Задача трех тел эллиптическая

В предыдущих главах мы пробовали применить два подхода к решению задачи трех тел. В 17.10 рассматривалось движение планеты в поле двух притягивающих центров. Если считать, что это движение происходит в неподвижной плоскости, проходящей через притягивающие центры, то можно, как мы видели, дать исчерпывающую классификацию траекторий. Более того, можно найти уравнения траекторий, выразив их через эллиптические функции. Трудности, с которыми мы сталкиваемся в этой сравнительно простой задаче, дают представление о сложности проблемы в общем случае. В 25.3 мы рассматривали вариации эллиптических элементов. При этом сначала изучалось движение одной планеты относительно Солнца, а затем рассматривались те возмущения, которые обусловлены наличием второй планеты. Второй этап в этих рассуждениях не носил характера самостоятельной задачи возмущенное движение рассматривалось как непрерывное видоизменение исходного эллиптического движения. Этот метод эффективен, поскольку массы планет весьма малы по сравнению с массой Солнца. [c.562]

Обсуждается метод нахождения периодических решений для ограниченной задачи трех тел, отличный от известного классического метода кратко рассматриваются идеи, используемые для доказательств существования таких решений, и их тесная связь с классическими методами. В частности, изучается вывод решений для прецессирующих эллиптических орбит с произвольным эксцентриситетом и небольшим периодом обращения относительно меньшего из двух притягивающих тел с произвольным отношением масс. Приводятся два численных примера для недавно обнаруженных замкнутых траекторий. [c.93]

Он также доказал, что дифференциальные уравнения симметричного движения плоской задачи трех тел интегрируются в эллиптических функциях, если [c.111]

Рассмотрим еще один вариант ограниченной задачи трех тел, в котором две точки одинаковой массы описывают эллиптические орбиты в плоскости х,у, симметричные относительно оси г, а третья точка нулевой массы все время остается на оси. 2 (пылинка в поле двойной звезды, рис. 5). Движение последней описывается дифференциальным уравнением [c.49]

Задача трех тел является модельной задачей в небесной механике, исследование которой позволяет объяснить ряд механических явлений в Солнечной системе. В некоторых моделях используется ограниченная круговая или эллиптическая задача трех тел, когда два массивных тел движутся по заданным кеплеровским орбитам в поле сил взаимного притяжения, а третье тело мало, не влияет на движение первых двух и движется в гравитационном поле, порожденном первыми двумя телами. В этих задачах тела рассматриваются как материальные точки. [c.385]

Сюда относятся, например, изыскание периодических решений вблизи известных лагранжевых решений ограниченной (круговой или эллиптической) и общей задачи трех тел, исследование периодических решений в задаче Фату, т. е. задачи о движении материальной точки в осесимметричном гравитационном поле, нахождение периодических решений некоторых специальных случаев задачи многих тел и, наконец, применение общих методов теории периодических решений Ляпунова — Пуанкаре к задачам о вращательном и о поступательно-вращательном движении взаимно притягивающихся твердых тел (не заменяемых материальными точками ). [c.355]

Мы рассмотрим теперь вкратце следующие четыре примера динамических систем 1) бильярдный шар на эллиптическом столе 2) частицу па гладкой выпуклой поверхности 3) частицу на гладкой замкнутой поверхпости повсюду отрицательной кривизны и 4) задачу трех тел. [c.319]

В предыдущей главе мы рассмотрели простые частные решения ограниченной задачи трех тел, которые оказываются периодическими для случая эллиптической (а следовательно, и круговой ) задачи. Мы установили также, что круговая ограниченная задача имеет бесчисленное множество периодических решений, близких к либрационным. [c.271]

Нашей целью было только указать, что для интегрирования ограниченной задачи трех тел (круговой, эллиптической, параболической или гиперболической) вполне можно использовать в качестве первого приближения (промежуточной орбиты) орбиту точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами, а развитие метода и вывод всех необходимых и весьма громоздких формул не входит в задачи этой книги. [c.785]

В части V добавлены уравнения движения ограниченной задачи трех тел в эллипсоидальных и эллиптических переменных, уравнение Гамильтона — Якоби в этих переменных, изложен метод понижения порядка системы. [c.17]

В зависимости от значения эксцентриситета е можно различать три частных случая ограниченной задачи трех тел ограниченная эллиптическая задача (О < е < 1), ограниченная параболическая задача (е=1), ограниченная гиперболическая задача (е>1). Некоторые варианты ограниченной задачи трех тел, когда все массы отличны от нуля, рассмотрены в работе [c.549]

Первые найденные в небесной механике периодические решения— это эллиптическое движение в задаче двух тел (см. ч. И, 2.01) и лагранжевы решения в задаче трех тел (см. ч. V, 1.02, 2.03). После того как Хилл доказал, что уравнения задачи, названной его именем (уравнения (5.3.16)), допускают периодическое (почти-круговое) решение, Пуанкаре разработал достаточно общий метод — метод малого параметра (см. 1.01) и на его основе установил [2] существование трех сортов периодических решений в планетном варианте неограниченной задачи трех тел (тело имеет массу то, значительно большую масс т = а1 А, Ш2 — 0,211 планет Р, и Рг, также отличных от нуля, а > О, К2 > О, — малый положительный параметр). Частными случаями этих решений являются периодические решения первого, второго и третьего сорта в ограниченной задаче трех тел (см. ч. V, 2.05). [c.792]

Уравнения первого приближения (уравнения в вариациях) для исследования окрестности точек либрации L и б ограниченной эллиптической задачи трех тел составляют линейную систему с 2л-периодическими (относительно истинной аномалии возмущающих тел) функциями, поэтому даже в первом приближении вопрос об их устойчивости представляется весьма сложным. Для близкого к единице эксцентриситета орбит возмущающих масс точки либрации L и Ц неустойчивы в смысле Ляпунова [85]. Здесь же сформулирована теорема об устойчивости, которая оказывается верной лишь с точностью до первой степени эксцентриситета орбит возмущающих масс. Этот результат согласуется с результатами исследования Ляпунова [64]. В дальнейшем многие исследователи [86], [129], [130], [131] и др., пользуясь аналитическими или численными методами, строили области устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров 1, е (ц — малая возмущающая масса, е — эксцентриситет ее орбиты) для линеаризованной системы уравнений (уравнений первого приближения). В нелинейной постановке при малых е [c.846]

Если тело М2 движется относительно Ш], по эллиптической орбите, то возникает эллиптическая ограниченная задача трех тел (плоская или пространственная). Соответственно мошно рассматривать также гиперболическую параболическую и прямолинейную ограниченные задачи трех тел. [c.208]

Постоянные 01 и Р , которые получаются при интегрировании уравнения (8), в общем случае непригодны для использования в качестве новых переменных в задачах динамики. В задаче трех тел, например, в уравнении (8) содержится в правой части умноженный на время член, который создает при интегрировании значительные и ненужные трудности. Для кеплеровской эллиптической промежуточной орбиты давно уже известен метод, как можно введением новых переменных преодолеть эти трудности (см. 5 гл. V). Для других промежуточных орбит необходимо вводить другие преобразования, но до сих пор нет общей теории отыскания таких преобразований. [c.522]

В этой и последующих главах излагается решение задачи об устойчивости треугольных точек либрации в следующих случаях ограниченной задачи трех тел 1) плоском круговом, 2) пространственном круговом, 3) плоском эллиптическом, 4) пространственном эллиптическом. [c.122]

Это частное решение соответствует периодическому движению Лагранжа (точке либрации) задачи трех тел. Для решения (2.1), в случае эллиптической задачи, три тела во все время движения образуют в абсолютном пространстве равносторонний треугольник, длины сторон которого периодически изменяются. В случае круговой задачи длины сторон треугольника постоянны. Решение [c.123]

Исследования А. М. Ляпунова по устойчивости в линейном приближении точек либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел были продолжены в работах [19, 42, 99, 103, 104, 110, 136, 144, 152, 153, 160, 161]. На результатах этих работ мы подробнее остановимся в главе 9. [c.124]

УСТОЙЧИВОСТЬ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ [c.147]

В этой главе мы проведем исследование устойчивости треугольных точек либрации для случая плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел. По сравнению со случаем круговой задачи, рассмотренной в двух предыдущих главах, здесь задача очень усложняется, так как независимая переменная явно содержится в гамильтониане возмущенного движения. [c.147]

Исследование устойчивости треугольных точек либрации в эллиптической задаче трех тел началось очень давно. А. М. Ляпунов в 1889 году исследовал устойчивость (в первом приближении) треугольных точек либрации для случая пространственной неограниченной задачи трех тел [48]. Признаком устойчивости А. М. Ляпунов считал бесконечно малое отличие формы и размеров треугольника, образованного тремя телами, в возмущенном и невозмущенном движениях. Результаты А. М. Ляпунова нельзя непосредственно перенести на ограниченную задачу трех тел, где признаком устойчивости считается бесконечно малое отличие длин сторон треугольника, образованного телами, от тех длин, которые им соответствовали в невозмущенном движении в тот же момент времени. Однако при внимательном рассмотрений уравнений движения, исследованных А. М. Ляпуновым в его постановке задачи, можно весьма просто получить следующие выводы об устойчивости (в первом приближении) точек либрации и для случая ограниченной задачи трех тел 1) при достаточно малых значениях треугольные точки либрации устойчивы, 2) при достаточно малых значениях эксцентриситета е треугольные точки либрации устойчивы, если [c.147]

Теорема. В области устойчивости в первом приближении при (X, принадлежащем области (2.3) устойчивости в круговой задаче, и при значениях и е, не принадлежащих резонансным кривым третьего и четвертого порядков, треугольные тючки либрации в плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел устойчивы для большинства начальных условий, если эксцентриситет достаточно мал. [c.160]

В качестве примера найдем преобразование, нормализующее систему линейных уравнений, описывающих движение в окрестности треугольной точки либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел. В координатах Нехвила с истинной аномалией и в качестве независимой переменной и при соответствующем выборе единицы длины движение описывается при помощи функции Гамильтона [c.131]

Обсуждается возможность получения периодических решений в ограниченной задаче трех тел, отличных от классических. Кратко рассматриваются способы доказательства их существования и связь с классическими решениями. В частности, показан способ определения прецессии возмущенной эллиптической орбиты произвольного эксцентриситета относительно меньп1его из двух притягивающих тел при произвольном отношении масс. [c.237]

Подробно рассмотрена устойчивость треугольных лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел в наиболее важных для приложений в космодинамике случаях в плоской круговой задаче, в пространственной круговой, в плоской эллиптической и в пространственной эллиптической в плоской круговой задаче получены [c.124]

А. Пуанкаре назвал периодические решения ограниченной круговой задачи трех тел, рождаюгциеся из эллиптических решений предельной задачи — задачи двух тел, периодическими решениями второго сорта [7]. При этом он указал на сугцествование симметричных семейств. Однако доказательства их сугцествования [7-9], использую-гцие только условие периодичности, были ошибочны [10-12. [c.133]

Сотрудниками группы О. Ю. Шмидта (Г. Ф. Хильми и др.) качественными способами были выведены критерии, которым должны удовлетворять начальные значения в задаче трех тел, чтобы этому соответствовало движение гиперболо-эллиптическое или гиперболическое при неограниченном возрастании времени. Затем путем численного интегрирования уравнений движения этой задачи пытались проверить выполнение этих критериев при очень больших положительных и отрицательных значениях времени. Предварительные подсчеты показали как будто возможность захвата, чем результаты Шази и были поставлены под сомнение. Хотя результаты, полученные нри помощи численного интегрирования на очень большом промежутке времени очень ненадежны и не обоснованы, тем не менее исследования О. Ю. Шмидта возбудили широкий интерес, и проблема Шази подверглась тщательной проверке и изучению. [c.353]

Однако хотя многие авторы занимались задачей об устойчивости точек либрации, но только для случая, когда в системе действует закон Ньютона и когда орбита точки М есть эллипс с фокусом в точке Мо. Такая задача называется, как уже отмечалось выше, эллиптической ограниченной задачей трех тел (конечно, трех материальных точек, из которых одна — пассивно гравитирующая). [c.260]

Рассмотрим теперь одно примечательное преобразование уравнений (14.39), примененное впервые Нехвилом ) в плоской ограниченной эллиптической задаче трех тел, но пригодное вполне также и в общем случае. [c.758]

Задача Хилла — это предельный вариант ограниченной эллиптической задачи трех тел Ро, Р, Р, получаемый из последней, если Солнце Ро удаляется на бесконечность таким образом, чтобы оставалось справедливым соотнощение [c.551]

Уравпенке Гамильтона — Якоби для плоской ограниченной круговой задачи трех тел в эллиптических переменных и, V (5.2.56) не имеет форму уравнения Штеккеля (10.2.12), поэтому правомерен вопрос о существовании такой замены переменных, которая делала бы возможным такое преобразование. [c.817]

Наконец, если даже космический аппарат, обогнув Луну, и покинет ее сферу действия, выход произойдет со сравнительно небольшой селеноцентрической скоростью, и вполне может случиться, что космический аппарат вновь вернется в сферу действия Луны (в случае эллиптической входной скорости это вообщ,е весьма вероятно), причем, не исключено, при более благоприятных для захвата условиях. Конечно, может случиться и обратное сфера действия Луны будет покинута навсегда. Мы теперь ничего не можем утверждать с уверенностью, так как теперь граница сферы действия Луны перестает играть привычную для нас роль и нельзя пренебрегать ни лунными возмуш.ениями геоцентрического движения перед входом в сферу действия, ни земными возмуш.ениями селеноцентрической траектории после входа. Иными словами, здесь вообще неприменим приближенный метод расчета траекторий, которым мы все время пользуемся, и необходимо искать решение в рамках ограниченной задачи трех тел. [c.240]

Демин В. Г.,Курчанова М. В, Численное интегрирование периодических орбит в ограниченной упрощенной осредненной эллиптической задаче трех тел.— Космические исследования, 1977, т. 15, № 5. [c.492]

Эллиптические орбиты, которые мы пашли для обоих тел А и В, можно использовать в качество первого приближения к истинным орбшам вследствие большой величины массы С и вытекающей отсюда малости разности Н — Н при постоянных значениях элементов, если рассматриваемые интервалы времени малы. Если элементы считать переменными, то их изменения можно определить так, чтобы удовлетворялись точные уравнения (1) задачи трех тел. Дифференциальные уравнения для этих из- [c.202]

Наряду с общей задачей , в которой все массы предполагаются положительными, рассматриваются и предельные случаи, когда в уравнениях (1) некоторые из та полагаются равными нулю. На физическом языке это означает, что мы пренебрегаем влиянием соответствующих тел на движение остальных. В этой ситуации говорят обычно об ограниченной задаче . Особенно известной является задача о движении тела пулевой массы ( планетоида или астероида ) в поле тяготения, создаваемом двумя телами, обращающимися по круговым орбитам вокруг общего центра масс, причем все три тела все время находятся в одной и той ке плоскости. Собственно говоря, Пуанкаре именно этот случай назвал ограниченной задачей трех тел , но теперь он часто именуется более пространно — ограпичсипой плоской круговой задачей , в отличие от ограниченной эллиптической задачи и прочих. Если приравнять нулю все массы, кроме одной, то мы получим идеальную планетную систему , в которой тела нулевой массы ( планеты ) обращаются около одного тела ( Солнца ) по чисто кеплеровским орбитам, не оказывая друг на друга никакого влияния. В классической небесномеханической теории возмущений этот случай выступает в качестве нулевого при-бли кения. [c.19]

Итак, захват в задаче трех тел возможен, как и разрыв двойной звезды, притом этот захват (разрыв) будет не временным, а постоянным. Движение системы трех тел, гиперболически-эллиптическое в прошлом, может стать гиперболическим в будущем, и наоборот. [c.113]

В эллиптическом случае Л = 1, 7 1. Рассмотрим прежде всего тот частный случай, когда Л является корнем целой степени из единицы. Пусть Л = 1 и Л 1 (/с = 1,. .., 5 — 1), следовательно, Л будет примитивным д-м корнем из единицы и 5 > 2. Если мы рассмотрим 5 вместо б , то придем опять к параболическому случаю Л = // = 1. Но простое рассуждение показывает, что для преобразования 5 выпадают все члены степеней от второй до (5 — 2)-й, и в соответствии с этим только что упомянутый результат Леви-Чивита дает для 5 > 3 лишь тривиальное следствие. Иначе обстоит дело для 5 = 3 для этого случая Леви-Чивита также рассмотрел ограниченную задачу трех тел. Отображение, сохрапяюгцее объем, которое следует при этом рассматривать, было введено егце в конце в 22. Если обозначить период исходного решения через т = 2тт 1о , то будем иметь Л = и, в частности, для и = 3 получим также д = 3. Леви-Чивита определил квадратичные члены преобразования при и = 3 и установил, что соотношение, выражаюгцее условие устойчивости, пе вьшолпяется, и, следовательно, устойчивости здесь пе будет. [c.284]

В зависимости от величины эксцентриситета можно различать следующие варианты задачи трех тел гиперболическую ограниченную задачу, когда орбита тела / — гипербола (е>1) эллиптическую ограниченную задачу, когда орбита тела / — эллипс (0-<е< 1) круговую ограниченную задачу, в которой орбита тела / — окружность (е = 0). Можцо также рассматривать параболическую (е = 1) и прямолинейную (когда тело / движется по прямой, проходящей через 5) ограниченные задачи. [c.17]

Приведем краткий обзор работ по исследованию устойчивости лагранжевых решений ограниченной эллиптической задачи трех тел. В 1964 году было проведено численное исследование в работе Дэнби [110]. В этой работе при помощи численного интегрирования исследовано характеристическое уравнение линеаризованной системы и в плоскости 1, е получены области устойчивости и неустойчивости. Результаты, полученные Дэнби, представлены [c.148]

Некоторые замечания, касающиеся строгого решения задачи об устойчивости лагранжевых решений, сделаны в работе автора [62]. В этой работе при помощи численных расчетов проверены результаты работы Дэнби и в плоскости (х, е внутри областей устойчивости в первом приближении найдены кривые, на которых лагранжевы решения при строгом нелинейном анализе задачи могут оказаться неустойчивыми. Ниже в этой главе излагается полное исследование устойчивости лагранжевых решений в плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел. Результаты этог исследования опубликованы в работах [59, 62, 65, 67]. [c.149]

В этой главе, следуя [64, 661, рассмотрим устойчивость треугольных точек либрации пространственной эллиптической задачи трех тел. Задача об устойчивости в этом случае по сравнению с уже рассмотренными в главах 7—9 случаями является самой сложной и громоздкой. Кроме увеличения числа степеней свободы изучаемой динамической системы, здесь возникает еще одна, характерная только для этой задачи, особенность имеет место тождественный (т. е. существующий при всех е и [д.) резонанс, возникающий из-за равенства периода кенлеровского движения основных притягивающих тел 8 ж I ч периода линейных колебаний тела Р бесконечно малой массы по направ.т1ению, перпендикулярному плоскости их орбиты. [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...