Компактное топологическое пространство

ТОПОЛОГИЯ, определенная на пространстве В , Подмножество s4 топологического пространства называется относительно компактным, если его замыкание в компактно. Топологическое пространство называется локально компактным, если каждая его точка обладает открытой окрестностью, которая относительно компактна. [c.79]

См. П. С. Александров [2], стр. 38 , свойство б), согласно которому компактность топологического пространства эквивалентна тому, что всякая последовательность непустых убывающих замкнутых множеств имеет непустое пересечение. [c.56]

Постройте пример гомеоморфизма компактного метрического пространства с конечной топологической энтропией, который ие имеет меры с максимальной энтропией. [c.191]

Постройте пример топологически транзитивного разделяющего гомеоморфизма компактного метрического пространства, который обладает более чем одной мерой с максимальной энтропией. [c.191]

Покажите, что любой гомеоморфизм компактного метрического пространства со свойством спецификации является топологическим перемешиванием. [c.582]

ГЛ. 5, 4, п. 3] в ш ТОПологии. Рассмотрим далее линейное пространство 21 как подмножество пространства, сопряженного (двойственного) с пространством, сопряженным с 21 (т. е. рассмотрим элементы пространства 21 как линейные функционалы на 21 ). Пространство 21 полно в 21 в том смысле, что из равенства (х Л) = 0 для всех Л е 21 следует заключение о равенстве нулю элемента х - Таким образом, 9Г, если его снабдить -топологией, становится локально выпуклым топологическим линейным пространством [91, гл. 5, 3, п. 3]. Множество в -топологии является компактным подмножеством локально выпуклого топологического пространства и, следовательно, содержит некоторые крайние точки [91, гл. 5, 8, п, 2]. Это позволяет дать ответ на заданный нами ранее вопрос о существовании чистых состояний. Кроме того, поскольку множество выпукло, по теореме Крейна — Мильмана [91, гл. 5, 8, п. 4] оно совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек (т. е. с пересечением всех замкнутых выпуклых подмножеств пространства 2[ , содержащих крайние точки множества 6). Обозначим через множество всех чистых состояний на 21 (иначе говоря, 6 —множество всех крайних точек множества <5). Предположим теперь, что для некоторой пары (Л, В) элементов алгебры 2[ и всех выполняется неравенство (ф ЛХ(р В). Поскольку [c.85]

Определение 1.8. Гомеоморфизм Т компактного метрического пространства М называется строго эргодическим, если нормированная инвариантная относительно Т борелевская мера единственна. Гомеоморфизм Т называется минимальным, если траектория 7 "х —оотопологически транзитивным, если у него существует всюду плотная траектория. [c.14]

Для формулировки заключительного следствия нам потребуются несколько определений. Топологическое пространство X называется пространством Бэра, если каждое счетное пересечение плотных подмножеств X плотно в X. Мы применим теорему Бэра, в которой утверждается, что каждое полное метрическое пространство, а также каждое локально-компактное пространство являются пространствами Бэра (Ср. задачу 4-j). Из соображений удобства будем говорить, что свойство точек пространства Бэра справедливо для точек общего положения х Х, если это справедливо для всех точек в некотором счетном пересечении плотных открытых подмножеств X. Мы будем использовать это понятие при изучении топологического пространства J(/). [c.69]

Мы будем в основном рассматривать аппроксимации различных непрерывных функций, определенных на компактных подмножествах А-мерного точечного пространства Более точно, пусть 3 — некоторое множество элементов Т, и, V,. . в значительной мере произвольных. Почти во всех наших приложениях величины Т будут действительными или комплексными числами, векторами или тензорами заданного порядка. Нами будут рассматриваться отображения F , которые ставят в соответствие каждой точке X некоторого компактного подмножества пространства элемент 1( 3. Для обозначения таких функций мы будем использовать запись Т = Р (X), где Т — значение функции в точке X. Область есть область определения функции Р (X). Предполагается, что Р непрерывна на М, т. е. для каждой точки Хо принадлежащей Р (X) Р (Хо) при г (X, Хо) 0. Отсюда следует, что образ Р Ц) тоже компактен. Если при этом Р — взаимно однозначная функция, то существует Р 1 и Р называют тогда топологическим отображением или гомеоморфизмом. [c.43]

Все компоненты линейной связности пространства 3. двумерны. Существует взаимно однозначное отображение множества этих компонент на множество траекторий топологической схемы Бернулли из р символов. Компонента линейной связности компактна, если и только если соответствующая траектория периодична. [c.118]

Рассмотрим обратимую механическую систему с двумя степенями свободы (см. п. 8 1 гл. I). Будем предполагать, что ее пространство положений М — компактная ориентируемая аналитическая поверхность. Хорошо известно топологическое строение таких поверхностей — это сферы с некоторым числом х приклеенных ручек (число X—род поверхности). [c.133]

Пусть Х М) пространство С - векторных полей на компактном многообразии Л/ с С - топологией, г>. Два векторных поля Х, еХ М) называются топологически эквивалентными, если существует гомеоморфизм к М- М, который переводит траектории поля X в траектории поля , сохраняя их ориентации это последнее условие означает, что если реМ и 5>0, то существует такое 8>0, что если [c.144]

Так как конечномерное гладкое многообразие обладает естественной локально компактной топологией, теория гладких динамических систем естественно использует понятия и результаты топологической динамики. Другая, более глубокая, причина зависимости дифференциальной динамики от топологической состоит в том, что при изучении асимптотического поведения гладких динамических систем часто возникают весьма сложные негладкие явления, которые в других ситуациях были бы отброшены как патологические. В частности, некоторые важные инвариантные множества гладких систем, например аттракторы (см. определение 3.3.1), могут не обладать никакой гладкой структурой, и, следовательно, такие множества должны исследоваться с другой, негладкой, точки зрения. Символическая динамика, область, изучающая специальный класс топологических динамических систем, которые возникают как замкнутые инвариантные подмножества преобразования сдвига в пространстве последовательностей (см. 1.9), является особенно важной в этом отношении. Для дальнейшего рассмотрения связей между топологической и гладкой динамикой мы отсылаем читателя к 2.3. [c.22]

Следствие 1.4.3. Непрерывное открытое отображение f локально компактного сепарабельного метрического пространства топологически транзитивно тогда и только тогда, когда не существует двух непересекающихся открытых непустых f -инвариантных подмножеств. [c.44]

В этом параграфе мы просмотрим список примеров, обсуждавшихся в гл. 1, и вычислим топологическую энтропию для этих примеров, ограничиваясь, конечно, случаем, когда фазовое пространство компактно, так как мы определили топологическую энтропию только для этого случая. [c.130]

Возникающее в результате этой идентификации пространство — поверхность т рода 2. Так как сумма внутренних углов восьмиугольника Q равна 2тг, отображение отождествления является гладким в вершинах (которые склеиваются в одну точку), и можно, следовательно, перенести метрику из Q на т. Мы получим компактное многообразие, которое является локально изометричным Н. Топологически это многообразие гомеоморфно сфере с двумя ручками, т. е. поверхности кренделя . Можно также показать, что т — пространство, полученное отождествлением орбит группы Г, порожденной изометриями А , г = 1,..4, отображающими а,, в а. Другими словами, фундаментальная группа пространства т может быть отождествлена с дискретной группой Г гиперболических преобразований Мёбиуса. [c.221]

В п. 5.4 е были установлены некоторые свойства геодезических потоков на компактных факторах гиперболической плоскости, характерные для систем с гиперболическим поведением, а именно плотность периодических орбит, топологическая транзитивность и эргодичность относительно гладких инвариантных мер. Теперь мы хотим показать, что геодезический поток на компактном факторе гиперболической плоскости является потоком Аносова. Будем использовать обозначения из 5.4. Рассмотрим геодезический поток на компактном факторе т полуплоскости Н, т. е. геодезический поток на поверхности т, полученной в результате факторизации Н по такой дискретной группе изометрий без неподвижных точек Г, что фактор Г И компактен так как пространство т локально изометрично Н, мы получаем, используя предложение 5.4.13 и компактность т, следующую теорему. [c.549]

Пусть X — локально-компактное топологическое пространство, и / гомеоморфно отображает некоторую компактную окрестность N точки х на компактную окрестность N так, что /(ж) = х. Покажите, что х является топологически отталкивающей точкой для / тогда и только тогда, когда она является топологически притягивающей для / . (Здесь условие локальной взаимной однозначности / существенно. Например, для отображения f z) = z нуль является притягивающей точкой, а для негладкого отображения g z) = 2z z нуль является точкой отталкивающей, при этом ИИ одно из этих отображений не является локальнообратимым в нуле.) [c.112]

Напомним определеине топологического давления P(f,(p), соответствующ,его гомеоморфизму f Х Х компактного метрического пространства X и непрерывной функции ф Ji— R [23, 28] ). Для любого е > О н натурального п подмножество E Z.X называется (г, п)-разделенным, если [c.150]

Лемма 5 иэ [6] состоит в следующем. Пусть / — разделяющий траектории гомеоморфизм компактного метрического пространства X. обладающий свойством спецификации (в смысле Боуэна) и сохраняющий меру ц, Ф — непрерывная функция. Snif x) = <р(д ) +4> f(x)) +. .. + p f"" W). Р (ф) — топологическое давление. Обозначим [c.154]

Топологическая динамика. Фазовое пространство в этой теории — хорошее топологическое пространство, обычно метризуемое компактное или локально компактное (см. 1 приложения). Топологическая динамика рассматривает группы гомеоморфизмов и полугруппы непрерывных преобразований таких пространств. Иногда эти объекты называются топологическими динамическими системами. Так же, как и для эргодической теории, в рамках этой книги мы используем понятия и результаты из топологической динамики прежде всего в качестве инструментов для исследования гладких динамических систем. Хотя мы не пытаемся дать всеобъемлющее введение в топологическую динамику, в данной книге содержится много результатов, относящихся к этой теории, начиная с первого обзора примеров в гл. 1 и затем в гл. 3. В 4.1, 4.5 и далее 20.1 и 20.2 приведены фундаментальные связи между топологической динамикой и эргодической теорией. Некоторые результаты гл. 8 (например теорема 8.3.1), а также гл. 11 и 15 целиком посвящены специальным классам динамических систем без каких-либо предположений о дифференцируемости и поэтому относятся к топологической динамике. [c.21]

Пусть f X—fX —топологически транзитивный гомеоморфизм компактного метрического пространства, и пусть ф —непрерывная функция на X. Докажите, что любые два непрерывных решения <р когомологического уравнения [c.116]

Замечание. Совокупность открытых множеств индуцирует топологию с базой, состоящей из открытых шаров. Дополнения замкнутых множеств открыты. Данные определения согласованы с соответствующими определениями для топологических пространств. Для метрических пространств свойства компактности и секвенциальной компактности равносильны. [c.697]

Полнота является очень важным свойством, так как она позволяет переходить к пределам, что нередко требуется в наших конструкциях. Отметим, что определить понятие последовательности Коши в произвольном топологическом пространстве невозможно, так как невозможно сравнивать окрестности различных точек. Полезно заметить, что компактные множества полны в силу секвенциальной компактности. Метрическое пространство может быть сделано полным (пополнено) следующим способом. [c.697]

Еслн X — компактное метризуемое топологическое пространство (например, компактное многообразие), то пространство С(Х,Х) непрерывных отображений из Х в себя обладает С°, или равномерной, топологией. Она получается, еслн зафиксировать метрику р в пространстве X и определить расстояние d между /,д С(Х,Х) по формуле [c.697]

Очевидно, что понятие сети можно рассматривать как обобщение понятия последовательности. Такое обобщение необходимо, если топологическое пространство Ж не удовлетворяет первой аксиоме счетности, т. е. если нельзя утверждать, что для каждой точки х Ж существует счетный базис окрестностей. Мы не вводили это обобщение ранее потому, что С -ал-гебра Я с топологией, индуцированной нормой, относится к числу тех метрических пространств, которые удовлетворяют первой аксиоме счетности. В этой связи заметим, что метрическое пространство X удовлетворяет второй аксиоме счетности (т, е. в Ж суп1ествует счетный базис окрестностей) в том и только в том случае, если оно сепарабельно (т. е. существует счетное подмножество х элементов пространства Ж, которое плотно в Ж). Вернемся теперь к множеству <3 всех состояний на С -алгебре 9 . Выясним, является ли множество < , снабженное -топологией, метрическим пространством. Ответ на этот вопрос утвердителен в том и только в том случае, если алгебра (и, следовательно, самосопряжённая часть алгебры 31) сепарабельна. Кроме того, если алгебра Я сепарабельна, то множество также сепарабельно, поскольку оно компактно ). Но поскольку нам необходимо рассматривать и несепарабельные С -алгебры, мы не предполагаем, что множество , наделенное -топологией, является метрическим пространством, и будем работать не с последовательностями, а с сетями. [c.135]

Прежде всего напомним читателю, что борелевские множества локально компактного хаусдорфова пространства Г мы определяли (стр. 79) как элементы сг-кольца Р (< ), порожденного всеми компактными подмножествами пространства Г. Подмножество 5 топологического пространства называется С б-под-множеством, если существует последовательность С/ открытых [c.188]

В качестве любопытного следствия мы получаем замечательное свойство комплексного одномерного многообразия, которое впервые было доказано Радо (ср. Альфорс и Сарио.) По определению топологическое пространство называется а-компактным, если оно представимо в виде счетного объединения компактных подмножеств. [c.26]

Теорема 3 [191]. Если ао О, то для любого локально трансверсального сечения Е траектории 7 и любого натурального 3 найдется компактное инвариантное гиперболическое множество Л С , на котором отображение последования Пуанкаре топологически сопряжено сдвигу Бернулли в пространстве бесконечных последовательностей из з символов. [c.308]

Доказательство. Так как L — положительный оператор и II > О, то G(n) = (L n(l))- rni ,A4(SI) для Напомним теорему Шаудера— Тихонова (см. Данфорд и Шварц, Линейные операторы, т. 1, стр. 423) пусть Е—непустое компактное выпуклое подмножество локально выпуклого топологического векторного пространства тогда всякое непрерывное отображение G Е- Е имеет неподвижную точку. Согласно этой теореме, существует такая мера vsAi(SI), что G(v) = v. Отсюда получаем, что L v = kv ск>0. [c.20]

Резюме. Для непрерывного отображения Х Х и подмножества KdA определяется топологическая энгропия h f. К). Для компактных пространств X обобщаются известные теоремы об энтропии в случае компактного подмножества У, а также некоторые результаты, касающиеся хаус-дорфовой размерности для специальных подмножеств У <г А 5 , Предлагается понятие эптропнйной сопряженности ДЛЯ гомеоморфизмов, [c.181]

Топологическая энтропия непрерывного отображения компактного пространства была определена Адлером, Конхеймом и Мак-Эндрю [1]. В настоящей статье для подмножеств компактных пространств энтропия определяется с помощью процедуры, напоминающей конструкцию хаусдорфовой размерности. Это дает возможность обобщить известные результаты о хаусдорфовой размерности квазирегулярных то гек некоторых мер н дать определение нового типа сопряженности, промежуточного между топологической сопряжеииостью и сопряженностью в смысле теории меры. [c.181]

Предложение 1. Если пространство X компактно, то эя-гропия h f) совпадает с обычной топологической энтропией. [c.183]

Лемма 1.4.2. Пусть f X—>X —непрерывное отображение локально компактного сепарабельного метрического пространства X в себя. Отображение f топологически транзитивно тогда и только тогда, когда для любых двух непустых открытых подмножеств ЦУсХ существует такое целое число N = N U,V), что пересечение f U) П V непусто. [c.44]

Пусть X — компактное метрическое совершенное пространство, т. е. X не имеет изолированных точек. Докажите, что если гомеомо изм f X X топологически транзитивен, т. е. для некоторой точки х Х орбита 0(х) = /"(х) п Z плотна, то существует точка у Х, положительная полуорбита которой О у) = /"(i/) п = 0,1,2,... плотна. [c.46]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...