Римана функция

Через эту же функцию и связанную с ней зависимостями Ко ШИ — Римана функцию [c.524]

Для рассматриваемого случая, полагая в (1.1), (1.2) для фиксированного i (ai u)=0, получим течение типа плоской двойной волны (вместо (3) останутся два уравнения, получающиеся составлением соответствующей линейной комбинации) полагая, что в нуль обращаются сразу два таких соотношения, получим плоские волны Римана. Каждый раз, в соответствии с теоремой [7] о примыкании течений различных рангов, плоскости типа и) = О или прямые ((а и)=0, и) = О, i ф к) в пространстве годографа скоростей М2, будут являться характеристическими многообразиями соответственно для уравнений тройных и двойных волн. Таким образом, в случае, если сохраняется потенциальность течения, можно с помощью (1.1), (1.2) построить решение в некоторой области взаимодействия трех волн Римана (функции определяются по заданным [c.151]

Уравнение (4-38) решается по методу Римана. Функцией Римана будет / [2 )У(1— Е )( П — )] в которой V и 7) — переменные интегрирования на границах области. [c.81]

РИМАНА ФУНКЦИЯ для дифференциального ур-ния гиперболич. типа [c.449]

Размешивания процесс в фазовом пространстве 292 Релаксационных процессов последовательность 331 Римана функция 55 [c.447]

Следовательно, координаты Xi, у плоскости Z, являющиеся функциями X, у, удовлетворяют условиям Коши — Римана. Характерная особенность конформного преобразования — сохранение углов между соответствующими направлениями плоскостей Z и Z . [c.263]

Но такие соотношения между производными функций ф и г] с математической точки зрения совпадают с известными условиями Коши-Римана, выражающими собой тот факт, что комплексное выражение [c.40]

В тех сл]/чаях, когда отображающая функция со(р является полиномом, задача сводится к конечной системе линейных алгебраических уравнений (этот результат получен Н. И. Мусхелишвили). Ограничившись здесь только приведенными общими замечаниями, перейдем к изложению теории интеграла типа Коши, теоремы Гар-нака и задачи Римана. [c.135]

Введем гармоническую функцию (xi, х ), сопряженную с функцией ф(дгь Х2), тогда по условиям Коши — Римана будем иметь [c.176]

Введем теперь гармоническую функцию i 3 (.i i, х ), сопряженную в функцией кручения ф (xi, х< , т. е. удовлетворяющую условиям Коши—Римана [c.145]

Подставив в формулы (7.58) вместо производных функции ф (Ху, х ) производные функции (ж,, в соответствии с условиями Коши—Римана (7.74), получим следующие формулы для напряжений [c.145]

Функция / (г) называется комплексной функцией кручения. Поскольку функции ф (jfj, Xi) и р (л 1, х ) удовлетворяют условиям Коши—Римана (7.74), функция / (г) будет аналитической в области поперечного сечения. [c.166]

Из теоремы Римана (основная теорема конформного отображения) следует, что если конечная односвязная область 5 ограничена простым замкнутым контуром, то всегда можно найти аналитическую функцию (7.183) в круге < 1, отображающую однолистно [c.168]

Принимая введенные в равенствах (9.87) и (9.88) функции F3 [xi, Хг) и Fi xi, xz) гармоническими, сопряженными соответственно с функциями fa (J i, хг) и Fi (xi, л г) т. е. удовлетворяющими условиям Коши— Римана [c.240]

Соотношения (5.6), называемые условиями Коши—Римана, устанавливают связь между действительной и мнимой частями дифференцируемой функции комплексного переменного. [c.178]

Как видим, условия Коши—Римана выполняются лишь в точке х = О, у = О, т. е. функция W = z - дифференцируема в единственной точке г = 0. [c.179]

Между аналитическими и гармоническими функциями имеется тесная связь. Пусть w (г) = и х, у) + iv х, у) — аналитическая функция на области D. Тогда для любых z D существуют частные производные ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy и выполняются условия Коши—Римана. Предположим дополнительно, что производные ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy сами непрерывно дифференцируемы (можно доказать, что аналитическая функция обладает непрерывными производными любых порядков и, следовательно, это предположение соответствует действительности). Дифференцируя первое равенство (5.6) по х, второе по у и складывая, приходим к уравнению Лапласа (5.7). Точно так же, дифференцируя первое равенство (5.6) по у, второе по д и вычитая, приходим к уравнению Лапласа дЪ/дх -f d v/dy = 0. Таким образом, установлено, что действительная и мнимая части аналитической функции являются функциями гармоническими. Более того, установлено, что функции класса С, связанные условиями Коши—Римана, — гармонические. [c.179]

Поскольку всякой аналитической функции и (х, у) соответствует другая гармоническая функция v х, у), связанная с ней условиями Коши — Римана, то отсюда следует, что всякую гармоническую функцию и (х, у) можно рассматривать как действительную часть некоторой аналитической функции w (2) = и х, у) + + iv х, у), мнимая часть которой v х, у) определяется равенством (5.9). Но в формуле (5.9) содержится произвольная постоянная С V (хо, у ). Следовательно, соответствуюш.ая гармонической функции аналитическая функция определяется с точностью до чисто мнимой постоянной i . [c.180]

Задача Римана. Будем считать, что L — замкнутый гладкий контур, на котором задана некоторая непрерывная функция G t), не обращающаяся в нуль. Индексом этой функции х будем называть деленное на 2я приращение ее аргумента при обходе контура против хода часовой стрелки [c.19]

Допустим, что X = 0. Тогда функция 1пС(/) является однозначной, функции же Ф+(г) и Ф (г) не имеют нулей, а поэтому 1пФ+(2) и 1пФ-(2)—аналитические функции соответственно в 0+ и О-. Прологарифмировав (1.28), приходим снова к задаче Римана [c.20]

Аналитичность функции Ф+(г) очевидна, так же как и то, что функция Ф (2) в бесконечности равна С и, следовательно, не является аналитической. Поэтому будем рассматривать (1.32) как некое обобщенное решение задачи Римана. [c.21]

Установленные результаты могут иметь несколько неожиданное следствие. Пусть на контуре задана функция ср(0> имеющая индекс нуль. Тогда эту функцию всегда можно представить в виде отношения двух функций, являющихся краевыми значениями функций, аналитических соответственно в 0+ и 0 (исключая бесконечно удаленную точку), для чего необходимо считать ее коэффициентом вспомогательной однородной задачи Римана. [c.21]

Перейдем к рассмотрению общей неоднородной задачи Римана. С учетом изложенного выше представим функцию G t) в виде отношения X+ t)JX- t). Тогда получим следующую краевую задачу [c.22]

Учитывая (1.45), можно показать, что коэффициент G t) является всюду непрерывной функцией. Таким образом, задача Римана с разрывным коэфс )ициентом оказалась сведенной к задаче с непрерывным коэффициентом. Следовательно, функции Ф (г) непрерывны в окрестности точки 6, и поэтому по формулам (1.49) сразу представляется возможным установить характер особенности функций Ф (г), определяемый, как было показано выше, значением а, т. е. фактически выбором ветви логарифма в (1.48). Таким образом, в решении задачи с разрывным коэффициентом возникает дополнительный произвол, помимо произвола, связанного с решением (1.41). Поэтому при формулировке задачи следует оговаривать допустимый порядок особенности решения в точке разрыва коэффициента. В задачах, имеющих физический смысл, допускается или ограниченность решения, или особенность так называемого интегрируемого порядка а (—1 < а 0). [c.24]

Рассмотрение неоднородной задачи представляется теперь очевидным. Воспользуемся опять заменой функций (1.49), после чего придем к краевому условию Римана с непрерывным коэффициентом [c.25]

Аппарат решения задачи Римана позволяет восстановить в полуплоскости аналитическую функцию по значению ее действительной части на некоторых участках границы и мнимой части — на оставшихся. Соответствуюш,ая формула, называемая формулой Келдыша — Седова, была получена иным путем в [119]. [c.28]

В том случае, когда интеграл берется по разомкнутому контуру, целесообразно решение представлять в виде искомой функции (предполагаемой достаточно гладкой) и множителя, в явной форме учитывающего особенность в концевых точках, которые можно определить из решения соответствующей вспомогательной задачи Римана. Характер особенности, естественно, не зависит от присутствия регулярных слагаемых. [c.56]

Перейдем теперь к определению функции ф(а ,у), зависящей от постоянных Сц и сопряженной к функции ф(дг,у). Из условий Коши — Римана следует [c.268]

Таким образом, получена краевая задача Римана, решением которой является функция [c.422]

Осуществляя теперь предельный переход (при тех же, ранее упомянутых ограничениях на поведение функции в концевых точках), приходим к системе краевых задач Римана для функций Ф(г) ИЙ (г) [c.424]

Из изложенного следует, что в силу (10.17), (10.19) и (10.24) можно перейти к задаче Римана для аналитической функции .(v) [c.452]

Интегрирование уравнения (117,2) дает соотношения вида (у 6) = onst, /-(и, 0) — onst. Функции /+ и I- представляют собой величи Ы, остающиеся постоянными соответственно вдоль характеристик С+ и (инварианты Римана). Для политропного газа уравнение (117,2) может быть проинтегрировано в явном виде. Нет, однако, необходимости производить эти вычисления заново, так как результат может быть написан заранее с помощью формул (115,3—4). Действительно, согласно общим свойствам простых волн (см. 104) зависимость у от 0 в простой волне как раз и определяется условием постоянства во всем про- [c.612]

Функция кручения ф должна быть однозначной в противном случае перемещение з=тф было бы многозначным (нас интересуют однозначные перемещения). При этом функция tjj, сопряженная с однозначной гармонической функцией, определяемая из условий Коши — Римана (7.10), может быть, вообще говоря, многозначной в нашем случае этого не должно быть, ибо функция г ) возвращается к первоначальному значению цри обходе по любому из контуров Lv, что видно из граничного условия для нее. Исходя из этого постоянные не могут быть фиксированы произвольным образом. Действительно, если фиксировать их произвольно, а затем определять функцию i 3 (для этого следует решить задачу Дирихле, которая, как известно, всегда имеет единственное решение), то функция ф, найденная из условий Коши — Римана с помощью функции 1 ), может оказаться многозначной. [c.179]

Итак, установлены необходимые условия дифференцируемости функции комплексного переменного в точке если функция w (г) = = и х, у) + iv х, у) дифференцируема в точке 2 = х + iy, то в этой точке существуют частные производные duldx, ди/ду, dvidx, dvIdy от ее действительной и мнимой частей и выполняются условия Коши—Римана (5.6). [c.178]

Можно доказать, что существование производных duldx, ди/ду, dvIdx, dvidy в окрестности точки х, у) и их непрерывность в этой точке вместе с условиями Коши—Римана являются достаточными условиями дифференцируемости функции комплексного переменного W (г) и (х, у) + iv (х, у) в точке z х + iy [15]. [c.178]

Задача Римана заключается в определении такой кусочноаналитической функции Ф(г) (с линией скачка ), когда предельные значения Ф+(0 н Ф (0 удовлетворяют соотношению [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...