Геодезический на эллипсоиде

Задача о геодезических на эллипсоиде и близкая задача об эллипсоидальном бильярде нашли применение в ряде недавних физических работ, связанных с лазерными устройствами. [c.232]

Не все первые интегралы уравнений классической механики объяснены явной симметрией задачи (примеры — специфические интегралы задачи Кеплера, задачи о геодезических на эллипсоиде и т. п.). В таких случаях говорят о скрытой симметрии . [c.465]

По Якоби метод разделения переменных состоит в том, что для задачи ищется такая система (вообще говоря, криволинейных) координат, в которых имеет место (7.6). Якоби также нашел одну замечательную замену, которая привела его к эллиптическим координатам и позволила проинтегрировать задачу о геодезических на эллипсоиде — даже в многомерном случае. Он также предложил обратить ситуацию и найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена [183]. [c.78]

Задача Якоби о геодезических на эллипсоиде [183]. Пусть эллипсоид в трехмерном пространстве задается уравнением [c.167]

Обобщение задачи Якоби на Оказывается, что близкие по форме слагаемые могут быть добавлены в задачу Якоби о геодезических на эллипсоиде. Приведем вид гамильтониана и дополнительного интеграла для двумерного случая, т.е. для гамильтоновой системы (10.4) на е(3) и на уровне (М,7) = О [c.332]

Задача 10. Точка единичной массы находится на эллипсоиде Ш = Ах +Ву +Сг = ) и движется по инерции (F=0), так что траектория движения является геодезической линией. Интеграл энергии Я = V2(i + i/ + z2). Доказать, что имеется еще квадратичный по скоростям интеграл [c.167]

Гамильтонова точка зрения позволяет исследовать до конца ряд задач механики, не поддающихся решению иными средствами (например, задачу о притяжении двумя неподвижными центрами и задачу о геодезических на трехосном эллипсоиде). Еще большее значение гамильтонова точка зрения имеет для приближенных методов теории возмущений (небесная механика), для понимания общего характера движения в сложных механических системах (эргодическая теория, статистическая механика) и в связи с другими разделами математической физики (оптика, квантовая механика и т. п.). [c.142]

В качестве еще одного примера рассмотрим задачу о геодезических на трехосном эллипсоиде ). Здесь помогают эллиптические координаты Якоби Я. , Яг, Яд, которые суть три корня уравнения [c.232]

Другой пример доставляет геодезический поток на выпуклой поверхности, близкой к эллипсоиду. В этой системе две степени свободы, и мы убеждаемся, что большинство геодезических на близкой к трехосному эллипсоиду поверхности колеблется между двумя каустиками , близкими к линиям кривизны поверхности, всюду плотно заполняя кольцо между ними. В то же время мы приходим к теоремам об устойчивости двух замкнутых геодезических, получившихся при деформации поверхности из двух эллипсов, содержащих среднюю ось эллипсоида (в отсутствие резонансов порядков 3 и 4). [c.380]

С каждым эллипсоидом в конечномерном евклидовом пространстве связаны эллиптические координаты Якоби, с помощью которых интегрируются уравнения геодезических на этом эллипсоиде, а также некоторые другие уравнения, например уравнения движения точки на сфере под действием сил с квадратичным потенциалом или тяжелой точки на параболоиде. [c.435]

Для любых р, ), где + тт и р могут быть рассматриваемы как полярные координаты точки на кольцеобразной секущей поверхпости (рис. 10), существует одно и только одно исходное состояние движения шара и существует непосредственно следующее состояние (ч 1, рх). Таким образом, определяется преобразование Т, переводящее , р) в ( 1, Рх). Мы ПС будем заниматься здесь выводом формул, выражающих Х, Рх через р, хотя эти формулы могут быть получены прямо или как предельный случай формул, появляющихся в геодезической проблеме на эллипсоиде. Такие явные формулы не нужны для наших целей. [c.250]

Геодезические линии на эллипсоиде с полуосями а, Ь, с а > Ь > > с > 0) известны со времен Якоби. Они появляются также в качестве общего решения интегрируемой гамильтоновой проблемы, так как частица, движущаяся по гладкому эллипсоиду без воздействия внешних сил, должна следовать по геодезической линии. Если теперь меньшая полуось с будет стремиться к нулю, в то время как остальные полуоси будут оставаться постоянными, то эллипсоид перейдет в эллипс. Геодезические линии будут состоять из прямолинейных отрезков, и два таких отрезка, принадлежащие одной и той же геодезической линии и следующие друг за другом, должны встречать эллипс под одинаковыми углами. Но такие ломаные линии суть идеализированные пути бильярдного шара на эллипсе. Разумеется, и эта проблема должна быть интегрируемой . [c.319]

Геодезический поток на эллипсоиде 78 [c.374]

Они называются эллиптическими значению i=0 отвечает исходный эллипсоид (2.1). Оказывается, в координатах Я +ь. ..Дг на эллипсоиде (2.2) уравнения движения (являющиеся, конечно, уравнениями геодезических) разделяются. [c.105]

Доказательство основано на том факте, что интегралы задачи о геодезических на п-мерном эллипсоиде являются интегралами биллиардной системы в E. Явное интегрирование осуществляется с помощью эллиптических координат (ср. с 1). В частном случае, когда п = 3, устремим одну из полуосей к нулю. Тогда в пределе получим серию интегрируемых биллиардов, ограниченных софокусными кониками на двумерной евклидовой плоскости (рис. 41). [c.105]

Частные примеры 1.7. Описание геодезического потока на обычном торе в евклидовом пространстве имеется в приложении 2, на эллипсоиде — в работе Кагана [1] и на группах Ли, снабженных левоинвариантной метрикой, — в приложениях 3 и 4. [c.12]

Например, движение свободной точки по геодезическим на трехосном эллипсоиде или торе (см. 1.7, гл. 1 и приложение 2), тяжелое твердое тело (случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской) и т.д. [c.93]

Если О и О — две шаровые точки эллипсоида, не лежащие на одном диаметре, то MO и ЛЮ — геодезические линии, соединяющие точку М с этими точками, а эти две линии одинаково наклонены к каждой из линий кривизны, проходящей через точку М. [c.443]

Любая геодезическая линия, проведенная на удлиненном эллипсоиде вращения, проектируется на плоскость экватора в виде герполодии, которая [c.200]

Имеющийся в нашем распоряжении набор точно решаемых интегрируемых задач невелик (одномерные задачи, движение точки в центральном поле, эйлерово и лагранжево движения твердого тела, задача двух неподвижных центров, движение по геодезическим на эллипсоиде). Однако, с помощью этих интегрируемых случаев можно получить довольно значительную информацию о движении многих важных систем, рассматривая интегрируемую задачу как первое приближение. [c.365]

Замечание 2. В работе [49] замечена связь п-мерной задачи Якоби о геодезических и устойчивого нулевого положения равновесия линейного уравнения типа Хилла с периодическими коэффициентами. Оказывается, что число резонансных зон конечно и не превосходит размерности эллипсоида тогда и только тогда, когда периодическая функция B. t) в уравнении х = —B. t)x есть множитель Лагранжа для некоторой геодезической на эллипсоиде (точнее, B. t) = [c.168]

Замечание 4. В работе [250] Г. Минковский указал аналогию случая Клебша с задачей Якоби о геодезических на эллипсоиде, тем самым предложив свой способ его интегрирования. Развитие этой аналогии приведено выше в п. 1 этого параграфа (см. также [195]). [c.172]

Геодезические линии эллипсоида. В п. 44 гл. II мы рассматривали геодезические линии какой угодно поверхности о как траектории движения по инерции (спонтанное движение) материальной точки, удерживаемой без трения на поверхности а. В случае поверхности общего типа мы ограничились указанием на основании интеграла живых сил, что движение происходит с постоянной по величине скоростью, не занимаясь задачей интегрирования, которое к тому же, если не вводить частных предположений, мы не сможем выполнить элементарными средствами. В специальном случае поверхности вращения-мы видели (пп. 45, 46 гл. 11), что имеет место также интеграл плбщадей в плоскостях, нормальных к оси вращения, и что это обстоятельство позволяет привести определение движения по инерции, а следовательно, и геодезических тиний к квадратурам. Здесь читатель может убедиться в этом без вычислений, обращаясь к теореме Лиувилля из п. 44. [c.384]

Основной труд Якоби по механике — его замечательные Лек ,пи по динамике , выполненные в 1842—1843 гг. п изданные его учеником А. Клебшем (1839—1894) после смерти Якоби в 1866 г. Эти лекции представляют собой развитие класс ческой аналитической механики Лагранжа и содержат много новых идей как по математике (теория дифференциальных уравнений в частных производных, вычисление геодезических линий на эллипсоиде), так и по механике. [c.212]

Теперь рассмотрим геодезическую на двуполостном гиперболоиде. После касания с линией пересечения в точке (т , ту, 1 2) эта геодезическая подойдет к зеркальному эллипсоиду, отразится от пего и затем вновь коснется линии пересечения в точке (т 1, ту", т 2)- Учитывая [c.276]

Гамильтониан задачи Якоби дается формулой (7.9), в которой надо положить Л1 = О, /Х1 = 0. Разделение переменных Л2,..., А , /Х2, - , Мп осуществляется по указанной выше схеме. Отметим, что для двумерного эллипсоида гамильтониан принимает вид (7.5) при п = 3 получаем лиувиллеву гамильтонову систему. Если зафиксировать значение одной из переменных Л2,..., Л , то тем же методом получим полную интегрируемость задачи о геодезических на многомерных гиперболоидах всех возможных типов. Результаты качественного анализа (основанного на формулах Якоби) поведения геодезических на поверхности двумерного эллипсоида можно найти в [И]. Якоби показал, что задача о движении по [c.102]

Риманова кривизна многообразия оказывает весьма существенное влияние на поведение геодезических на нем, т. е. на движение в соответствующей динамической системе. Если риманова кривизна многообразия полонштельна (как на сфере или на эллипсоиде), то близкие геодезические в большинстве случаев колеблются друг около друга, а если кривизна отрицательна (как на поверхности однополостного гиперболоида), то геодезические быстро расходятся в разные стороны. [c.266]

В качестве примеров рассмотрим классические задачу Якоби о геодезических на трехосном эллипсоиде и задачу Неймана о движении точки на сфере в квадратичном потенциале. Они связаны с двумя различными, но взаимными друг другу, интегрируемыми случаями Клебша в уравнениях Кирхгофа (см. 1 гл. 3) и их интегрирование, а также возникающие в процессе эллиптические и сфероконические координаты имеют универсальный характер в теории интегрируемых систем. Все известные задачи, допускающие разделение переменных (на конфигурационном пространстве), решаются с использованием этих координат или их вырождений. [c.78]

Геодезические координаты. Основу географической системы геодезических координат составляет поверхность эллипсоида вращения, аппроксимирующая реальную поверхность Земли. Параметры этой фундаментальной поверхности относимости являются частью системы астрономических постоянных (см. 4.01). Необходимо иметь в виду, что непосредственные результаты аст-рономо-геодезических измерений на местности всегда дают куски уровенной поверхности, которые нельзя точно расстелить на эллипсоиде вращения. Поэтому за математическую поверхность Земли принимают уровенную поверхность, совпадающую при определенных условиях со средней поверхностью воды спокойного океана. Эта поверхность называется геоидом . Наиболее близкий к геоиду эллипсоид, наилучшим образом представляющий фигуру и гравитационное поле всей Земли в целом, называется общим земным эллипсоидом, или сфероидом-, однако используемые в различных странах для обработки отдельных рядов геодезических измерений референц-эллипсоиды не совпадают, как правило, с общим земным сфероидом. В систему астрономо-геодезических постоянных включают параметры (экваториальный радиус Ое и сжатие а) общего земного сфероида, принятого во всем мире для астрономических и геодезических работ. Положение любой точки поверхности Земли относительно такого стандартного сфероида определяется расстоянием по нормали от поверхности сфероида и положением основания этой нормали на поверхности сфероида. [c.48]

С геометрической точки зрения интегрируемость задачи о геодезических на п-мерном эллипсоиде означает следующее касательные прямые к геодезической линии квадрики (2.1) в R"+, проведенные во всех точках геодезической, касаются кроме этой квадрики еще п—1 конфокальных с ней квадрик, одних и тех же для всех точек геодезической. Это знаменитая теорема Якоби — Шаля. По словам Якоби, она принадлежит ...к замечательнейшим теоремам аналитической геометрии [56, с. 185 русского перевода]. Устремляя к нулю одну из полуосей эллипсоида в трехмерном пространстве, приходим к малой теореме Понселе (см. 1). [c.105]

Пусть I — кусочно-гладкая п-мерная поверхность, расположенная на эллипсоиде По и ограниченная некоторым числом со-фокусных квадрик. С поверхностью S естественным образом связан биллиард точка движется по геодезическим внутри S и упруго отражается от ее границ. [c.105]

Теорема 21.7 применима к движению свободной точки по геодезической на поверхностях, близких к поверхностям вращения или эллипсоидам, Эта теорема позволяет доказать устойчивость тланетоида в ограниченной плоской круговой задаче трех тел . Из нее можно также вывести устойчивость быстрых вращений тяжелого несимметричного твердого тела . [c.96]

Л. А. Вайнштейн [2] и В. П. Быков [1] пришли к выводу, что некоторые подпоследовательности собственных функций эллипсоида могут сосредоточиваться в окрестности самого большого и с амо-го маленького из эллипсов, получающихся в сечении поверхности эллипсоида координатными плоскостями. Эти эллипсы являются замкнутыми геодезическими на поверхности эллипсоида, устойчивыми в первом приближении. Оказывается (см. Т. Ф. Панкратова [1]), что и у оператора Лапласа, заданного на поверхности эллипсоида, существуют подпоследовательности собственных функций, сосредоточенных в окрестности этих же геодезических. [c.15]

Уравнения для определения восьми перечисленных выше параметров записаны в декартовой системе координат и определяют линейные координаты ж, у, z. На практике в приемнике GPS осуществляется пересчет к географическим координатам в системе WGS-84 (World Geodeti System) — широте ср, долготе Л, высоте h и проекциям относительных скоростей объекта на географические оси — северной Удг, восточной Ve и вертикальной Ун- Российскому пользователю необходимо помнить, что координаты в системе WGS-84 и в применяемой у нас системе Красовского могут расходиться на 100-150 м. Такая погрешность не ограничивает суш,ественно использование приемников GPS на маршрутах, но неприемлема при выполнении заходов и посадок с применением спутниковых систем. Можно существенно снизить эту погрешность путем пересчета координат. Формулы пересчета из одной системы в другую реализованы в большинстве приемников, где предусмотрена возможность задания параметров эллипсоида пользователя. Существующие геодезические данные позволяют пересчитывать координаты между системами WGS-84 и Красовского с точностью около 1 м. [c.41]

К полученной натуральной системе можно применить изложенные выше результаты. При к > ш область возможных движений совпадает со всей сферой Пуассона. Поскольку на двумерной римановой сфере существуют, по крайней мере, три различные замкнутые песамопересекающиеся геодезические, то в этом случае уравнения пониженной системы имеют шесть различных периодических решений [57] . Если задача мало отличается от интегрируемого случая Эйлера-Пуансо, то эти решения суть возмущения постоянных вращений вокруг главных осей эллипсоида инерции (см. 2, 3 гл. IV). [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...