точки зрения. Символическая динамика, область, изучающая специальный класс топологических динамических систем, которые возникают как замкнутые инвариантные подмножества преобразования сдвига в пространстве последовательностей (см. 1.9), является особенно важной в этом отношении. Для дальнейшего рассмотрения связей между топологической и гладкой динамикой мы отсылаем читателя к 2.3. [c.22]

Следствие 1.4.3. Непрерывное открытое отображение f локально компактного сепарабельного метрического пространства топологически транзитивно тогда и только тогда, когда не существует двух непересекающихся открытых непустых f -инвариантных подмножеств. [c.44]

Для формулировки заключительного следствия нам потребуются несколько определений. Топологическое пространство X называется пространством Бэра, если каждое счетное пересечение плотных подмножеств X плотно в X. Мы применим теорему Бэра, в которой утверждается, что каждое полное метрическое пространство, а также каждое локально-компактное пространство являются пространствами Бэра (Ср. задачу 4-j). Из соображений удобства будем говорить, что свойство точек пространства Бэра справедливо для точек общего положения х Х, если это справедливо для всех точек в некотором счетном пересечении плотных открытых подмножеств X. Мы будем использовать это понятие при изучении топологического пространства J(/). [c.69]

Отображение X X называется топологически транзитивным, если для любой пары непустых открытых подмножеств II, V существует целое п О такое, что /°"(С/)П непусто. (Ср. 4.7.) Покажите, что если это условие выполнено, и существует счетная база открытых подмножеств локально-компактного пространства X, то орбита общего положения отображения f плотна (ср. 4.13). [c.74]

Возникающее в результате этой идентификации пространство — поверхность т рода 2. Так как сумма внутренних углов восьмиугольника Q равна 2тг, отображение отождествления является гладким в вершинах (которые склеиваются в одну точку), и можно, следовательно, перенести метрику из Q на т. Мы получим компактное многообразие, которое является локально изометричным Н. Топологически это многообразие гомеоморфно сфере с двумя ручками, т. е. поверхности кренделя . Можно также показать, что т — пространство, полученное отождествлением орбит группы Г, порожденной изометриями А , г = 1,..4, отображающими а,, в а. Другими словами, фундаментальная группа пространства т может быть отождествлена с дискретной группой Г гиперболических преобразований Мёбиуса. [c.221]

В п. 5.4 е были установлены некоторые свойства геодезических потоков на компактных факторах гиперболической плоскости, характерные для систем с гиперболическим поведением, а именно плотность периодических орбит, топологическая транзитивность и эргодичность относительно гладких инвариантных мер. Теперь мы хотим показать, что геодезический поток на компактном факторе гиперболической плоскости является потоком Аносова. Будем использовать обозначения из 5.4. Рассмотрим геодезический поток на компактном факторе т полуплоскости Н, т. е. геодезический поток на поверхности т, полученной в результате факторизации Н по такой дискретной группе изометрий без неподвижных точек Г, что фактор Г И компактен так как пространство т локально изометрично Н, мы получаем, используя предложение 5.4.13 и компактность т, следующую теорему. [c.549]

Пусть X — локально-компактное топологическое пространство, и / гомеоморфно отображает некоторую компактную окрестность N точки х на компактную окрестность N так, что /(ж) = х. Покажите, что х является топологически отталкивающей точкой для / тогда и только тогда, когда она является топологически притягивающей для / . (Здесь условие локальной взаимной однозначности / существенно. Например, для отображения f z) = z нуль является притягивающей точкой, а для негладкого отображения g z) = 2z z нуль является точкой отталкивающей, при этом ИИ одно из этих отображений не является локальнообратимым в нуле.) [c.112]

Прежде всего напомним читателю, что борелевские множества локально компактного хаусдорфова пространства Г мы определяли (стр. 79) как элементы сг-кольца Р (< ), порожденного всеми компактными подмножествами пространства Г. Подмножество 5 топологического пространства называется С б-под-множеством, если существует последовательность С/ открытых [c.188]

Доказательство. Так как L — положительный оператор и II > О, то G(n) = (L n(l))- rni ,A4(SI) для Напомним теорему Шаудера— Тихонова (см. Данфорд и Шварц, Линейные операторы, т. 1, стр. 423) пусть Е—непустое компактное выпуклое подмножество локально выпуклого топологического векторного пространства тогда всякое непрерывное отображение G Е- Е имеет неподвижную точку. Согласно этой теореме, существует такая мера vsAi(SI), что G(v) = v. Отсюда получаем, что L v = kv ск>0. [c.20]

Топологическая динамика. Фазовое пространство в этой теории — хорошее топологическое пространство, обычно метризуемое компактное или локально компактное (см. 1 приложения). Топологическая динамика рассматривает группы гомеоморфизмов и полугруппы непрерывных преобразований таких пространств. Иногда эти объекты называются топологическими динамическими системами. Так же, как и для эргодической теории, в рамках этой книги мы используем понятия и результаты из топологической динамики прежде всего в качестве инструментов для исследования гладких динамических систем. Хотя мы не пытаемся дать всеобъемлющее введение в топологическую динамику, в данной книге содержится много результатов, относящихся к этой теории, начиная с первого обзора примеров в гл. 1 и затем в гл. 3. В 4.1, 4.5 и далее 20.1 и 20.2 приведены фундаментальные связи между топологической динамикой и эргодической теорией. Некоторые результаты гл. 8 (например теорема 8.3.1), а также гл. 11 и 15 целиком посвящены специальным классам динамических систем без каких-либо предположений о дифференцируемости и поэтому относятся к топологической динамике. [c.21]

Лемма 1.4.2. Пусть f X—>X —непрерывное отображение локально компактного сепарабельного метрического пространства X в себя. Отображение f топологически транзитивно тогда и только тогда, когда для любых двух непустых открытых подмножеств ЦУсХ существует такое целое число N = N U,V), что пересечение f U) П V непусто. [c.44]

Теорема П2.11 (теорема Шоке). Предположим, что х—точка компактного метризуемого выпуклого подмножества С локально выпуклого топологического векторного пространства. Тогда существует такая вероятностная мера fi с носителем на ех С, чтох— J zdfi z). [c.701]

Теорема П2.11 (теорема Тихонова о неподвижной точке). Пусть Е—локально выпуклое топологическое векторное пространство и множество К СЕ компактно и выпукло. Тогда каждое непрерывное отобраокение f К - К обладает неподвижной точкой. [c.701]

Заметим, что достаточно проверить это свойство для подпокрытий или измельчений любого данного покрытия. Рассмотрим теперь открытое покрытие и Уа л множества К. Поскольку в локально выпуклом топологическом векторном пространстве у каждого открытого покрытия есть выпуклое измельчение, мы можем считать, что множества выпуклы и, в силу компактности, что множество А конечно. Существует конечное звездообразное измельчение , [c.701]

Теорема 3 [191]. Если ао О, то для любого локально трансверсального сечения Е траектории 7 и любого натурального 3 найдется компактное инвариантное гиперболическое множество Л С , на котором отображение последования Пуанкаре топологически сопряжено сдвигу Бернулли в пространстве бесконечных последовательностей из з символов. [c.308]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...